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Skalarmultiplikation

Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar
(Weitergeleitet von Skalare Multiplikation)
Skalarmultiplikation in der euklidischen Ebene: der Vektor w wird mit der Zahl 2 multipliziert und der Vektor v mit der Zahl -1

Die Skalarmultiplikation, auch S-Multiplikation oder skalare Multiplikation genannt, ist eine äußere zweistellige Verknüpfung zwischen einem Skalar und einem Vektor, die in der Definition von Vektorräumen gefordert wird. Die Skalare sind dabei die Elemente des Körpers, über dem der Vektorraum definiert ist. Auch die analoge Verknüpfung bei Moduln wird Skalarmultiplikation genannt.

Das Ergebnis einer Skalarmultiplikation ist ein entsprechend skalierter Vektor. Im anschaulichen Fall euklidischer Vektorräume verlängert oder verkürzt die Skalarmultiplikation die Länge des Vektors um den angegebenen Faktor. Bei negativen Skalaren wird dabei zusätzlich die Richtung des Vektors umgekehrt. Eine spezielle Form einer solchen Skalierung ist die Normierung. Hierbei wird ein Vektor mit dem Kehrwert seiner Länge (allgemein seiner Norm) multipliziert, wodurch man einen Einheitsvektor mit Länge (oder Norm) eins erhält.

Inhaltsverzeichnis

DefinitionBearbeiten

Ist   ein Vektorraum über dem Körper  , dann ist die Skalarmultiplikation eine zweistellige Verknüpfung

 ,

die per Definition des Vektorraumes gemischt assoziativ und distributiv ist, also für alle Vektoren   und alle Skalare   folgende Eigenschaften erfüllt:

  •  
  •  
  •  

Zudem gilt die Neutralität des Einselements   des Körpers:

  •  .

Hierbei bezeichnet   die Vektoraddition in   sowie   und   jeweils die Addition und die Multiplikation im Körper  . Häufig wird sowohl für die Vektoraddition, als auch für die Körperaddition das Pluszeichen   und sowohl für die Skalarmultiplikation, als auch für die Körpermultiplikation das Malzeichen   verwendet. Dieser Konvention wird auch aufgrund der einfacheren Lesbarkeit im weiteren Verlauf dieses Artikels gefolgt. Das Multiplikationssymbol wird oft auch weggelassen und man schreibt kurz   statt   und   statt  .

EigenschaftenBearbeiten

NeutralitätBearbeiten

Bezeichnet   das Nullelement des Körpers und   den Nullvektor des Vektorraums, dann gilt für alle Vektoren  

 ,

denn es gilt mit dem zweiten Distributivgesetz

 

und deswegen muss   der Nullvektor sein. Entsprechend gilt für alle Skalare  

 ,

denn es gilt mit dem ersten Distributivgesetz

 

und daher muss auch hier   der Nullvektor sein. Insgesamt erhält man so

 ,

denn aus   folgt entweder   oder   und dann  , wobei   das multiplikativ inverse Element zu   ist.

InverseBearbeiten

Bezeichnet nun   das additiv inverse Element zum Einselement   und   den inversen Vektor zu  , dann gilt

 ,

denn mit der Neutralität der Eins erhält man

 

und damit ist   der inverse Vektor zu  . Ist nun allgemein   das additiv inverse Element zu  , dann gilt

 ,

denn mit   erhält man durch das gemischte Assoziativgesetz

 

sowie mit der Kommutativität der Multiplikation zweier Skalare

 .

BeispieleBearbeiten

KoordinatenvektorenBearbeiten

Ist   der Koordinatenraum und   ein Koordinatenvektor, so wird die Multiplikation mit einem Skalar   komponentenweise wie folgt definiert:

 .

Bei der Skalarmultiplikation wird demnach jede Komponente des Vektors mit dem Skalar multipliziert. Im dreidimensionalen euklidischen Raum   erhält man beispielsweise

 .

MatrizenBearbeiten

Ist   der Matrizenraum und   eine Matrix, so wird die Multiplikation mit einem Skalar   ebenfalls komponentenweise definiert:

 .

Bei der Skalarmultiplikation wird also wiederum jeder Eintrag der Matrix mit dem Skalar multipliziert. Beispielsweise erhält man für eine reelle  -Matrix

 .

PolynomeBearbeiten

Ist   der Vektorraum der Polynome in der Variablen   mit Koeffizienten aus einem Körper  , so wird die Multiplikation eines Polynoms   mit einem Skalar   wiederum komponentenweise definiert:

 .

Beispielsweise ergibt die Skalarmultiplikation der reellen Polynomfunktion   mit der Zahl   das Polynom

 .

FunktionenBearbeiten

Ist   ein linearer Funktionenraum und   eine Funktion von einer nichtleeren Menge   in einen Vektorraum  , dann wird das Ergebnis der Skalarmultiplikation einer solchen Funktion mit einem Skalar   definiert als die Funktion

 .

Betrachtet man beispielsweise den Vektorraum der linearen reellen Funktionen der Form  , dann erhält man durch Skalarmultiplikation mit einer reellen Zahl   die Funktion

 .

Durch die Skalarmultiplikation wird demnach jeder Funktionswert um den Faktor   skaliert.

LiteraturBearbeiten

WeblinksBearbeiten