Die Hausdorff-Metrik, benannt nach dem Mathematiker Felix Hausdorff, misst den Abstand zwischen nichtleeren kompakten Teilmengen , eines metrischen Raums .

Die gefärbten Mengen links haben verhältnismäßig geringen Hausdorff-Abstand zu den entsprechenden Mengen rechts.

Anschaulich haben zwei kompakte Teilmengen einen geringen Hausdorff-Abstand, wenn es zu jedem Element der einen Menge ein Element der anderen Menge gibt, zu dem dieses einen geringen Abstand hat.

Definition

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Als Hilfsmittel definiert man den Abstand   zwischen einem Punkt   und einer nichtleeren kompakten Teilmenge   unter Rückgriff auf die Metrik   des Raums   als

 

Dann definiert man den Hausdorff-Abstand zwischen zwei nichtleeren kompakten Teilmengen   und   als

 

Man kann zeigen, dass   in der Tat eine Metrik auf der Menge aller kompakten Teilmengen von   ist.

Äquivalent kann man den Hausdorff-Abstand definieren als

 ,[1]

wobei

 ,

dies ist die Menge aller Punkte mit einem Abstand von höchstens   zur Menge  .

Anwendungen

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In der Theorie der iterierten Funktionensysteme werden Fraktale als Folgengrenzwerte im Sinne der Hausdorff-Metrik erzeugt.

Siehe auch

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Literatur

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Einzelnachweise

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  1. James Munkres: Topology. Prentice Hall, 1999, ISBN 0-13-181629-2, S. 280–281 (google.com).