Schottky-Gruppe

In der Mathematik sind Schottky-Gruppen gewisse Kleinsche Gruppen, die erstmals 1877 von Friedrich Schottky untersucht wurden.

Konstruktion

Klassische Schottky-Gruppen

Wir betrachten die Riemannsche Zahlenkugel $P^{1}\mathbb {C} =\mathbb {C} \cup \left\{\infty \right\}$ mit der Wirkung von $SL(2,\mathbb {C} )$ durch gebrochen-lineare Transformationen.

Man nehme $2k$ paarweise disjunkte Kreisscheiben

C_{-1},C_{1},\ldots ,C_{-k},C_{k}

in $\mathbb {C} \cup \left\{\infty \right\}$ . Für $i=1,\ldots ,k$ gibt es Abbildungen $\theta _{i}\in SL(2,\mathbb {C} )$ , die jeweils das Innere von $C_{-i}$ bijektiv auf das Äußere von $C_{i}$ abbilden. Die von $\theta _{1},\ldots ,\theta _{k}$ erzeugte Untergruppe $\Gamma \subset SL(2,\mathbb {C} )$ ist eine (klassische) Schottky-Gruppe.

Allgemeine Schottky-Gruppen

Allgemeiner kann man $2k$ disjunkte, von Jordan-Kurven berandete Gebiete betrachten. Falls es Abbildungen $\theta _{i}\in SL(2,\mathbb {C} )$ gibt, die jeweils das Innere von $C_{-i}$ bijektiv auf das Äußere von $C_{i}$ abbilden, dann wird die von den $\theta _{i}$ erzeugte Gruppe als Schottky-Gruppe bezeichnet. Im Rahmen dieser allgemeineren Definition werden die im vorherigen Abschnitt definierten Gruppen dann als klassische Schottky-Gruppen bezeichnet.

Eigenschaften

Man kann zeigen, dass alle Schottky-Gruppen freie Gruppen und diskrete Untergruppen von $SL(2,\mathbb {C} )$ sind. Die erste Eigenschaft folgt aus dem Kombinationssatz von Klein und die zweite aus dem Poincaréschen Polyedersatz.

Jede nicht-elementare Kleinsche Gruppe hat zahlreiche Untergruppen, die Schottky-Gruppen sind.^[1] Der Grund dafür ist, dass hinreichend hohe Potenzen gegebener loxodromischer Isometrien disjunkte "isometric circles" haben und deshalb eine Schottky-Gruppe erzeugen.

Schottky-Gruppen im hyperbolischen Raum

Hyperbolische Henkelkörper

Die Riemannsche Zahlenkugel ist der Rand im Unendlichen des 3-dimensionalen hyperbolischen Raumes $H^{3}$ , die Kreise $C_{i}$ beranden jeweils Halbsphären $S_{i}$ und die $\theta _{i}\in SL(2,\mathbb {C} )$ entsprechen jeweils loxodromischen Isometrien, welche das Äußere von $S_{-i}$ bijektiv auf das Innere von $S_{i}$ abbilden. Der Quotientenraum $\Gamma \backslash H^{3}$ ist dann homöomorph zum Inneren eines Henkelkörpers.

Limesmenge und Diskontinuitätsbereich

Die Limesmenge $\Lambda (\Gamma )$ einer Schottky-Gruppe ist eine Cantormenge. Das Komplement $P^{1}\mathbb {C} \setminus \Lambda (\Gamma )$ ist der Diskontinuitätsbereich $\Omega (\Gamma )$ .

Der Quotient $\Gamma \backslash \Omega (\Gamma )$ ist eine Riemannsche Fläche. Die Vereinigung $\Gamma \backslash (H^{3}\cup \Omega (\Gamma ))$ ist ein Henkelkörper.

Charakterisierung von Schottky-Gruppen

Nach einem Satz von Maskit^[2] sind die folgenden Eigenschaften einer diskreten Untergruppe $\Gamma \subset SL(2,\mathbb {C} )$ äquivalent:

$\Gamma$ ist eine Schottky-Gruppe.
$\Gamma \backslash H^{3}$ ist das Innere eines Henkelkörpers.
$\Gamma$ ist eine freie Gruppe und alle $\gamma \in \Gamma$ sind loxodromisch.

Für diskrete Untergruppe $\Gamma \subset SL(2,\mathbb {C} )$ , deren Elemente loxodromisch sind, hat Hou bewiesen, dass sie genau dann klassische Schottkygruppen sind, wenn die Hausdorffdimension ihrer Limesmenge kleiner als 1 ist.^[3]

Schottky-Uniformisierung

Eine Schottky-Uniformisierung einer Riemannschen Fläche ist gegeben durch eine Schottky-Gruppe $\Gamma$ , so dass $\Gamma \backslash \Omega (\Gamma )$ biholomorph zu der gegebenen Riemannschen Fläche ist. Nach einem Satz von Koebe besitzt jede Riemannsche Fläche eine Schottky-Uniformisierung.

Man kann zu einer Riemannschen Fläche sogar zu jeder Familie homologisch unabhängiger einfacher geschlossener Kurven $\gamma _{1},\ldots ,\gamma _{s}$ eine Schottky-Uniformisierung finden, so dass die gegebenen Kurven $\gamma _{i}$ jeweils eine Kreisscheibe im Henkelkörper $\Gamma \backslash (H^{3}\cup \Omega (\Gamma ))$ beranden.

Literatur

David Mumford, Caroline Series, David Wright: Indra's pearls. The vision of Felix Klein. Cambridge University Press, New York, 2002. ISBN 0-521-35253-3.

Weblinks

Caroline Series: A crash course on Kleinian groups. Rend. Istit. Mat. Univ. Trieste 37 (2005), no. 1–2, 1–38 (2006). (S. 16–17)

Einzelnachweise

↑ Theorem 2.9 in: Matsuzaki-Taniguchi: Hyperbolic manifolds and Kleinian groups. Oxford Mathematical Monographs. Oxford Science Publications. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1998. ISBN 0-19-850062-9
↑ Theorem 4.23 in: Matsuzaki-Taniguchi, op.cit.
↑ Yong Hou: The classification of Kleinian groups of Hausdorff dimensions at most one

[1] Theorem 2.9 in: Matsuzaki-Taniguchi: Hyperbolic manifolds and Kleinian groups. Oxford Mathematical Monographs. Oxford Science Publications. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1998. ISBN 0-19-850062-9

[2] Theorem 4.23 in: Matsuzaki-Taniguchi, op.cit.

[3] Yong Hou: The classification of Kleinian groups of Hausdorff dimensions at most one

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