In der Gruppentheorie, einer Teildisziplin der Mathematik, ist eine angeordnete Gruppe (engl. left-orderable group) eine Gruppe zusammen mit einer totalen Ordnung“, die mit der durch die Multiplikation gegebenen Linkstranslation verträglich ist. Bekannte Beispiele sind die Gruppen der ganzen und reellen Zahlen.

Definition

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Sei   eine Gruppe. Eine links-invariante Anordnung auf   ist eine totale Ordnung, so dass für alle   gilt:

 .

Eine angeordnete Gruppe ist eine Gruppe mit einer links-invarianten Ordnung.

Äquivalent kann man eine links-invariante Ordnung charakterisieren durch eine disjunkte Zerlegung

 

mit   und  .

Die Anordnung ergibt sich aus der Zerlegung via

 .

Beispiele

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  •   und   sind angeordnete Gruppen.
  • Wenn es in einer Gruppe Torsionselemente (d. h. Elemente endlicher Ordnung) gibt, dann kann die Gruppe keine links-invariante Anordnung haben.
  • Jede torsionsfreie abelsche Gruppe ist eine angeordnete Gruppe.
  • Freie Gruppen sind angeordnet.
  •   und   besitzen keine links-invariante Anordnung.
  • Satz von Dehornoy: Zopfgruppen sind angeordnet.
  • Satz von Rourke-Wiest: Abbildungsklassengruppen von Flächen mit nichtleerem Rand sind angeordnet.
  • Satz von Boyer-Rolfsen-Wiest: Fundamentalgruppen   von kompakten,  -irreduziblen 3-Mannigfaltigkeiten   mit   sind angeordnet.
  • Wenn   und   angeordnete Gruppen sind und
 
eine kurze exakte Sequenz ist, dann besitzt   eine links-invariante Anordnung, die mit der von   kompatibel ist und für die die Abbildung   monoton ist.
  • Satz von Burns-Hale: Eine Gruppe   besitzt eine links-invariante Anordnung, wenn es zu jeder endlich erzeugten Untergruppe   einen surjektiven Homomorphismus   auf eine angeordnete Gruppe   gibt. Insbesondere besitzt   eine links-invariante Anordnung, wenn für jede endlich erzeugte Untergruppe   gilt:  .
  • Die universelle Überlagerung von   ist eine angeordnete Gruppe, obwohl   für alle ihre endlich erzeugten Untergruppen   gilt.
  • Eine abzählbare Gruppe besitzt eine links-invariante Anordnung dann und nur dann, wenn sie isomorph zu einer Untergruppe von  , der Gruppe der orientierungs-erhaltenden Homöomorphismen des  , ist.
  • Satz von Hölder: Eine Gruppe besitzt eine links-invariante archimedische Anordnung dann und nur dann, wenn sie isomorph zu einer Untergruppe von   ist.

Bi-invariante Anordnungen

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Eine rechts-invariante Anordnung auf einer Gruppe   ist eine totale Ordnung, so dass für alle   gilt:

 .

Jede angeordnete Gruppe besitzt auch eine rechts-invariante Anordnung, die aber im Allgemeinen nicht mit der links-invarianten Anordnung übereinstimmt.

Eine bi-invariante Anordnung ist eine Anordnung, die gleichzeitig links- und rechts-invariant ist. Zum Beispiel besitzen torsionsfreie abelsche Gruppen oder die reine Zopfgruppe eine bi-invariante Anordnung.

Siehe auch

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Literatur

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  • Robert G. Burns, V. W. D. Hale: A note on group rings of certain torsion-free groups. In: Canadian Mathematical Bulletin. Bd. 15, Nr. 3, 1972, S. 441–445, doi:10.4153/CMB-1972-080-3.
  • Danny Calegari: Circular groups, planar groups, and the Euler class. In: Cameron Gordon, Yoav Rieck (Hrsg.): Proceedings of the Casson Fest (Arkansas and Texas 2003) (= Geometry & Topology Monographs. Bd. 7, ISSN 1464-8989). University of Warwick – Mathematics Institute, Coventry 2004, S. 431–491, doi:10.2140/gtm.2004.7.431.
  • Patrick Dehornoy, Ivan Dynnikov, Dale Rolfsen, Bert Wiest: Why are braids orderable? (= Panoramas et Synthèses. Bd. 14). Société Mathématique de France, Paris 2002, ISBN 2-85629-135-X.
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