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Abschätzung

mathematische Fachbegriffe für Hilfsgrößen im Zusammenhang mit Ungleichungen
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Obere Abschätzung und untere Abschätzung sind mathematische Fachbegriffe für Hilfsgrößen im Zusammenhang mit Ungleichungen.

Eine obere Abschätzung für eine Größe ist eine andere Größe , wenn gezeigt werden kann, dass gilt: .

Entsprechend nennt man eine untere Abschätzung für , wenn gezeigt werden kann, dass gilt: .

Dabei ist (oft auch ) in der Regel ein Ausdruck, der von anderen Größen abhängig ist. Die Abschätzung kann es dann auch sein; die Bedingung muss unabhängig von den anderen Größen im gesamten Definitionsbereich gelten. Hier kommen bei Bedarf Überlegungen der Art zum Einsatz, wie sie in der Intervallarithmetik – etwa bei der Fehlerrechnung – angewandt werden.

Der Begriff „Abschätzung“ bedeutet in diesem Zusammenhang also keinen Verzicht an Zuverlässigkeit. Er hat mit dem gängigen Begriff des Schätzens nur insofern zu tun, als die Abschätzung von dem „abgeschätzten“ Wert abweichen kann – unter Umständen sogar sehr weit, solange es nur in die richtige Richtung erfolgt.

VerwendungBearbeiten

Das Abschätzen wird als Hilfsmittel zum Beweis von Ungleichungen verwendet. Man macht sich dabei die Transitivität der Größer-/Kleiner-Als-Relation zu Nutze.

Kennt man für   eine obere Abschätzung  , kann man den Beweis von   auf den Beweis für   zurückführen; auch kann man damit den Beweis von   auf den Beweis von   zurückführen. Entsprechend kann man   oder   zeigen, wenn   eine untere Abschätzung für   ist, und   bzw.   gezeigt werden kann.

Scheitert dieser Ansatz mit einem bestimmten  , ist dadurch die zu beweisende Ungleichung nicht widerlegt; möglicherweise braucht man nur eine strengere Abschätzung, weil die verwendete zu weit von   abweicht.

BeispieleBearbeiten

Allgemeine Beispielgruppe. Im Prinzip ist jede zahlenmäßige „worst-case“-Angabe, wie sie auch im Alltag vorkommt, eine Art untere oder obere Abschätzung.

Beispiel 1. Abschätzungen sind beispielsweise die Grundlage für Divergenzbeweise mit dem Minorantenkriterium wie dem für   mithilfe der Minorante  . Anschaulich dargestellt überlegt man sich dabei Folgendes:

Es soll gezeigt werden, dass man mit einer Summe fortlaufender Stammbrüche   jede beliebig große natürliche Zahl   durch Wahl eines geeigneten   übertreffen kann.

Dazu bildet man eine andere Summe   von Stammbrüchen, bei dem jedem Summanden in   mit dem Nenner   ein Summand mit der nächsten nicht kleineren Zweierpotenz entspricht. Da der Nenner in der neuen Summe gleich oder größer dem entsprechenden Nenner in der ursprünglichen ist, ist der Bruch gleich oder kleiner, und damit auch die gesamte Summe (gleich oder) kleiner. Sie ist eine untere Abschätzung von  .

Die Abschätzung ist nun aber so gewählt, dass man immer endliche Teilstücke der Reihe zu ½ zusammenfassen kann:

                                   
                                   
Zusammenfassung von Summanden         usw.

Wählt man  , so hat man   solche Teilstücke;   summiert sich also auf  . Somit ist   erst recht größer als  .


Beispiel 2. Für beliebige beschränkte und reellwertige Funktionen f und g mit gleichem Definitionsbereich   gilt

 ,

d. h. der Abstand der Maxima zweier Funktionen kann immer nach oben abgeschätzt werden durch das Maximum des Abstands der Funktionswerte. Obwohl diese Abschätzung nicht unmittelbar einleuchtend sein muss, ist der Beweis sehr einfach. Bemerkenswert ist, dass an f und g außer der Beschränktheit (damit die Maxima angenommen werden) und dem gemeinsamen Definitionsbereich nichts weiter vorausgesetzt wird:   gilt also z. B. für stetige Funktionen auf einem Kompaktum (die immer beschränkt sind), aber auch für unstetige Funktionen, etwa diskrete Funktionen, solange sie beschränkt sind.

Beweis. Setze   und  ; ferner sei o. B. d. A.   (kann durch Umbenennung erreicht werden).

Sicher ist  . Damit folgt

 .

Diese Abschätzung ist scharf (d. h. in gewissen Fällen tritt Gleichheit auf), wie das Beispiel

 

zeigt: Hier ist   (Achtung: Dass eine Abschätzung scharf ist, bedeutet nicht, dass die Abschätzung so fein wie möglich ist; betrachte dazu das Beispiel   und  : beide Abschätzungen sind scharf, aber von unterschiedlicher Feinheit).