Polyzyklische Gruppe

Polyzyklische Gruppen sind spezielle im mathematischen Teilgebiet der Gruppentheorie betrachtete Gruppen. Sie setzen sich aus zyklischen Gruppen zusammen.

DefinitionBearbeiten

Eine Gruppe   heißt polyzyklisch, falls es eine endliche Kette

 

gibt, so dass jede Faktorgruppe   zyklisch ist. Das Symbol   steht dabei, wie üblich, für "ist Normalteiler in".[1][2]

BeispieleBearbeiten

EigenschaftenBearbeiten

  • Untergruppen, homomorphe Bilder und Erweiterungen polyzyklischer Gruppen sind wieder polyzyklisch.
  • Polyzyklische Gruppen erfüllen die Maximalbedingung für Untergruppen, das heißt jede nicht-leere Menge von Untergruppen besitzt ein maximales Element.
Beweis: Für zyklische Gruppen ist das klar und die Maximalbedingung setzt sich auf Erweiterungen fort.
  • Jede Untergruppe einer polyzyklischen Gruppe ist endlich erzeugt, denn das ist äquivalent zur Maximalbedingung.[4]
  • Jede polyzyklische Gruppe ist residuell endlich, das heißt zu jedem von 1 verschiedenen Element gibt es einen Normalteiler mit endlichem Index, der das Element nicht enthält.[5]
  • Die Frattinigruppe einer polyzyklischen Gruppe ist nilpotent.
  • Ist G eine Gruppe, die eine polyzyklische Untergruppe mit endlichem Index enthält, so ist der Gruppenring   bzgl. eines Körpers K noethersch.[6]

Äquivalente CharakterisierungenBearbeiten

  • Eine Gruppe ist genau dann polyzyklisch, wenn sie auflösbar ist und der Maximalbedingung genügt.[7]
  • Eine Gruppe G ist genau dann polyzyklisch, wenn es eine Reihe   aus Normalteilern   gibt, so dass alle Faktoren   entweder eine endlich erzeugte freie abelsche Gruppe oder eine endliche elementar abelsche Gruppe ist.[8]
  • Die polyzyklischen Gruppen sind bis auf Isomorphie genau die auflösbaren Untergruppen der  , der ganzzahligen allgemeinen linearen Gruppe.[9]
Dass auflösbare Untergruppen der   polyzyklisch sind, wurde bereits 1951 von Anatoli Malzew bewiesen.[10] Der Beweis der von Philip Hall vermuteten Umkehrung gelang 1967 Louis Auslander,[11] der Beweis konnte von Richard Swan erheblich vereinfacht werden.[12]

Hirsch-LängeBearbeiten

Die zyklische Reihe   in der Definition der polyzyklischen Gruppe ist nicht eindeutig festgelegt, wie schon das einfache Beispiel   zeigt. Aber die Anzahl der zu   isomorphen Faktoren hängt nicht von der zyklischen Reihe ab. Diese Anzahl heißt die Hirsch-Länge der polyzyklischen Gruppe, benannt nach K. A. Hirsch.[13]

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. D.J.S. Robinson: A Course in the Theory of Groups, Springer-Verlag 1996, ISBN 978-1-4612-6443-9, Seite 54
  2. Peter J. Hilton: Nilpotente Gruppen und nilpotente Räume, Lecture Notes in Mathematics, Band 1053 (1981), Definition 3.19
  3. Louis H. Rowen: Ring Theory II, Academic Press (1988), nach Definition 8.2.1
  4. D.J.S. Robinson: A Course in the Theory of Groups, Springer-Verlag 1996, ISBN 978-1-4612-6443-9, Satz 3.1.6
  5. D.J.S. Robinson: A Course in the Theory of Groups, Springer-Verlag 1996, ISBN 978-1-4612-6443-9, Satz 5.4.17
  6. Louis H. Rowen: Ring Theory II, Academic Press (1988), nach Definition 8.2.1
  7. D.J.S. Robinson: A Course in the Theory of Groups, Springer-Verlag 1996, ISBN 978-1-4612-6443-9, Satz 5.4.12
  8. D.J.S. Robinson: A Course in the Theory of Groups, Springer-Verlag 1996, ISBN 978-1-4612-6443-9, Satz 5.4.14
  9. Daniel Segal: Polycyclic Groups, Cambridge University Press (2005), ISBN 978-0-521-02394-8, Kapitel 5
  10. A. I. Malcev: On some classes of infinite solvable groups, Mat. Sb. 28(70) (1951), Seiten 567–588; Amer. Math. Soc. Transl. (2) 2 (1956), Seiten 1–22
  11. L. Auslander: On a Problem of Philip Hall, Annals of Mathematics (1967), Band 86, Nr. 1, Seiten 112–116
  12. R. Swan: Representations of Polycyclic Groups, Proceedings of the American Mathematical Society (1967), Band 18, Seiten 573–574, siehe hier
  13. D.J.S. Robinson: A Course in the Theory of Groups, Springer-Verlag 1996, ISBN 978-1-4612-6443-9, Satz 5.4.13