Kompakt-Offen-Topologie

Topologie auf Funktionenräumen
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Die Kompakt-Offene-Topologie, kurz KO-Topologie,[1] ist eine im mathematischen Teilgebiet der Topologie betrachtete Struktur auf Funktionenräumen stetiger Funktionen. Sind nämlich und topologische Räume, so sind die stetigen Abbildungen die strukturerhaltenden Abbildungen. Daher liegt es nahe, die Menge aller stetigen Funktionen wieder mit einer Topologie auszustatten. Unter den vielen Möglichkeiten, das zu tun, hat sich die Kompakt-Offen-Topologie als besonders geeignet herausgestellt.

Die Mathematiker R. H. Fox (1945) und Richard Friederich Arens (1946) definierten als erste diese Topologie und untersuchten sie systematisch.[2]

Definition

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Seien   und   topologische Räume. Ist   kompakt und   offen, so sei  .

Die Kompakt-Offen-Topologie auf   ist die von allen Mengen der Form  ,   kompakt,   offen, erzeugte Topologie, d. h., die offenen Mengen dieser Topologie sind beliebige Vereinigungen endlicher Durchschnitte solcher Mengen  .

Die Mengen  ,   kompakt,   offen, bilden damit eine Subbasis der Kompakt-Offen-Topologie. Diese Topologie wird oft mit   abgekürzt (engl. compact-open),   bezeichnet dann den Raum  , der mit der Kompakt-Offen-Topologie versehen ist.

Eigenschaften

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Im Folgenden seien   und   topologische Räume.

Trennungsaxiome

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Ist Y T0-Raum, T1-Raum, Hausdorffraum, regulärer Raum oder ein vollständig regulärer Raum, so genügt   demselben Trennungsaxiom.

Die Auswertungsabbildung

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Für jede Teilmenge   hat man die Auswertungsabbildung  . Ist   irgendeine Topologie auf  , so dass   stetig ist (  trägt dabei die Produkttopologie aus   und der auf   gegebenen Topologie), so ist  , d. h., die relative Kompakt-Offen-Topologie auf   ist gröber als  . In einem wichtigen Spezialfall ist die Auswertungsabbildung   stetig, wenn man   mit der relativen Kompakt-Offen-Topologie versieht; es gilt:

Ist   lokalkompakt und   ein beliebiger topologischer Raum, so ist die Kompakt-Offen-Topologie auf jeder Teilmenge   die gröbste Topologie, die die Auswertungsabbildung   stetig macht.

Komposition

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Seien   und   lokalkompakt,   sei ein dritter topologischer Raum. Dann ist die Kompositionsabbildung

 

stetig.

Kompakte Konvergenz

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Sei   lokalkompakt,   uniformer Raum. Dann stimmt die Kompakt-Offen-Topologie auf   mit der Topologie der kompakten Konvergenz überein.

Anwendung

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Als typische Anwendung in der algebraischen Topologie wird hier die rekursive Definition der höheren Homotopiegruppen vorgestellt. Es sei   ein topologischer Raum mit einem ausgezeichneten Punkt  . Mit   werde die Fundamentalgruppe zum Basispunkt   bezeichnet. Zur Definition der höheren Homotopiegruppen   betrachte man den Raum   aller stetigen Abbildungen   des Einheitsintervalls   nach  , die den Rand   des Einheitsintervalls auf den Basispunkt   abbilden. Bezeichnet man die konstante Funktion aus  , die das Einheitsintervall auf den Punkt   abbildet, mit   und versieht man   mit der relativen Kompakt-Offen-Topologie von  , so ist das Paar   ein topologischer Raum mit einem ausgezeichneten Punkt.

Man definiert nun   und allgemeiner rekursiv   für  .

Literatur

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Einzelnachweise

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  1. Gerd Laures, Markus Szymik: Grundkurs Topologie. Spektrum – Akademischer Verlag, Heidelberg 2009, ISBN 978-3-8274-2040-4, S. 72.
  2. Boto von Querenburg: Mengentheoretische Topologie. 3., neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2001, ISBN 3-540-67790-9, S. 333.