Vergleichszeichen

Gruppe von Zeichen
< >
Mathematische Zeichen
Arithmetik
Pluszeichen +
Minuszeichen , ./.
Malzeichen , ×
Geteiltzeichen :, ÷, /
Plusminuszeichen ±,
Vergleichszeichen <, , =, , >
Wurzelzeichen
Prozentzeichen %
Analysis
Summenzeichen Σ
Produktzeichen Π
Differenzzeichen, Nabla ,
Prime
Partielles Differential
Integralzeichen
Verkettungszeichen
Unendlichzeichen
Geometrie
Winkelzeichen , , ,
Senkrecht, Parallel ,
Dreieck, Viereck ,
Durchmesserzeichen
Mengenlehre
Vereinigung, Schnitt ,
Differenz, Komplement ,
Elementzeichen
Teilmenge, Obermenge , , ,
Leere Menge
Logik
Folgepfeil , ,
Allquantor
Existenzquantor
Konjunktion, Disjunktion ,
Negationszeichen ¬

Vergleichszeichen sind die in der mathematischen Notation üblichen Zeichen für die Darstellung der Größenverhältnisse zweier Zahlen oder Terme. Die wichtigsten Vergleichszeichen sind das Gleichheitszeichen (=) sowie das Größer-als-Zeichen (>) und das Kleiner-als-Zeichen (<). Vergleichszeichen können vielfältig kombiniert werden, etwa mit einer Tilde für die Äquivalenz. Durchgestrichene Varianten stehen für die Negation des ursprünglichen Verhältnisses. Viele der Kombinationen fallen in den meisten Anwendungen mit der Bedeutung anderer Zeichen zusammen.

Typografie und AussehenBearbeiten

 
Winkelklammern, Vergleichszeichen und einfache Guillemets (halbe Spitzzeichen) in den Schriftarten Cambria, DejaVu Serif, Andron Mega Corpus, Andika und Everson Mono

Das Kleiner-als-Zeichen und das Größer-als-Zeichen bestehen aus einem in der Mitte abgeknickten Strich mit geraden Schenkeln, wobei der Knickwinkel regelmäßig spitz (also kleiner als ein rechter Winkel) ist. Die Endpunkte liegen senkrecht übereinander, sodass die Schenkel gleich lang sind; dies wird auch meistens in der Kursivschrift beibehalten. Die Höhe und Höhenlage der Zeichen entsprechen regelmäßig denen des Pluszeichens. Sie sind damit in den meisten Schriftart deutlich größer als Guillemets (Spitzzeichen) und andererseits deutlich kleiner als Winkelklammern. Letztere unterscheiden sich auch durch einen deutlich offeneren Winkel an der Knickstelle, zumeist deutlich größer als ein rechter Winkel.

GeschichteBearbeiten

 
Kleiner-als- und Größer-als-Zeichen mit Serifen in einem Druck von 1802[1]

Die Zeichen > und < wurden von dem englischen Mathematiker Thomas Harriot 1631 in seinem Werk Artis Analyticae Praxis eingeführt. Das Zeichen ≥ wurde erstmals von dem französischen Mathematiker Pierre Bouguer im Jahr 1734 verwendet.[2]

VerwendungBearbeiten

MathematikBearbeiten

In der Mathematik werden Vergleichszeichen (vom Gleichheitszeichen abgesehen) genutzt, um Ungleichungen zu bilden. In der elementaren Mathematik bezeichnen sie die Vergleiche von Zahlen, darüber hinaus werden sie als Symbole für allgemeine Ordnungsrelationen benutzt.

Das Kleiner-als-Zeichen (<) kennzeichnet eine zweistellige Relation, deren semantische Belegung von der verwendeten Algebra abhängt. Implizit wird angenommen, dass die Relation zu „wahr“ ausgewertet wird.

Im täglichen Sprachgebrauch der natürlichen Zahlen bezeichnet man damit die Relation eines echt kleineren (nicht gleich großen!) Wertes gegenüber einem echt größeren Wert. In Präfixnotation bedeutet das: < (a, b) wird zu „wahr“ ausgewertet, also a ist echt kleiner als b.

Die gebräuchlichere Form ist die Infixnotation a < b, wenn a echt kleiner ist als b.

BeispielBearbeiten

Der Wert der natürlichen Zahl 3 ist echt kleiner (hat eine geringere Ordnung) als der Wert der natürlichen Zahl 4. Die Ordnung gibt der Zahlenstrahl der natürlichen Zahlen vor.

Man schreibt:  

Ebenso gilt für reelle Zahlen:  

Merksätze und EselsbrückenBearbeiten

 
Eselsbrücke für Kleiner-als-Zeichen
 
Eselsbrücke für Größer-als-Zeichen

Zur Vermeidung von Verwechslungen zwischen den Größer-als-Zeichen und dem Kleiner-als-Zeichen wird teils – gerade für Schulkinder – der Vergleich mit einem Krokodil als hilfreich angesehen, das stets nach dem größeren „Bissen“ schnappe: „Das Krokodil, das stets das Meiste fressen will“. In der Zeitschrift Kopf und Zahl (Zeitschrift der ZTR zur Behandlung von Rechenschwäche) wird dieser Merksatz kritisiert:

„Einer solchen ‚Erklärung‘ stehe ich skeptisch gegenüber, da sich diese Eselsbrücke nicht aus der mathematischen Logik speist, sondern sich ausschließlich dem Wunsch nach einem kindgemäßen Bild verdankt. Was ist eigentlich, wenn das Reptil nur einen kleinen Hunger hat? (…) Ich bevorzuge stattdessen eine Erklärung, die auf die Entstehung des Symbols Bezug nimmt: ‚Auf derjenigen Seite, auf der das Zeichen größer ist, steht auch die größere Zahl.‘ Auf diese Weise bekommt man auch einen eleganten Übergang zum ‚ist gleich‘ hin: dieses Zeichen ist auf beiden Seiten gleich weit geöffnet.“

Zeitschrift Kopf und Zahl, 8. Ausgabe, 2007[3]

Alternativ kann das Kleiner-als-Zeichen durch einen senkrechten Strich zu einem k (oder K) und das Größer-als-Zeichen durch einen Halbkreis zu einem G stilisiert werden.

AuszeichnungssprachenBearbeiten

In manchen Auszeichnungssprachen wie HTML oder XML werden Kleiner-als- und Größer-als-Zeichen zur spracheigenen Kennzeichnung des Beginns und Endes aller (Haupt-)Elemente (Tags) verwendet. Um derartige Auszeichnungen in HTML dennoch darstellen zu können, können ersatzweise die (auch englisch abgekürzt) benannten Elemente &lt; und &gt; verwendet werden – so beispielsweise für das Absatz-Anfangs- und -Endezeichen <p> und </p> (vergleiche auch Absatzzeichen und siehe allgemein unter Maskierungszeichen).

LinguistikBearbeiten

In der Linguistik wird das Größer-als-Zeichen dafür verwendet, dass sich die rechts davon stehende grammatikalische oder phonetische Form aus der links davon stehenden Form herleiten lässt. Umgekehrt bedeutet das Kleiner-als-Zeichen, dass die links davon stehende Form eine Ableitung aus der rechts davon stehenden Form ist oder sein kann. Hier sind beide Zeichen also quasi als Pfeilspitze aufzufassen.

Ein Beispiel:griechisches Alphabet“ – altgriechisch ἑλληνικός ἀλφάβητος > neugriechisch ελληνικό αλφάβητο oder in umgekehrter Richtung ελληνικό αλφάβητο < ἑλληνικός ἀλφάβητος.

Darstellung in ComputersystemenBearbeiten

TastatureingabeBearbeiten

Auf deutschen Standard-Tastaturen werden das Kleiner-als-Zeichen und das Größer-als-Zeichen mit der Taste rechts neben der linken Umschalttaste eingegeben.

Auf deutschen Standard-Tastaturen mit der Belegung T2 gemäß DIN 2137:2012-06 wird das Kleiner-Gleich-Zeichen mit der Tastenkombination AltGr+a eingegeben, das Größer-Gleich-Zeichen mit der Tastenkombination AltGr+s.

In macOS wird das Kleiner-Gleich-Zeichen mit der Tastenkombination Alt+< eingegeben, das Größer-Gleich-Zeichen mit der Tastenkombination Alt++>.

Liste der VergleichszeichenBearbeiten

Mathematische Vergleichszeichen
Zeichen Unicode Bedeutung Zeichen Unicode Bedeutung
= U+003D U+2260 gleich/ungleich U+2248 U+2249 fast gleich/nicht fast gleich
< > U+003C U+003E kleiner/größer als U+227A U+227B vorangehend/nachfolgend
U+2264 U+2265 kleiner/größer als oder gleich U+227C U+227D vorangehend/nachfolgend oder gleich
U+226E U+226F nicht kleiner/größer als U+2280 U+2281 nicht vorangehend/nachfolgend
U+2270 U+2271 weder kleiner/größer als noch gleich U+22E0 U+22E1 weder vorangehend/nachfolgend noch gleich
U+2272 U+2273 kleiner/größer als oder äquivalent U+227E U+227F vorangehend/nachfolgend oder äquivalent
U+22DC U+22DD gleich oder kleiner/größer als U+22DE U+22DF gleich oder vorangehend/nachfolgend
U+22E6 U+22E7 kleiner/größer als, aber nicht äquivalent U+22E8 U+22E9 vorangehend/nachfolgend, aber nicht äquivalent
U+2274 U+2275 weder kleiner/größer als noch äquivalent U+22B0 U+22B1 vorangehend/nachfolgend in Relation
U+2266 U+2267 kleiner/größer als über gleich zu U+2268 U+2269 kleiner/größer als, aber nicht gleich
U+226A U+226B viel kleiner/größer als U+22D8 U+22D9 sehr viel kleiner/größer als
U+2276 U+2277 kleiner/größer oder größer/kleiner als U+2278 U+2279 weder kleiner/größer noch größer/kleiner als
U+22DA U+22DB kleiner/größer als, gleich oder größer/kleiner als U+22D6 U+22D7 kleiner/größer als mit Punkt

Zum ASCII-Satz gehören das Kleiner-als-Zeichen (Code 0x3C), das Gleichheitszeichen (Code 0x3D), und das Größer-als-Zeichen (Code 0x3E).

Typografische VariantenBearbeiten

Je nach Tradition des Formelsatzes werden für das Kleiner-gleich-Zeichen und das Größer-gleich-Zeichen geringfügig abweichende Varianten verwendet:

Zeichen Unicode LaTeX[4] HTML
U+2264 U+2265 \leq \geq &leq; &geq;
U+2266 U+2267 \leqq \geqq &leqq; &geqq;
U+2A7D U+2A7E \leqslant \geqslant &leqslant; &geqslant;

In DIN 1302 „Allgemeine mathematische Zeichen und Begriffe“ werden für das Kleiner-gleich- und Größer-gleich-Zeichen die Varianten der ersten Zeile festgelegt. Auch sind es diese Zeichen, die mit der deutschen Standardtastatur (Belegung E1) gemäß DIN 2137-01:2018-12 und der Belegung T2 gemäß der Vorgängernorm DIN 2137-01:2012-06 eingegeben werden können.

Siehe auchBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Johann Friedrich Ludwig Häseler: Anfangsgründe der Arithmetik. Meyersche Buchhandlung, Lemgo 1802, Teil 1, S. 89.
  2. Clifford A. Pickover: A Passion for Mathematics: Numbers, Puzzles, Madness, Religion, and the Quest for Reality. John Wiley & Sons, 2005, ISBN 978-0-471-69098-6, S. 22. (wordpress.com (Memento des Originals vom 4. März 2016 im Internet Archive)  Info: Der Archivlink wurde automatisch eingesetzt und noch nicht geprüft. Bitte prüfe Original- und Archivlink gemäß Anleitung und entferne dann diesen Hinweis.@1@2Vorlage:Webachiv/IABot/arcaneknowledgeofthedeep.files.wordpress.com (PDF); abgerufen am 9. Oktober 2015)
  3. Kopf und Zahl. (PDF; 621 KB) In: JOURNAL des Vereins für Lerntherapie und Dyskalkulie e. V. in Zusammenarbeit mit den Mathematischen Instituten zur Behandlung der Rechenschwäche (ZTR), 8. Ausgabe, 2007. Verein für Lern- und Dyskalkulietherapie, 6. November 2007, S. 8, abgerufen am 1. September 2018.
  4. Scott Pakin: The Comprehensive LaTeX Symbol List. (PDF, 8,7 MB) 19. Januar 2017, S. 61, archiviert vom Original am 28. September 2017; abgerufen am 28. September 2017 (englisch, Verlinkung des Originals führt zu einem Spiegelserver des CTAN; zum Archivlink vergleiche Datei:Comprehensive LaTeX Symbol List.pdf).