Epsilontik

Betrachtungen in der Analysis mit Grenzwert-Abschätzungen

Die Epsilontik ist ein Begriff aus der Analysis. Sie wird verwendet, um Begriffe wie Grenzwert oder Stetigkeit mathematisch exakt zu formulieren. Die Bezeichnung leitet sich von dem griechischen Buchstaben Epsilon ab, der für eine (kleine) positive reelle Zahl steht. Zentraler Begriff in der Epsilontik ist die -Umgebung, also das offene Intervall um eine reelle Zahl a.

Eine Epsilon- bzw. ε-Umgebung um die Zahl a,
eingezeichnet auf der Zahlengeraden

Anwendungen Bearbeiten

Die Epsilontik wird zum Beispiel bei den folgenden Definitionen verwendet:

Historisches Bearbeiten

Die Epsilontik geht auf Karl Weierstraß zurück, der erstmals die  -Umgebungen zur Definition des Grenzwerts eingeführt hat.[1] Hatte man vorher intuitiv mit Bewegungsvorstellungen argumentiert – „strebt gegen“ oder „wird beliebig klein“ –, so stellte nun die Epsilontik den Grenzwertbegriff auf ein stabiles mathematisches Fundament, das exakte Definitionen und Beweise ermöglicht. Dies war ein wichtiger Beitrag für die gesamte Analysis, für die der Grenzwertbegriff von zentraler Bedeutung ist.

Beispiel Bearbeiten

Das Vorgehen mit Hilfe der Epsilontik soll am Beispiel der Definition für die Konvergenz einer Zahlenfolge und einem entsprechenden Beweis für eine konkrete Folge gezeigt werden.

Definition Bearbeiten

Eine Folge reeller Zahlen   konvergiert gegen den Grenzwert  , wenn es zu jeder Zahl   mit   eine Zahl   gibt, so dass für jeden Index   gilt:  .

Oder in den beiden gebräuchlichen Quantoren-Schreibweisen:

Eine Folge reeller Zahlen   konvergiert genau dann gegen den Grenzwert  , wenn

1        
2        
zu lesen als: Für alle Epsilon größer null existiert ein  , für das gilt, dass für alle   gilt: Betrag von fn minus g ist kleiner als Epsilon.

Das bedeutet, dass es für jede noch so kleine positive Zahl   einen Index   gibt – der im Allgemeinen von   abhängt –, so dass alle weiteren Folgenglieder in der  -Umgebung des Grenzwertes liegen.

Satz Bearbeiten

Die Folge   konvergiert gegen den Grenzwert  .

Beweis Bearbeiten

Es sei   > 0, d. h. eine  -Umgebung des Grenzwertes wird vorgegeben. Der Ausdruck

 

soll nun für   kleiner als   werden. Dies wird erreicht, wenn man   so wählt, dass   ist. Denn dann ist für alle  

 .

Verallgemeinerungen Bearbeiten

Der Begriff der  -Umgebung einer Zahl auf der Zahlengeraden, kann auf die kreisförmige offene Umgebung in der Ebene, die kugelförmige im Raum oder allgemein zum Begriff der  -Umgebung in metrischen Räumen verallgemeiner werden.

Eine weitere Verallgemeinerung stellt der Begriff der offenen Menge in einem topologischen Raum dar.

Anmerkungen Bearbeiten

  • Vereinzelt wird der Begriff Epsilontik auch leicht abwertend verwendet, etwa wenn der Routinecharakter von Beweisen betont werden soll.[2]

Siehe auch Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis. Teil 2. B. G. Teubner, Stuttgart 1990, ISBN 3-519-42222-0, S. 696 f.
  2. Epsilontik. In: Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik. 1. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Mannheim/Heidelberg 2000, ISBN 3-8274-0439-8.

Literatur Bearbeiten

  • K. Endl / W. Luh: Analysis. Band 1. Akademische Verlagsgesellschaft, 1972, ISBN 3-400-00185-6.
  • K. Endl / W. Luh: Analysis. Band 2. Akademische Verlagsgesellschaft, 1973, ISBN 3-400-00206-2.
  • B. v. Querenburg: Mengentheoretische Topologie. Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York, 1976, ISBN 3-540-06417-6.