Die spezielle lineare Gruppe oder ist die Gruppe der reellen -Matrizen mit Determinante 1:

Sie ist eine Lie-Gruppe mit vielfältigen Anwendungen in Geometrie, Topologie, Darstellungstheorie, harmonischer Analysis, Zahlentheorie, Modulformen und Physik.

DarstellungstheorieBearbeiten

Für jede natürliche Zahl   gibt es eine, bis auf Isomorphismus eindeutige,  -dimensionale irreduzible Darstellung der  . Eine explizite Realisierung dieser irreduziblen Darstellung ist wie folgt. Sei

 

der Vektorraum der homogenen Polynome vom Grad   in 2 Variablen. Dieser Vektorraum ist  -dimensional und   wirkt durch

 

Die Veronese-Einbettung   ist äquivariant bezüglich der irreduziblen Darstellung  .

Die unendlich-dimensionalen Darstellungen der   werden durch die Langlands-Klassifikation beschrieben.

Lie-AlgebraBearbeiten

  ist eine Lie-Gruppe, ihre Lie-Algebra ist die Lie-Algebra der spurfreien  -Matrizen

 .

Eine Vektorraum-Basis des 3-dimensionalen Vektorraumes   ist zum Beispiel

 

mit den Kommutator-Relationen

 .

Diese Lie-Algebra ist einfach, sie hat zwei nicht-konjugierte Cartan-Unteralgebren: eine erzeugt von  , die andere von  .

Die Killing-Form ist  . Sie ist negativ definit auf dem von   erzeugten Unterraum, positiv definit auf dem von   und   erzeugten Unterraum.

Lineare AlgebraBearbeiten

Matrizen aus   entsprechen invertierbaren linearen Abbildungen des Vektorraums  . Die Matrix   wirkt durch

 

Matrizen aus   erhalten die Volumenform, aber im Allgemeinen nicht die euklidische Metrik des  .

Klassifikation der 2×2-MatrizenBearbeiten

Die Eigenwerte einer Matrix   sind Nullstellen des charakteristischen Polynoms

 

und lassen sich nach der Lösungsformel für quadratische Gleichungen berechnen als

 .

Man klassifiziert die Matrizen dann entsprechend der folgenden Einteilung:

  • Wenn  , dann ist   eine elliptische Matrix.
  • Wenn  , dann ist   eine parabolische Matrix.
  • Wenn  , dann ist   eine hyperbolische Matrix.

Elliptische ElementeBearbeiten

 
Drehung mit Fixpunkt 0.

Elliptische Elemente sind von der Form

 

mit   und  .

Die Matrix   wirkt auf der euklidischen Ebene als Drehung mit Fixpunkt 0 und Drehwinkel  .

Parabolische ElementeBearbeiten

 
Eine Scherung bildet ein Rechteck auf ein Parallelogramm ab.

Parabolische Elemente sind von der Form

 

mit   und  .

Die Matrix   wirkt auf der euklidischen Ebene als Scherung.

Hyperbolische ElementeBearbeiten

 
Das Bild-Parallelogramm hat denselben Flächeninhalt wie das ursprüngliche Quadrat.

Hyperbolische Elemente sind von der Form

 

mit   und  .

Die Matrix   wirkt als Dehnstauchung, d. h., sie dehnt in Richtung eines Eigenvektors, staucht in Richtung des anderen Eigenvektors, erhält insgesamt aber den Flächeninhalt.

Hyperbolische GeometrieBearbeiten

Matrizen aus   wirken auf der oberen Halbebene

 

durch

 .

Sie wirken als Isometrien der hyperbolischen Metrik.

Weil   als Identitätsabbildung wirkt, faktorisiert diese Wirkung von   über

 .

Projektive Geometrie und gebrochen-lineare TransformationenBearbeiten

Die projektive Gerade   ist die Menge aller Geraden durch den Nullpunkt im  . Die Wirkung von   auf   gibt eine wohl-definierte Wirkung von   auf  .

Durch   wird eine Bijektion zwischen   und   definiert. Nach dieser Identifizierung von   und   wirkt   auf   durch gebrochen-lineare Transformationen

 .

Die Veronese-Einbettung   ist äquivariant bzgl. der irreduziblen Darstellung  .

  ist auch der Rand im Unendlichen   der hyperbolischen Ebene  . Die Wirkung von   auf der Kompaktifizierung   der hyperbolischen Ebene durch gebrochen-lineare Transformationen ist stetig. Elliptische Elemente haben einen Fixpunkt in  , parabolische Elemente haben einen Fixpunkt in  , hyperbolische Elemente haben zwei Fixpunkte in  .

Fuchssche GruppenBearbeiten

Diskrete Untergruppen von   bezeichnet man als Fuchssche Gruppen.

Die Limesmenge einer Fuchsschen Gruppe   ist der Durchschnitt von   mit dem Abschluss einer Bahn  , wobei und die Definition der Limesmenge unabhängig vom gewählten Punkt   ist.

Eine Fuchssche Gruppe heißt Fuchssche Gruppe 1. Art, falls die Limesmenge ganz   ist. Andernfalls handelt es sich um eine Fuchssche Gruppe 2. Art.

Fuchssche Gruppen 1. Art sind die sogenannten Gitter in  , d. h. diskrete Untergruppen  , für die es einen Fundamentalbereich endlichen Volumens in der hyperbolischen Ebene gibt.

Ein Beispiel eines Gitters in   ist die modulare Gruppe  , die unter anderem in der Theorie der Modulformen eine zentrale Rolle mit vielen zahlentheoretischen Anwendungen spielt.

Wenn eine Fuchssche Gruppe   keine Elemente der Ordnung 2 enthält, dann ist sie die Projektion einer diskreten Untergruppe von  . (Satz von Culler)

TopologieBearbeiten

Die Kreis-Gruppe   ist eine maximal kompakte Untergruppe von  . Die Untergruppe   ist ein Deformationsretrakt von  , insbesondere sind die beiden Räume homotopieäquivalent.

Die Fundamentalgruppe von   ist isomorph zu  , die höheren Homotopiegruppen sind trivial.

Die universelle Überlagerung   von   ist ein Beispiel einer Lie-Gruppe, welche keine treue endlich-dimensionale Darstellung besitzt, also zu keiner Untergruppe einer allgemeinen linearen Gruppe   isomorph ist.

Der Quotient   ist diffeomorph zum Einheitstangentialbündel der hyperbolischen Ebene:  .

LiteraturBearbeiten