In der Riemannschen Geometrie, einem Teilgebiet der Mathematik, ist die Busemann-Funktion eine Funktion, die den "Abstand zu unendlich fernen Punkten" misst. Sie ist nach Herbert Busemann benannt.

Definition

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Sei   eine Riemannsche Mannigfaltigkeit und   eine nach Bogenlänge parametrisierte Geodäte. Die Busemann-Funktion   ist definiert durch

 .

Der Grenzwert existiert, weil   monoton wachsend und durch   nach oben beschränkt ist.

In gewisser Weise misst   den Abstand eines Punktes vom unendlich fernen Punkt  .

Horosphären

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Das Poincaré-Modell der hyperbolischen Ebene, verschiedene im selben Punkt endende Geodäten (in Rot) und eine zugehörige Horosphäre (in Blau); die Horosphäre hängt nicht von der Geodäte, sondern nur vom Endpunkt ab.

Die Niveaumengen der Busemann-Funktion heißen Horosphären. Im Fall von Flächen werden die (dann eindimensionalen) Horosphären auch als Horozykel bezeichnet.

Die Subniveaumengen   für   werden als Horobälle bezeichnet. Eine Horosphäre ist also der Rand eines Horoballs.

Den Endpunkt im Unendlichen   der die Busemann-Funktion   definierenden Geodäten bezeichnet man als Mittelpunkt oder Zentrum der so definierten Horosphären und Horobälle.

Eigenschaften

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  ist eine Lipschitz-Funktion mit Lipschitz-Konstante  .

Wenn   eine Hadamard-Mannigfaltigkeit ist, dann ist   zweimal stetig differenzierbar und konkav (für jede Geodäte  ).

Dagegen ist   konvex, wenn   nichtnegative Schnittkrümmung hat. Wenn   nichtnegative Ricci-Krümmung hat, dann ist   subharmonisch, und wenn   eine Kähler-Mannigfaltigkeit mit nichtnegativer holomorpher Bischnittkrümmung ist, dann ist   plurisubharmonisch.

Literatur

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  • Herbert Busemann: The geometry of geodesics. Academic Press Inc., New York, N. Y., 1955.
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