Fundamentalklasse

In der Mathematik bezeichnet man als Fundamentalklasse einen Erzeuger der höchsten Homologiegruppe einer Mannigfaltigkeit. Im Falle triangulierter Mannigfaltigkeiten kann man die Fundamentalklasse durch die formale Summe der kohärent orientierten Simplizes der Triangulierung repräsentieren.

Zykel, welche die Fundamentalklasse repräsentieren (d. h., deren Homologieklasse die Fundamentalklasse ist), werden als Fundamentalzykel bezeichnet.

DefinitionenBearbeiten

Geschlossene, orientierbare MannigfaltigkeitenBearbeiten

Es sei   eine geschlossene orientierbare  -dimensionale Mannigfaltigkeit. Dann ist

 

und man bezeichnet einen der beiden Erzeuger als Fundamentalklasse  .

Mannigfaltigkeiten mit RandBearbeiten

Es sei   eine kompakte, orientierbare  -dimensionale Mannigfaltigkeit mit Rand. Dann ist

 

und man bezeichnet einen der beiden Erzeuger als relative Fundamentalklasse  .

Nicht-orientierbare MannigfaltigkeitenBearbeiten

Es sei   eine geschlossene, nicht notwendig orientierbare,  -dimensionale Mannigfaltigkeit. Dann ist

 

und man bezeichnet den Erzeuger (d. h. das nichttriviale Element) als  -Fundamentalklasse.

Lokale OrientierungenBearbeiten

Es sei   eine  -dimensionale Mannigfaltigkeit. Dann gilt

 

für jeden Punkt  . Falls   geschlossen und orientierbar ist, dann ist

 

ein Isomorphismus und man bezeichnet das Bild der Fundamentalklasse   unter   als lokale Orientierung in  .

Nichtkompakte MannigfaltigkeitenBearbeiten

Es sei   eine orientierbare  -dimensionale Mannigfaltigkeit. Dann gibt es zu jeder kompakten Teilmenge   eine Homologieklasse

 

so dass jede Inklusion   kompakter Teilmengen die Klasse   auf   abbildet.

Kronecker-PaarungBearbeiten

Die kanonische Kronecker-Paarung zwischen Homologie und Kohomologie lässt sich im Fall  -dimensionaler, geschlossener, orientierbarer Mannigfaltigkeiten wie folgt interpretieren. Sei die Kohomologieklasse   in De-Rham-Kohomologie repräsentiert durch die Differentialform  , dann ist

 .

LiteraturBearbeiten

M. J. Greenberg, J. R. Harper: Algebraic topology, Benjamin/Cummings Publishing Co. Inc. Advanced Book Program, 1981

WeblinksBearbeiten

Fundamental class (Encyclopedia of Mathematics)