Satz von Bolzano-Weierstraß

mathematischer Satz über beschränkte Folgen in endlichdimensionalen reellen Vektorräumen

Der Satz von Bolzano-Weierstraß (nach Bernard Bolzano und Karl Weierstraß) ist ein Satz der Analysis über die Existenz konvergenter Teilfolgen.

Formulierungen des Satzes von Bolzano-WeierstraßBearbeiten

Für den Satz von Bolzano-Weierstraß gibt es folgende Formulierungen, die alle äquivalent zueinander sind:

BeweisskizzeBearbeiten

Der Beweis der allgemeinen Aussagen wird auf die eindimensionale reelle Aussage zurückgeführt. Diese kann man beweisen, indem man gleichzeitig eine Intervallschachtelung   und eine Teilfolge   konstruiert, so dass für jedes   gilt  . Diese zwei Folgen werden rekursiv konstruiert.

  1. Als Startpunkt dient das Intervall  , wobei L eine Schranke der Folge ist, d. h. alle Folgeglieder sind im Intervall enthalten. Weiter kann   als erstes Glied der zu bestimmenden Teilfolge gesetzt werden.
  2. Im Schritt von k zu k+1 enthält das Intervall   unendlich viele Folgeglieder.
    1. Zuerst wird das Intervall   halbiert in   und   mit dem Mittelpunkt  .
    2. Es können nicht in beiden Teilintervallen nur endlich viele Folgeglieder liegen. Es kann also immer ein Teilintervall mit unendlich vielen Folgenglieder ausgewählt werden, diese Hälfte wird mit   bezeichnet.
    3. Schließlich wird das nächste Glied   der Teilfolge als das erste Element   bestimmt, das in   liegt und dessen Index größer ist als der des zuvor gewählten Elements,  .
  3. Der Rekursionsschritt wird für alle   durchgeführt. Das betrachtete Intervall wird dabei immer kleiner,  , die Länge konvergiert gegen Null, wie es von einer Intervallschachtelung verlangt wird. Nach der Konstruktion ist der gemeinsame Punkt aller Intervalle  , auch schon der Grenzwert der Teilfolge,  , und damit ein Häufungspunkt der vorgegebenen beschränkten Folge.

Um den größten Häufungspunkt zu bestimmen, muss man, wann immer möglich, das obere Teilintervall wählen, für den kleinsten Häufungspunkt das untere Teilintervall.

Der Beweis beruht entscheidend auf dem Intervallschachtelungsprinzip, welches wiederum äquivalent ist zur Vollständigkeit der reellen Zahlen.

Visualisierung der BeweisskizzeBearbeiten

VerallgemeinerungenBearbeiten

Endlichdimensionale VektorräumeBearbeiten

Die komplexen Zahlen werden im Kontext dieses Satzes als zweidimensionaler reeller Vektorraum betrachtet. Für eine Folge   von Spaltenvektoren mit n reellen Komponenten wählt man zuerst eine Teilfolge, die in der ersten Komponente konvergiert. Von dieser wählt man wieder eine Teilfolge, die auch in der zweiten Komponente konvergiert. Die Konvergenz in der ersten Komponente bleibt erhalten, da Teilfolgen konvergenter Folgen wieder konvergent mit demselben Grenzwert sind. Und so weiter, bis die n-te Teilfolge auch in der letzten Komponente konvergiert.

Unendlichdimensionale VektorräumeBearbeiten

Der Satz von Bolzano-Weierstraß gilt nicht in unendlichdimensionalen normierten Vektorräumen. So ist z. B. die Folge der Einheitsvektoren (0,0,...,0,1,0,...,0,...) im Folgenraum   beschränkt, hat aber keinen Häufungspunkt, da alle Folgenglieder einen Abstand von   voneinander haben. Dieses Gegenbeispiel lässt sich auf beliebige unendlichdimensionale normierte Räume verallgemeinern, man kann darin immer eine unendliche Folge von Vektoren der Länge 1 konstruieren, die untereinander paarweise einen Abstand von wenigstens 1/2 besitzen.

Als Ersatz für den Satz von Bolzano-Weierstraß in unendlichdimensionalen Vektorräumen existiert in reflexiven Räumen folgende Aussage: Jede beschränkte Folge eines reflexiven Raumes besitzt eine schwach konvergente Teilfolge. Zusammen mit den sobolevschen Einbettungssätzen liefert die Existenz von schwach konvergenten Teilfolgen beschränkter Folgen häufig Lösungen von Variationsproblemen und damit partiellen Differentialgleichungen.

Folgerungen und VerallgemeinerungenBearbeiten

Aus dem Satz von Bolzano-Weierstraß folgt, dass jede monotone und beschränkte Folge reeller Zahlen konvergiert (Monotoniekriterium) und dass eine stetige Funktion auf einem abgeschlossenen und beschränkten Intervall ein Maximum bzw. ein Minimum annimmt (Satz vom Minimum und Maximum).

Der Satz von Bolzano-Weierstraß ist eng verwandt mit dem Satz von Heine-Borel. Eine Verallgemeinerung beider Sätze auf topologische Räume ist folgender: Ein topologischer Raum ist genau dann ein kompakter Raum, wenn jedes Netz ein konvergentes Teilnetz hat.

LiteraturBearbeiten

WeblinksBearbeiten