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Niveaumengen (schwarze Linien) um einen Sattelpunkt einer Funktion von zwei Variablen

In der Mathematik bezeichnet eine Niveaumenge oder Levelmenge die Menge aller Punkte des Definitionsbereichs einer Funktion, denen ein gleicher Funktionswert zugeordnet ist. Eng verwandte Begriffe für Funktionen mit Werten in einer geordneten Menge sind die der Subniveaumenge, die alle Punkte enthält, deren Funktionswerte einen vorgegebenen Wert nicht überschreiten, und der Superniveaumenge, die alle Punkte enthält, deren Funktionswerte einen vorgegebenen Wert nicht unterschreiten.

Inhaltsverzeichnis

DefinitionBearbeiten

Es seien   Mengen,   eine Funktion und   ein Wert aus der Zielmenge, dann heißt

 

die Niveaumenge der Funktion   zum Niveau bzw. Level  .

Trägt   eine Ordnungsrelation   (mit Umkehrrelation  ), können wir folgende Begriffe definieren.

Als Subniveaumenge wird die Menge

 

bezeichnet, im Falle   ist  .

Als Superniveaumenge wird die Menge

 

bezeichnet, im Falle   ist  .

AnwendungenBearbeiten

PhysikBearbeiten

Für zweidimensionale Skalarfelder ist eine Niveaumenge zumeist eine Linie und man spricht von einer Isolinie oder Niveaulinie. Für dreidimensionale Skalarfelder (zum Beispiel für skalare Potentialfelder) ist diese Menge zumeist eine gekrümmte Fläche und man nennt sie Isofläche oder Niveaufläche (z. B. Höhenlinien).
Der Begriff Niveaufläche wird aber auch für Kraftfelder wie das elektrische Feld oder Magnetfelder verwendet.

WirtschaftswissenschaftenBearbeiten

Für eine Produktionsfunktion   sowie ein Produktionsniveau   ist   die Menge aller Bündel von Produktionsfaktoren, mit denen sich die Menge   generieren lässt. Die Menge   wird als Isoquante zum Produktionsniveau   bezeichnet.[1]

VerallgemeinerungBearbeiten

Ist die Funktion reell-vektorwertig, hat also als Bildraum den   und ist dieser mit einer verallgemeinerten Ungleichung   versehen, so lässt sich die Subniveaumenge verallgemeinern zu

 

und die Superniveaumenge zu

 .

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Klaus D. Schmidt: Mathematik. Grundlagen für Wirtschaftswissenschaftler. 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin 2000, ISBN 978-3-540-66521-2, S. 369 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).