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Nilpotente Gruppe ist ein Begriff aus dem Bereich der Gruppentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik. In gewissem Sinn verallgemeinert er für endliche Gruppen den Begriff der kommutativen Gruppe „so wenig wie möglich“: Jede kommutative Gruppe ist nilpotent, aber nicht umgekehrt. Endliche kommutative Gruppen lassen sich (bis auf Isomorphie) eindeutig als direktes Produkt von endlich vielen zyklischen Gruppen von Primzahlpotenzordnung darstellen. Dies ist eine Aussage des Hauptsatzes über endlich erzeugte abelsche Gruppen. Bei endlichen nilpotenten Gruppen übernehmen die p-Sylowgruppen die Rolle der zyklischen Gruppen: Jede endliche nilpotente Gruppe ist (bis auf Isomorphie) ein direktes Produkt ihrer p-Sylowgruppen. Die Definition des Begriffs „nilpotente Gruppe“ beruht auf dem allgemeineren Konzept einer Kette von Untergruppen (mit bestimmten Eigenschaften), das im Artikel „Reihe (Gruppentheorie)“ erläutert wird.

Inhaltsverzeichnis

CharakterisierungenBearbeiten

Für nilpotente Gruppen lassen sich diverse äquivalente Charakterisierungen angeben. Sie werden oft über die Betrachtung bestimmter Reihen eingeführt. Definiere für eine Gruppe die Kommutatoren induktiv

 
  für  .

Man erhält dadurch die absteigende Zentralreihe

 .

Man nennt   nilpotent, falls die absteigende Zentralreihe für ein   bei der Einsgruppe endet.

Ähnlich kann man für   das  -te Zentrum   induktiv wie folgt definieren.

 ,
 
  ist das Urbild von  .

Damit ist

 

eine aufsteigende Reihe; die aufsteigende Zentralreihe. Man kann zeigen, dass   genau dann nilpotent im obigen Sinne ist, falls diese Reihe bis zu ganz   aufsteigt und dass die Längen beider Ketten gleich sind, was zur Definition der Nilpotenzklasse (auch Nilpotenzgrad) führt. Der Nilpotenzgrad ist genau die gemeinsame Länge dieser beiden Reihen.[1]

Für endliche Gruppen gelten folgende Charakterisierungen:[2]

  • Alle  -Sylowuntergruppen sind normal in  . Insbesondere ist   direktes Produkt ihrer  -Sylowuntergruppen.
  • Für Primzahlen   sind Produkte von  -Elementen wieder  -Elemente.
  • Jede Untergruppe von   ist subnormal.
  • Für verschiedene Primzahlen   und   sind die Kommutatoren von  -Elementen mit  -Elementen gleich dem neutralen Element.
  • Ist   eine echte Untergruppe von  , so ist   echt in ihrem Normalisator enthalten.
  • Ist   eine maximale Untergruppe, so ist   normal in  .

EigenschaftenBearbeiten

  • Untergruppen, Faktorgruppen und homomorphe Bilder einer nilpotenten Gruppe sind nilpotent.
  • Ist umgekehrt   ein nilpotenter Normalteiler und   ebenfalls nilpotent, so ist   im Allgemeinen nicht nilpotent. Ein Beispiel ist die nicht nilpotente Gruppe S3, die einen zur zyklischen und damit nilpotenten Gruppe   isomorphen Normalteiler   besitzt, dessen Faktorgruppe   ebenfalls nilpotent ist. Es gilt aber der folgende Satz:
  • Philip Hall: Ist   eine Gruppe mit einem nilpotenten Normalteiler  , so dass   nilpotent ist, so ist auch   nilpotent.[3] Dabei ist   die Kommutatorgruppe von  .
  • Jede nilpotente Gruppe ist auflösbar. Die Umkehrung ist im Allgemeinen falsch, wie die symmetrische Gruppe S3 belegt.
  • Endlich erzeugte nilpotente Gruppen sind überauflösbar, auch hier gilt die Umkehrung nicht.
  • Produkte nilpotenter Normalteiler in einer Gruppe sind nilpotent. Diese Eigenschaft führt zur Definition der Fitting-Untergruppe, (nach Hans Fitting) dem Produkt aller nilpotenten Normalteiler.

KlassifikationBearbeiten

  • Das direkte Produkt nilpotenter Gruppen ist nilpotent, falls die Nilpotenzgrade der Faktoren beschränkt sind.
  • Jede endliche p-Gruppe ist nilpotent. Eine unendliche p-Gruppe ist nilpotent, wenn die Ordnung der Gruppenelemente beschränkt ist. (Beachte, dass diese Forderung stärker ist, als die Forderung endlicher Ordnung für Gruppenelemente, die durch die Definition der p-Gruppe ohnehin gewährleistet ist.)
  • Eine endliche nilpotente Gruppe ist isomorph zum direkten Produkt ihrer p-Sylow-Untergruppen. Man beachte dabei, dass jede nilpotente Gruppe zu jeder Primzahl p genau eine (ggf. triviale) p-Sylow-Untergruppe besitzt.

BeispieleBearbeiten

  • Eine nicht triviale Gruppe ist genau dann nilpotent vom Nilpotenzgrad 1, wenn sie abelsch ist.
  • Es sei   ein Körper und   eine natürliche Zahl. Die Menge der n×n-Matrizen der Form
  (dabei stehen die Sterne für beliebige Elemente von  )
ist eine Untergruppe der Gruppe der invertierbaren n×n-Matrizen, die Gruppe der strikten oberen Dreiecksmatrizen. Sie ist nilpotent mit Nilpotenzgrad  .
Im Spezialfall  ,   trägt diese Gruppe auch den Namen Heisenberggruppe.
  • Die Diedergruppe   mit   Elementen ist genau dann nilpotent, wenn   gilt; in diesem Fall ist der Nilpotenzgrad gleich  .
  • Die Frattinigruppe   ist stets nilpotent und falls   nilpotent, dann auch  .[4]

LiteraturBearbeiten

  • Thomas W. Hungerford: Algebra (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Michael Aschbacher: Finite group theory, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, Band 10, 2te Auflage, Cambridge University Press (2000), ISBN 0-521-78145-0, S. 28–29.
  2. D.J.S. Robinson: A Course in the Theory of Groups, Springer-Verlag 1996, ISBN 0-387-94461-3, Satz 5.2.4
  3. D.J.S. Robinson: A Course in the Theory of Groups, Springer-Verlag 1996, ISBN 0-387-94461-3, Satz 5.2.10
  4. Hans Kurzweil, Bernd Stellmacher: The theory of finite groups. An introduction. Springer, New York u. a. 2004, ISBN 0-387-40510-0, S. 105.