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Überauflösbare Gruppe ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Gruppentheorie. Es handelt sich um eine Verschärfung der Auflösbarkeit einer Gruppe.

Inhaltsverzeichnis

DefinitionBearbeiten

Eine Gruppe   heißt überauflösbar, falls es Normalteiler   gibt mit

 ,

so dass alle Faktorgruppen   zyklisch sind.

Der wesentliche Unterschied zur Auflösbarkeit liegt darin, dass wir hier nicht nur fordern, dass   ein Normalteiler in   ist, um die Faktorgruppen bilden zu können, sondern die stärkere Forderung stellen, dass die   sogar Normalteiler in   sind. Überauflösbarkeit ist daher ein stärkerer Begriff als Auflösbarkeit.

BeispieleBearbeiten

  • Trivialer Weise ist jede zyklische Gruppe überauflösbar. Damit sind die Gruppen   und   überauflösbar, sowie endliche direkte Summen aus solchen.
  • Endlich erzeugte nilpotente Gruppen sind überauflösbar.[1]
  • Die symmetrische Gruppe S3 ist überauflösbar aber nicht nilpotent, denn
 
erfüllt offenbar die Definition, aber da die Gruppe   triviales Zentrum hat, kann sie nicht nilpotent sein.

EigenschaftenBearbeiten

  • Überauflösbare Gruppen sind auflösbar, wie zur Definition bereits bemerkt wurde.
  • Überauflösbare Gruppen sind polyzyklisch.
  • Überauflösbare Gruppen genügen der Maximalbedingung, das heißt jede nicht-leere Menge von Untergruppen enthält eine maximale Untergruppe. Daraus folgt, dass jede Untergruppe endlich erzeugt ist. Insbesondere sind überauflösbare Gruppen stets endlich erzeugt.
  • Die definierende Reihe von Normalteilern einer überauflösbaren Gruppe ist nicht eindeutig bestimmt. Durch geeignete Operationen kann man sogar zu einer Reihe   übergehen, deren Faktoren   wie folgt angeordnet sind: zunächst kommen alle zu   mit ungerader Primzahl p isomorphen Faktoren, und zwar in absteigender Reihenfolge, dann alle zu   isomorphen Faktoren und schließlich alle zu   isomorphen Faktoren.[3]
  • Ist   überauflösbar, so ist die Fitting-Untergruppe   nilpotent und die Faktorgruppe   ist endlich und abelsch.[4]

VererbungseigenschaftenBearbeiten

  • Untergruppen und homomorphe Bilder überauflösbarer Gruppen sind wieder überauflösbar.[5]
  • Die Umkehrung gilt nicht, die Klasse der überauflösbaren Gruppen ist nicht gegenüber Erweiterungen abgeschlossen. Die alternierende Gruppe   enthält einen zur Kleinschen Vierergruppe isomorphen Normalteiler  . Dann sind   und   überauflösbar,   selbst ist aber nicht überauflösbar.
  • Bestimmte Erweiterungen allerdings sind überauflösbar: Ist   eine Gruppe mit einem zyklischen Normalteiler  , so dass   überauflösbar ist, so ist   überauflösbar.[6]
  • Endliche direkte Summen überauflösbarer Gruppen sind wieder überauflösbar.[7]
  • Unendliche direkte Summen sind in der Regel nicht überauflösbar. So ist   nicht überauflösbar, denn diese Gruppe genügt nicht der Maximalbedingung.

Endliche GruppenBearbeiten

Für endliche Gruppen bestehen einige äquivalente Charakterisierungen, für die folgende Begriffe benötigt werden.   bezeichne die Frattinigruppe der Gruppe  . Unter einer maximalen Kette in   versteht man eine Kette   von Untergruppen, so dass jedes   maximale Untergruppe in   ist für  , die Zahl n heißt die Länge dieser Kette.

Für eine endliche Gruppe   sind äquivalent:

  •   ist überauflösbar.
  • (B. Huppert) Jede maximale Untergruppe hat eine Primzahl als Index.[8]
  •   ist überauflösbar.[9]
  • (K. Iwasawa) Je zwei maximale Ketten in   haben dieselbe Länge.[10]

Für endliche Gruppen gelten die Implikationen

zyklisch       abelsch       nilpotent       überauflösbar       auflösbar.

Das obige Beispiel   zeigt, dass für unendliche Gruppen aus abelsch nicht notwendig überauflösbar folgt.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. D.J.S. Robinson: A Course in the Theory of Groups, Springer-Verlag 1996, ISBN 0-387-94461-3, Satz 5.4.6. (ii)
  2. John C. Lennox: Theory of Infinite Soluble Groups, Clarendon Press (2004), ISBN 978-0-191-52315-1, Seite 15
  3. D.J.S. Robinson: A Course in the Theory of Groups, Springer-Verlag 1996, ISBN 0-387-94461-3, Satz 5.4.8.
  4. D.J.S. Robinson: A Course in the Theory of Groups, Springer-Verlag 1996, ISBN 0-387-94461-3, Satz 5.4.10.
  5. W. R. Scott: Group Theory, Dover Publications (2010), ISBN 978-0-486-65377-8, Satz 7.2.4
  6. W. R. Scott: Group Theory, Dover Publications (2010), ISBN 978-0-486-65377-8, Satz 7.2.14
  7. W. R. Scott: Group Theory, Dover Publications (2010), ISBN 978-0-486-65377-8, Satz 7.2.5
  8. D.J.S. Robinson: A Course in the Theory of Groups, Springer-Verlag 1996, ISBN 0-387-94461-3, Satz 9.4.4.
  9. D.J.S. Robinson: A Course in the Theory of Groups, Springer-Verlag 1996, ISBN 0-387-94461-3, Satz 9.4.5.
  10. D.J.S. Robinson: A Course in the Theory of Groups, Springer-Verlag 1996, ISBN 0-387-94461-3, Satz 10.3.5.