Geordneter Vektorraum

mathematische Struktur
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Ein geordneter Vektorraum ist eine mathematische Struktur. Es handelt sich um einen -Vektorraum, auf dem zusätzlich eine mit der Vektorraum-Struktur verträgliche Ordnungsrelation gegeben ist, die man üblicherweise mit bezeichnet (man liest kleiner-gleich). Dadurch ist es möglich, die Elemente eines Vektorraums der Größe nach zu vergleichen. Viele in der Mathematik untersuchte Vektorräume tragen eine natürliche Ordnungsstruktur.

DefinitionBearbeiten

Ein geordneter Vektorraum ist ein Paar   bestehend aus einem  -Vektorraum   und einer Ordnungsrelation   auf  , so dass folgendes gilt:

  •   für alle  , das heißt,   ist reflexiv.
  • Aus   und   folgt   für alle  , das heißt,   ist transitiv.
  • Aus   folgt   für alle  , das heißt,   ist mit der Addition verträglich.
  • Aus   folgt   für alle   und  , das heißt,   ist mit der skalaren Multiplikation verträglich.[1]

In der Definition kann man   durch einen geordneten Körper ersetzen. In den meisten Anwendungen hat man es allerdings mit dem Körper der reellen Zahlen zu tun. Ein  -Vektorraum heißt geordneter Vektorraum, wenn er als reeller Vektorraum geordnet ist. Viele der hier besprochenen Begriffsbildungen lassen sich auf geordnete abelsche Gruppen verallgemeinern.

Positiver KegelBearbeiten

Ist   ein geordneter Vektorraum, so heißt   der positive Kegel. Es handelt sich in der Tat um einen Kegel, das heißt, es gilt:

  • Für alle   und   gilt  .

Insbesondere ist der positive Kegel konvex, was Anlass zu geometrischen Untersuchungen gibt.

Ist umgekehrt in einem  -Vektorraum   ein Kegel   gegeben, so wird durch   eine Ordnungsrelation definiert, die   zu einem geordneten Vektorraum macht, so dass   gilt. Ein geordneter Vektorraum kann daher auch als Vektorraum mit einem ausgezeichneten Kegel aufgefasst werden. Eigenschaften der Ordnung können in Beziehung zu algebraischen und geometrischen Eigenschaften des Kegels gesetzt werden; ist   sogar ein topologischer Vektorraum, so kommen topologische Eigenschaften des Kegels hinzu.

Positive OperatorenBearbeiten

Die strukturerhaltenden Abbildungen zwischen geordneten Vektorräumen   und   sind die linearen Operatoren  , die auch die Ordnungsstruktur erhalten, das heißt, für die aus   stets   folgt. Solche Abbildungen heißen positive oder monotone Operatoren. Die Untersuchung positiver Operatoren ist ein wichtiger Teil der Theorie der geordneten Vektorräume.

Offenbar bilden die geordneten Vektorräume mit den positiven Operatoren als Morphismen eine Kategorie.

Ein Ordnungsintervall ist eine Menge der Form  . Ein linearer Operator zwischen geordneten Vektorräumen heißt ordnungsbeschränkt, wenn er Ordnungsintervalle in Ordnungsintervalle abbildet. Differenzen positiver Operatoren sind offenbar ordnungsbeschränkt.

Duale OrdnungBearbeiten

Ist   ein geordneter Vektorraum, so ist   ein Kegel, der den Dualraum   zu einem geordneten Vektorraum macht; dies ist die sogenannte duale Ordnung auf  . Ist   zusätzlich ein topologischer Vektorraum, so betrachtet man statt des algebraischen den topologischen Dualraum, das heißt den Raum aller stetigen linearen Funktionale auf  . Ist dieser Raum normiert oder allgemeiner lokalkonvex, so steht die für diese Raumklassen reichhaltige Dualitätstheorie zur Verfügung.

Oft betrachtet man auch nur den Unterraum   der ordnungsbeschränkten Funktionale und spricht vom ordnungsbeschränkten Dualraum.

BeispieleBearbeiten

  • Die Folgenräume wie  ,   oder   sind geordnete Vektorräume, wenn man die Ordnung komponentenweise erklärt, das heißt, wenn man für zwei Folgen   und   die Relation   durch   definiert.
  • Funktionenräume wie   oder Lp[0,1] sind geordnete Vektorräume, wenn man die Ordnung punktweise erklärt, das heißt, wenn man für zwei Funktionen   und   die Relation   durch   für alle   aus dem Definitionsbereich bzw. fast überall auf dem Definitionsbereich definiert.
  • Ist   eine C*-Algebra und setzt man  , so kann man zeigen, dass   ein Kegel ist, der   zu einem geordneten Vektorraum macht. Die Untersuchung des Dualraums mit der dualen Ordnung ist eine wichtige Methode in der Theorie der C*-Algebren.

Weitere BegriffsbildungenBearbeiten

Sei   ein geordneter Vektorraum.

Strikte OrdnungBearbeiten

In der hier gegebenen Definition wurde nicht gefordert, dass aus   und   stets   folgen soll; die Ordnungsrelation wäre dann antisymmetrisch, und dies wäre äquivalent dazu, dass der Kegel   spitz ist (das heißt  ). Die meisten in den Anwendungen vorkommenden Kegel sind spitz. Manche Autoren verstehen unter einem Kegel stets einen spitzen Kegel und nennen den oben eingeführten allgemeineren Begriff einen stumpfen Kegel. Antisymmetrische Ordnungen werden auch strikte Ordnungen genannt.

Gerichtete OrdnungBearbeiten

Die Ordnung auf   heißt gerichtet, falls es zu je zwei Elementen   stets ein   gibt mit   und  . Die Ordnung ist genau dann gerichtet, wenn  , das heißt, wenn der positive Kegel den Vektorraum erzeugt.[2]

OrdnungseinheitenBearbeiten

Ein Element   heißt eine Ordnungseinheit, falls es zu jedem   ein   gibt mit  . Das ist äquivalent dazu, dass das Ordnungsintervall   eine absorbierende Menge ist.[3]

Offenbar ist die konstante Funktion 1 eine Ordnungseinheit in  , während der Folgenraum   keine Ordnungseinheiten besitzt.

Archimedische OrdnungBearbeiten

Die Ordnung auf   heißt archimedisch wenn gilt: Sind   und ist   für alle  , so folgt  .

Die Ordnung heißt fast archimedisch, wenn gilt: Sind   und ist   für alle  , so folgt  .

Die Ordnung heißt nirgends archimedisch, wenn es zu jedem   ein   gibt mit   für alle  .[4]

Unterräume, Quotienten und direkte ProdukteBearbeiten

Ist   ein geordneter Vektorraum und   ein Unterraum, so ist   mit der eingeschränkten Ordnung wieder ein geordneter Vektorraum, es ist offenbar   und die Einbettung   ist ein positiver Operator.

Der Quotientenraum   wird mit dem Kegel   offenbar zu einem geordneten Vektorraum und die Quotientenabbildung   ist ein positiver Operator.

Ist schließlich   eine Familie von geordneten Vektorräumen, so wird das direkte Produkt   zu einem geordneten Vektorraum, wenn man den positiven Kegel durch   erklärt. Eine wichtige Frage in der Theorie der geordneten Vektorräume ist, ob sich ein gegebener geordneter Vektorraum als direktes Produkt geordneter Räume zerlegen lässt.[5]

Riesz-RäumeBearbeiten

Ein strikt geordneter Vektorraum   hat die Rieszsche Zerlegungseigenschaft genau dann, wenn folgendes gilt:

Ist   und  , so gibt es   mit  ,   und  .

Gibt es zu je zwei Elementen   eines strikt geordneten Vektorraums stets ein kleinstes Element   mit   und  , welches dann mit   bezeichnet wird und das Supremum aus   und   heißt, so spricht man von einem Riesz-Raum oder Vektorverband[6]. Man kann zeigen, dass tatsächlich ein distributiver Verband vorliegt, wobei die andere Verbandsoperation durch   definiert werden könnte. Man kann zeigen, dass Vektorverbände die Rieszsche Zerlegungseigenschaft besitzen. Man nennt einen Vektorverband vollständig, wenn nicht nur je zwei Elemente, sondern jede nach oben beschränkte Menge ein Supremum besitzt.

Bemerkung zur Bezeichnung: Manche Autoren nennen gerichtete und strikt geordnete Vektorräume mit der Rieszschen Zerlegungseigenschaft Riesz-Räume, siehe zum Beispiel[7], und verwenden Riesz-Raum daher nicht als Synonym zu Vektorverband.

Im Zusammenhang mit den hier eingeführten Begriffen besteht folgender wichtiger Satz von F. Riesz[8]:

  • Ist   ein gerichteter und strikt geordneter Vektorraum mit der Rieszschen Zerlegungseigenschaft, so ist der ordnungsbeschränkte Dualraum ein vollständiger Vektorverband.

Als Anwendung betrachte man eine C*-Algebra  . Dann ist der selbstadjungierte Teil   ein reeller Vektorraum, der durch den Kegel   zu einem gerichteten und strikt geordneten Vektorraum mit Riesz'scher Interpolationseigenschaft wird.[9] Der Dualraum  , der mit dem ordnungsbeschränkten Dualraum zusammenfällt, ist daher ein vollständiger Vektorverband, was für die C*-Theorie von Bedeutung ist.

Topologische geordnete VektorräumeBearbeiten

Trägt ein geordneter Vektorraum zusätzlich eine Vektorraumtopologie, so spricht man von einem geordneten, topologischen Vektorraum und kann Stetigkeitseigenschaften der Ordnung untersuchen. Insbesondere in Vektorverbänden kann man die Stetigkeit der Abbildungen

  •  
  •  
  •  

studieren.

Es gilt folgender Satz für geordnete topologische Vektorverbände  [10]:

  • Die Abbildung   genau dann stetig ist, wenn   eine Nullumgebungsbasis aus Mengen   hat, die die folgende Eigenschaft haben: Ist   und   mit  , so folgt  .

Ist   sogar ein normierter Raum mit Norm   und ein Vektorverband, so nennt man die Norm eine Verbandsnorm, wenn aus   stets   folgt.[11] In diesem Fall spricht man von einem normierten Vektorverband. Dann ist der oben zitierte Satz anwendbar und man erkennt die Stetigkeit der Verbandsoperationen. Typische Beispiele sind die oben aufgeführten Beispiele   oder   mit ihren natürlichen Ordnungen und Normen.

Für geordnete topologische Vektorräume, insbesondere geordnete Banachräume, existiert eine umfangreiche Theorie, für die an dieser Stelle auf die Literatur verwiesen wird.

Siehe auchBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Graham Jameson: Ordered Linear Spaces, Springer Lecture Notes, Band 141 (1970), 1.1
  2. Graham Jameson: Ordered Linear Spaces, Springer Lecture Notes, Band 141 (1970), 1.1.3
  3. Graham Jameson: Ordered Linear Spaces, Springer Lecture Notes, Band 141 (1970), 1.3.1
  4. Graham Jameson: Ordered Linear Spaces, Springer Lecture Notes, Band 141 (1970), 1.3
  5. Graham Jameson: Ordered Linear Spaces, Springer Lecture Notes, Band 141 (1970), 1.4
  6. C. D. Aliprantis, R. Tourky: Cones and duality, American Mathematical Society (2007), 1.14
  7. Graham Jameson: Ordered Linear Spaces, Springer Lecture Notes, Band 141 (1970), 2.1
  8. Graham Jameson: Ordered Linear Spaces, Springer Lecture Notes, Band 141 (1970), 2.6.1
  9. Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups ISBN 0125494505, 1.4.10
  10. Graham Jameson: Ordered Linear Spaces, Springer Lecture Notes, Band 141 (1970), 4.1.5
  11. C. D. Aliprantis, R. Tourky: Cones and duality, American Mathematical Society (2007), 2.36

LiteraturBearbeiten

  • Graham Jameson: Ordered Linear Spaces, Springer Lecture Notes, Band 141 (1970)
  • W. A. J. Luxemburg and A. C. Zaanen: Riesz-Spaces, North-Holland Pub. Co.; New York, American Elsevier Pub. Co. (1971), ISBN 0444101292
  • C. D. Aliprantis, R. Tourky: Cones and duality, American Mathematical Society (2007), ISBN 0821841467