Halbeinfache Lie-Gruppe

In der Mathematik ist eine halbeinfache Lie-Gruppe eine zusammenhängende Lie-Gruppe, deren Lie-Algebra halbeinfach ist.

Äquivalente CharakterisierungenBearbeiten

Eine zusammenhängende Lie-Gruppe ist genau dann halbeinfach, wenn sie eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt:

BeispieleBearbeiten

Maximal kompakte UntergruppeBearbeiten

Zu einer halbeinfachen Lie-Gruppe   gibt es eine bis auf Konjugation eindeutige maximale kompakte Untergruppe  . Beispielsweise ist SO(n) eine maximal kompakte Untergruppe von   und SU(n) eine maximal kompakte Untergruppe von  .

Symmetrischer RaumBearbeiten

Sei   eine maximal kompakte Untergruppe der (nicht-kompakten) halbeinfachen Lie-Gruppe  . Der Quotient   ist ein symmetrischer Raum von nichtkompaktem Typ.

Der duale symmetrische Raum wird mit   bezeichnet. Seine Isometriegruppe   ist eine kompakte Lie-Gruppe.

LiteraturBearbeiten

  • Brian C. Hall: Lie groups, Lie algebras, and representations. An elementary introduction. (= Graduate Texts in Mathematics. 222). Springer-Verlag, New York 2003, ISBN 0-387-40122-9.