Quasigeodäte

Kurven, die nicht unbedingt die kürzesten sind

In der Mathematik kommen Quasigeodäten (auch Quasi-Geodäten) in Differentialgeometrie, metrischer Geometrie und geometrischer Gruppentheorie vor. Es handelt sich um Kurven, die nicht unbedingt kürzeste Verbindungen sind, aber deren Länge nur auf kontrollierte Weise von der der kürzesten Verbindungen abweicht.

Definition

Bearbeiten

Es sei   ein metrischer Raum und   ein (endliches oder unendliches) abgeschlossenes Intervall. Eine (nicht notwendig stetige) Abbildung

 

ist eine Quasigeodäte, wenn es Konstanten   gibt, so dass für alle   gilt:

 .

Mit anderen Worten:   ist eine quasi-isometrische Einbettung.

Beispiele

Bearbeiten
  • Im   oder allgemeiner in jeder einfach zusammenhängende Riemannsche Mannigfaltigkeit nichtpositiver Schnittkrümmung ist eine Geodäte immer eine Quasigeodäte.
  • Die logarithmische Spirale   ist eine Quasigeodäte, denn es gilt  .
  • Kontrollierte Störungen einer Quasigeodäten sind wieder Quasigeodäten, mit einer evtl. anderen Konstanten  .
Genauer: Wenn   eine Quasigeodäte ist und   für eine Konstante   und alle   gilt, dann ist   eine Quasigeodäte.
  • Wenn   eine Quasigeodäte und   eine quasi-isometrische Einbettung ist, dann ist   eine Quasigeodäte.

Morse-Lemma

Bearbeiten

Es sei   ein Gromov-hyperbolischer Raum, zum Beispiel eine einfach zusammenhängende Riemannsche Mannigfaltigkeit negativer Schnittkrümmung. Dann hat jede Quasigeodäte   endlichen Hausdorff-Abstand von der (eindeutigen) Geodäte   durch   und  .

Genauer: Zu allen   gibt es ein  , so dass jede  -Quasigeodäte in einem  -hyperbolischen Raum im Abstand   von einer Geodäten liegt.

Insbesondere, wenn    -hyperbolisch und   stetig und rektifizierbar ist, dann gilt für alle  

 ,

wobei   die Länge von   bezeichnet.

Die analoge Aussage für CAT(0)-Räume oder Mannigfaltigkeiten nichtpositiver Schnittkrümmung trifft nicht zu. Ein Gegenbeispiel ist die logarithmische Spirale im  .

Literatur

Bearbeiten
  • Ghys, Étienne; de la Harpe, Pierre: Quasi-isométries et quasi-géodésiques. Sur les groupes hyperboliques d'après Mikhael Gromov (Bern, 1988), 79–102, Progr. Math., 83, Birkhäuser Boston, Boston, MA, 1990.
Bearbeiten