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Die Sätze von Picard (nach Émile Picard) sind Sätze der Funktionentheorie, eines Teilgebietes der Mathematik.

Sie lauten wie folgt:

Inhaltsverzeichnis

BemerkungenBearbeiten

  • In beiden Sätzen ist die eventuelle „Ausnahme eines Punktes“ offenbar nötig. Zum Beispiel bildet   nicht auf   ab, ebenso ist   nicht im Bild von   einer jeden punktierten Umgebung von   enthalten.
  • Der Kleine Satz folgt sofort aus dem Großen Satz, denn eine ganze Funktion ist entweder ein Polynom oder sie hat eine wesentliche Singularität in  .
  • Der Große Satz verallgemeinert den Satz von Weierstraß-Casorati.
  • Eine Vermutung von B. Elsner[2] ist mit dem Großen Satz von Picard verwandt: Sei   die punktierte offene Einheitskreisscheibe und   eine endliche offene Überdeckung von  . Auf jedem   sei eine schlichte (d. h. injektive holomorphe) Funktion   gegeben, so dass   auf jeder Schnittmenge  . Dann verschmelzen die Differentiale zu einer meromorphen 1-Form auf der Einheitskreisscheibe  . (Im Fall, dass das Residuum verschwindet, folgt die Vermutung aus dem Großen Satz.)

BeweisBearbeiten

Mit Hilfe der Theorie der j-Funktion kann ein kurzer Beweis des kleinen Satzes von Picard gegeben werden. Unter der Annahme,   sei ganz und lasse die Werte   aus, ist die Funktion

 

ganz und lässt die Werte 0 und 1 aus. Die j-Funktion bildet nun die mit Spitzen vereinigte obere Halbebene   auf eine Riemannsche Fläche mit unendlich vielen Blättern und Verzweigungspunkten an den Bildpunkten   und   ab. Es folgt, dass ihre Inverse   diese Riemannsche Fläche (ohne Einschränkung) auf den Abschluss des Standardfundamentalbereichs   abbildet. Da   für alle   und   und  ,   bzw.  , ist   lokal analytisch für alle komplexen Werte außer 0 und 1. Daraus folgt, dass die Komposition

 

in jeden Punkt lokal analytisch ist, da   gerade 0 und 1 auslässt. Damit lässt sich   zu einer ganzen Funktion ausdehnen, für welche allerdings   für alle   gelten muss, da  . Daraus folgt mit dem Satz von Liouville, dass   und folglich auch   konstant ist.

LiteraturBearbeiten

  • Heinrich Behnke, Friedrich Sommer: Theorie der analytischen Funktionen einer komplexen Veränderlichen. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg / New York 1965.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Heinrich Behnke, Friedrich Sommer: Theorie der analytischen Funktionen einer komplexen Veränderlichen. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg / New York 1965, S. 490.
  2. Bernhard Elsner: Hyperelliptic action integral. In: Annales de l’institut Fourier. Band 49, Nr. 1, 1999, ISSN 1777-5310, S. 303–331 (englisch, numdam.org [PDF; 2,0 MB; abgerufen am 9. September 2010]). S. 330.