Die Maclaurin-Ungleichung (nach Colin Maclaurin ) ist eine Aussage aus der Analysis , einem Teilgebiet der Mathematik . Sie verschärft die Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel , die besagt, dass das arithmetische Mittel von endlich vielen positiven reellen Zahlen stets mindestens so groß ist wie ihr geometrisches Mittel , in Formeln
a
1
+
a
2
+
…
+
a
n
n
≥
a
1
a
2
⋯
a
n
n
{\displaystyle {\frac {a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}}}
für eine natürliche Zahl
n
{\displaystyle n}
a
1
,
a
2
,
…
,
a
n
>
0
{\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}>0}
x
,
y
,
z
{\displaystyle x,y,z}
x
+
y
+
z
3
≥
x
y
+
y
z
+
z
x
3
≥
x
y
z
3
.
{\displaystyle {\frac {x+y+z}{3}}\geq {\sqrt {\frac {xy+yz+zx}{3}}}\geq {\sqrt[{3}]{xyz}}.}
Sei
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
a
1
,
…
,
a
n
{\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}
S
k
=
(
n
k
)
−
1
∑
1
≤
i
1
<
…
<
i
k
≤
n
a
i
1
⋯
a
i
k
,
{\displaystyle S_{k}={\binom {n}{k}}^{-1}\sum _{1\leq i_{1}<\ldots <i_{k}\leq n}a_{i_{1}}\cdots a_{i_{k}},}
dann gilt
S
1
≥
S
2
1
/
2
≥
…
≥
S
n
1
/
n
.
{\displaystyle S_{1}\geq S_{2}^{1/2}\geq \ldots \geq S_{n}^{1/n}.}
Bemerkung:
S
1
{\displaystyle S_{1}}
S
n
1
/
n
{\displaystyle S_{n}^{1/n}}
S
k
{\displaystyle S_{k}}
elementarsymmetrische Polynom vom Grad
k
{\displaystyle k}
a
1
,
…
,
a
n
{\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}
Seien
n
{\displaystyle n}
a
1
,
…
,
a
n
{\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}
f
:
R
→
R
{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }
f
(
x
)
:=
(
x
+
a
1
)
⋯
(
x
+
a
n
)
{\displaystyle f(x):=(x+a_{1})\cdots (x+a_{n})}
Satz von Vieta schreiben
als
f
(
x
)
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
S
k
x
n
−
k
{\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}S_{k}\,x^{n-k}}
Weil
f
{\displaystyle f}
m
∈
N
0
{\displaystyle m\in \mathbb {N} _{0}}
m
≤
n
{\displaystyle m\leq n}
f
(
n
−
m
)
(
x
)
=
n
!
m
!
(
x
+
b
1
)
⋯
(
x
+
b
m
)
{\displaystyle f^{(n-m)}(x)={\frac {n!}{m!}}\,(x+b_{1})\cdots (x+b_{m})}
f
{\displaystyle f}
f
(
n
−
m
)
(
x
)
=
n
!
m
!
∑
k
=
0
m
(
m
k
)
S
k
x
m
−
k
{\displaystyle f^{(n-m)}(x)={\frac {n!}{m!}}\,\sum _{k=0}^{m}{\binom {m}{k}}\,S_{k}x^{m-k}}
Nach dem Satz von Rolle sind
b
1
,
…
,
b
m
{\displaystyle b_{1},\ldots ,b_{m}}
Wieder nach dem Satz von Vieta sind
b
1
⋯
b
m
=
S
m
{\displaystyle b_{1}\cdots b_{m}=S_{m}}
∑
i
=
1
m
b
1
⋯
b
m
b
i
=
m
S
m
−
1
{\displaystyle \sum _{i=1}^{m}{\frac {b_{1}\cdots b_{m}}{b_{i}}}=m\,S_{m-1}}
Nach der AGM-Ungleichung ist
m
S
m
−
1
m
≥
(
S
m
m
−
1
)
1
/
m
{\displaystyle {\frac {m\,S_{m-1}}{m}}\geq (S_{m}^{m-1})^{1/m}}
S
m
−
1
1
/
(
m
−
1
)
≥
S
m
1
/
m
{\displaystyle S_{m-1}^{1/(m-1)}\geq S_{m}^{1/m}}
![{\displaystyle {\frac {a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3bc4ddff236a7b793854f105a23358e2891d9562)
![{\displaystyle {\frac {x+y+z}{3}}\geq {\sqrt {\frac {xy+yz+zx}{3}}}\geq {\sqrt[{3}]{xyz}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f784f5a2725fc87606081a780d6784aa378f5177)
