Wurzelsystem

Hilfsmittel zur Klassifikation von Algebren

Wurzelsysteme dienen in der Mathematik als Hilfsmittel zur Klassifikation der endlichen Spiegelungsgruppen und der endlichdimensionalen halbeinfachen komplexen Lie-Algebren.

DefinitionenBearbeiten

Eine Teilmenge   eines Vektorraums   über einem Körper   der Charakteristik 0 heißt Wurzelsystem, falls sie die folgenden Bedingungen erfüllt:

  1.   ist endlich.
  2.   ist ein lineares Erzeugendensystem von  .
  3. Zu jedem   aus   gibt es eine Linearform   mit den Eigenschaften:
    • Für   ist   .
    •  
    • Die lineare Abbildung   mit   bildet   auf   ab.

Die Elemente eines Wurzelsystems heißen Wurzeln.

Ein reduziertes Wurzelsystem liegt vor, falls zusätzlich gilt

4. Sind zwei Wurzeln   linear abhängig, so gilt  

Man kann zeigen, dass die Linearform   aus 3. für jedes   eindeutig ist. Sie wird die Kowurzel zu   genannt; die Bezeichnung ist dadurch gerechtfertigt, dass die Kowurzeln ein Wurzelsystem im Dualraum   bilden. Die Abbildung   ist eine Spiegelung und natürlich ebenfalls eindeutig bestimmt.

Sind   und   zwei Wurzeln mit  , so kann man zeigen, dass auch   gilt, und man nennt   und   orthogonal zueinander. Kann man das Wurzelsystem derart als Vereinigung   zweier nicht-leerer Teilmengen schreiben, dass jede Wurzel in   orthogonal zu jeder Wurzel in   ist, so heißt das Wurzelsystem reduzibel. In diesem Fall lässt sich auch   in eine direkte Summe   zerlegen, so dass   und   Wurzelsysteme sind. Ist hingegen ein nicht-leeres Wurzelsystem nicht reduzibel, so heißt es irreduzibel.

Die Dimension des Vektorraums   heißt Rang des Wurzelsystems. Eine Teilmenge   eines Wurzelsystems   heißt Basis, falls   eine Basis von   ist und jedes Element von   als ganzzahlige Linearkombination von Elementen von   mit ausschließlich positiven oder ausschließlich negativen Koeffizienten dargestellt werden kann.

Zwei Wurzelsysteme   und   sind genau dann zueinander isomorph, wenn es einen Vektorraumisomorphismus   mit   gibt.

SkalarproduktBearbeiten

Man kann auf   ein Skalarprodukt definieren, bezüglich welchem die Abbildungen   Spiegelungen sind. Im reduziblen Fall kann man dieses aus Skalarprodukten auf den Komponenten zusammensetzen. Falls jedoch   irreduzibel ist, so ist dieses Skalarprodukt sogar bis auf einen Faktor eindeutig. Man kann dieses noch so normieren, dass die kürzesten Wurzeln die Länge 1 haben.

Man kann also im Prinzip davon ausgehen, dass ein Wurzelsystem in einem   (meist  ) mit dessen Standardskalarprodukt „lebt“. Die Ganzzahligkeit von   und   bedeutet dann eine erhebliche Einschränkung für die möglichen Winkel zwischen zwei Wurzeln   und  . Es ergibt sich nämlich aus

 

dass   ganzzahlig sein muss. Dies ist wiederum nur für die Winkel 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180° der Fall. Zwischen zwei verschiedenen Wurzeln einer Basis sind sogar nur die Winkel 90°, 120°, 135°, 150° möglich. All diese Winkel treten tatsächlich auf, vgl. die Beispiele vom Rang 2. Weiter ergibt sich, dass auch für das Längenverhältnis zweier Wurzeln in derselben irreduziblen Komponente nur wenige Werte möglich sind.

WeylgruppeBearbeiten

Die Untergruppe der Automorphismengruppe von  , die von der Menge der Reflexionen   erzeugt wird, heißt Weylgruppe (nach Hermann Weyl) und wird im Allgemeinen mit   bezeichnet. Bezüglich des definierten Skalarproduktes sind alle Elemente der Weylgruppe orthogonal, die   sind Spiegelungen.

Die Gruppe   operiert treu auf   und ist daher immer endlich. Ferner operiert   transitiv auf der Menge der Basen von  .

Im Fall   zerlegen die Spiegelungsebenen der   den Raum jeweils in Halbräume, insgesamt in mehrere offene konvexe Teilmengen, die sogenannten Weylkammern. Auch auf diesen operiert   transitiv.

Positive Wurzeln, Einfache WurzelnBearbeiten

Nach Wahl einer Weyl-Kammer   kann man die Menge der positiven Wurzeln definieren durch

 .

Dies definiert eine Anordnung auf   durch

 .

Die positiven bzw. negativen Wurzeln sind also diejenigen mit   bzw.  . (Man beachte, dass diese Definition von der Wahl der Weyl-Kammer abhängt. Zu jeder Weyl-Kammer erhält man eine Anordnung.)

Eine einfache Wurzel ist eine positive Wurzel, die sich nicht als Summe mehrerer positiver Wurzeln zerlegen lässt.

Die einfachen Wurzeln bilden eine Basis von  . Jede positive (negative) Wurzel lässt sich als Linearkombination einfacher Wurzeln mit nichtnegativen (nichtpositiven) Koeffizienten zerlegen.

BeispieleBearbeiten

Die leere Menge ist das einzige Wurzelsystem vom Rang 0 und ist auch das einzige Wurzelsystem, das weder reduzibel noch irreduzibel ist.

Es gibt bis auf Isomorphie nur ein reduziertes Wurzelsystem vom Rang 1. Es besteht aus zwei von 0 verschiedenen Wurzeln   und wird mit   bezeichnet. Betrachtet man auch nicht-reduzierte Wurzelsysteme, so ist   das einzige weitere Beispiel von Rang 1.

Alle reduzierten Wurzelsysteme vom Rang 2 haben, bis auf Isomorphie, eine der folgenden Formen.   ist jeweils eine Basis des Wurzelsystems.

   
Wurzelsystem A1×A1 Wurzelsystem A2
   
Wurzelsystem B2 Wurzelsystem G2
reduzierte Wurzelsysteme vom Rang 2

Im ersten Beispiel,  , ist das Verhältnis der Längen von   und   beliebig, in den anderen Fällen dagegen durch die geometrischen Gegebenheiten eindeutig bestimmt.

KlassifikationBearbeiten

Bis auf Isomorphie ist sämtliche Information über ein reduziertes Wurzelsystem   in seiner Cartan-Matrix

 

enthalten. Man kann dies auch in Form eines Dynkin-Diagramms darstellen. Dazu setzt man für jedes Element einer Basis einen Punkt und verbindet die Punkte α und β durch Striche, deren Anzahl durch

 

bestimmt wird. Sind dies mehr als einer, so setzt man zusätzlich zwischen beide Punkte ein Relationszeichen > bzw. <, d. h. einen ‚Pfeil‘ in Richtung der kürzeren Wurzel. Die Zusammenhangskomponenten des Dynkin-Diagramms entsprechen genau den irreduziblen Komponenten des Wurzelsystems. Als Diagramm eines irreduziblen Wurzelsystems können nur auftreten:

 

Der Index   gibt hierbei jeweils den Rang und damit die Anzahl der Punkte im Diagramm an. Aus den Dynkin-Diagrammen kann man mehrere Identitäten für Fälle kleineren Ranges ablesen, nämlich:

  •  
  •  
  •  

Deshalb bildet beispielsweise   erst ab   und   erst ab   eine eigenständige Klasse. Die zu den Serien   bis   gehörenden Wurzelsysteme werden auch als klassische Wurzelsysteme bezeichnet, die übrigen fünf als exzeptionelle oder Ausnahme-Wurzelsysteme. Alle genannten Wurzelsysteme treten beispielsweise auch auf als Wurzelsystem halbeinfacher komplexer Lie-Algebren.

Nicht reduzierte WurzelsystemeBearbeiten

Für irreduzible, nicht reduzierte Wurzelsysteme gibt es nur wenige Möglichkeiten, die gedacht werden können als die Vereinigung eines   mit einem   (mit  ) bzw. als ein  , bei dem für jede kurze Wurzel deren Doppeltes hinzugenommen wurde.

Weitere AnwendungenBearbeiten

Lie-AlgebrenBearbeiten

Es sei   eine endlich-dimensionale halbeinfache Lie-Algebra und   eine Cartan-Unteralgebra. Dann heißt   eine Wurzel, wenn

 

ist. Hierbei ist   die mittels der Killing-Form   durch

 

definierte lineare Abbildung.

Sei   die Menge der Wurzeln, dann kann man zeigen, dass

 

ein Wurzelsystem ist.

EigenschaftenBearbeiten

Dieses Wurzelsystem hat folgende Eigenschaften:

  1.   ist eine reelle Form von  .
  2. Für   gilt   genau dann, wenn  .
  3. Für alle   ist  .
  4. Für alle   ist  , insbesondere  .
  5.   spannen eine zur Lie-Algebra sl(2,C) isomorphe Lie-Algebra auf.
  6. Für   ist  , d. h., die Wurzelräume sind bzgl. der Killing-Form orthogonal. Die Einschränkung der Killing-Form auf   und   ist nicht-entartet. Die Einschränkung der Killing-Form auf   ist reell und positiv definit.

Endlich-dimensionale halbeinfache komplexe Lie-Algebren werden durch ihre Wurzelsysteme, also durch ihre Dynkin-Diagramme, klassifiziert.

BeispielBearbeiten

Es sei  . Die Killing-Form ist  , eine Cartan-Unteralgebra   ist die Algebra der Diagonalmatrizen mit Spur 0, also  . Wir bezeichnen mit   die Diagonalmatrix mit  -tem Diagonaleintrag   und den anderen Diagonaleinträgen gleich 0.

Das Wurzelsystem von   ist  . Die zu   duale Form   ist

 .

Als positive Weyl-Kammer kann man

 

wählen. Die positiven Wurzeln sind dann

 .

Die einfachen Wurzeln sind

 .

SpiegelungsgruppenBearbeiten

Eine Coxeter-Gruppe ist abstrakt definiert als Gruppe mit Präsentation

 

mit   und   für  , sowie der Konvention  , falls   unendliche Ordnung hat, d. h. es keine Relation der Form   gibt.

Coxeter-Gruppen sind eine Abstraktion des Begriffs der Spiegelungsgruppe.

Jeder Coxeter-Gruppe entspricht ein ungerichtetes Dynkin-Diagramm. Die Punkte des Diagramms entsprechen den Erzeugern  . Die   und   entsprechenden Punkte werden durch   Kanten verbunden.

SingularitätenBearbeiten

Nach Wladimir Arnold lassen sich Elementare Katastrophen durch Dynkin-Diagramme vom Typ ADE klassifizieren:

  •   – ein nicht-singulärer Punkt,  .
  •   – ein lokales Extremum, entweder ein stabiles Minimum oder ein instabiles Maximum  .
  •   – die Faltung, fold
  •   – die Spitze, cusp
  •   – der Schwalbenschwanz, swallowtail
  •   – der Schmetterling, butterfly
  •   – eine unendliche Folge von Formen in einer Variablen  
  •   – die elliptische umbilische Katastrophe
  •   – die hyperbolische umbilische Katastrophe
  •   – die parabolische umbilische Katastrophe
  •   – eine unendliche Folge weiterer umbilischer Katastrophen
  •   – die umbilische Katastrophe  
  •  
  •  

WeblinksBearbeiten

LiteraturBearbeiten

  • Jean-Pierre Serre: Complex Semisimple Lie Algebras, Springer, Berlin, 2001.