Die unendliche Diedergruppe ist eine im mathematischen Teilgebiet der Gruppentheorie betrachtete Gruppe. Es handelt sich um eine abzählbar unendliche Version der Diedergruppen.

Geometrische Definition

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So wie die Diedergruppen   als die Symmetriegruppen einer geometrischen Figur, nämlich eines regelmäßigen n-Ecks, eingeführt werden können, kann die unendliche Diedergruppe   als die Gruppe aller Isometrien, die eine Teilmenge eines euklidischen Raums in sich abbilden, definiert werden.   ist die Gruppe aller Isometrien auf  , die   in sich abbilden.

Diese Isometrien sind Translationen um  

 

für eine ganze Zahl   und Spiegelungen an  

 

für eine ganze Zahl  . Die Gruppe dieser Isometrien heißt die unendliche Diedergruppe  . Manche Autoren bezeichnen diese Gruppe mit  [1] oder nach der englischen Bezeichnung „dihedral group“ für Diedergruppe auch mit  .

Die unendliche Diedergruppe wird schon von   und   erzeugt, denn offenbar gilt

 , n-fache Hinteinanderausführung für  
  für  
  ist das neutrale Element
  für alle  ,

das heißt, die von   erzeugte Untergruppe enthält bereits alle Isometrien   und   und das heißt, dass   von   und   erzeugt wird.

Ferner besteht die Beziehung

 ,

denn für jedes   gilt

 ,

und es gilt

 ,

wobei 1 das neutrale Element bezeichne, denn   ist eine Spiegelung.

D als Untergruppe der Symmetriegruppe des Kreises

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Sei   die Spiegelung des Einheitskreises an der x-Achse und   eine Drehung des Kreises um   für eine irrationale Zahl  . Die von   erzeugte zyklische Untergruppe der Symmetriegruppe des Kreises ist wegen der Irrationalität von   unendlich und daher zu   isomorph. Dann gilt offenbar

 

und man kann zeigen, dass   einen Isomorphismus von   auf die von   erzeugte Untergruppe der Symmetriegruppe des Kreises definiert. Insbesondere hängt deren Isomorphieklasse nicht von der Wahl der irrationalen Zahl   ab.

Präsentationen von D

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Nach Obigem erfüllen die Erzeuger   und   die Relationen

    und    .

Man kann zeigen, dass keine weiteren, davon unabhängigen Relationen bestehen. Präzise heißt das, dass   die Präsentation

 

besitzt. Die zweite Relation kann man wegen   auch als   schreiben. Jedes Produkt aus den Erzeugern   und   kann daher durch wiederholte Anwendung der Relationen auf die Form   mit   und   gebracht werden. Für das Rechnen in der Gruppe gilt demnach

    und    ,

wobei der Exponent   modulo 2 zu verstehen ist.

Setzt man  , so ist

 .

Da man umgekehrt das Element   mittels   aus   und   zurückgewinnen kann, wird   von den zwei Involutionen   und  , das heißt von Elementen, deren Quadrat das neutrale Element ist, erzeugt, und man kann sich überlegen, dass keine weiteren Relationen bestehen. Wir erhalten also eine zweite Präsentation

 .

Demnach ist die unendliche Diedergruppe die größte von zwei Involutionen erzeugte Gruppe, jede andere ist isomorph zu einer Faktorgruppe davon.[2]

Geometrisch entspricht der Erzeuger   dem Produkt  , und das ist die Spiegelung an  . Die oben geometrisch beschriebene unendliche Diedergruppe wird also auch von den beiden Spiegelungen an 0 und   erzeugt. Das wird sofort verständlich, indem man sich klarmacht, dass die Spiegelung an  , gefolgt von der Spiegelung an 0, nichts anderes als die Translation um 1 ist.

D als semidirektes Produkt

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Betrachte den Homomorphismus   von der Gruppe 2 in die Automorphismengruppe von  , der die Restklasse von 1 auf   abbildet. Mit diesem   bilde das semidirekte Produkt

 .

Die Verknüpfung ist bekanntlich durch die Formel

 

definiert, wobei   und die Summe   modulo 2 zu verstehen ist. Daraus liest man die Isomorphie zu   ab.

Nun ist obiges   sogar ein Isomorphismus, denn neben   gibt es keine weiteren nichttrivialen Automorphismen auf  .

Daher ist   der Holomorph von  , das heißt[3]

 .

D als freies Produkt

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Die unendliche Diedergruppe ist das kleinste denkbare freie Produkt nichttrivialer Gruppen, es gilt[4]

 .

Es ist klar, dass   von zwei Involutionen erzeugt wird. Daher erhält man aus obiger Präsentation einen Epimorphismus  , von dem man zeigt, dass er ein Isomorphismus ist. Manche Autoren definieren die unendliche Diedergruppe auf diese Weise.[5]

D als Matrizengruppe

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Wir betrachten die Menge

 

von  -Matrizen. Das Matrizenprodukt

 

zeigt, dass die Menge   mit dem Matrizenprodukt als Multiplikation eine zu   isomorphe Gruppe ist.[6]

Untergruppen von D

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Die unendliche Diedergruppe   enthält folgende Untergruppen (  ganze Zahlen):

    für    ,
    für    ,
    für    .

Das sind bereits alle Untergruppen von  .[7]

Wegen   mit   ist die unendliche Diedergruppe auflösbar, sogar überauflösbar, metabelsch und polyzyklisch.

Einzelnachweise

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  1. Wilhelm Specht: Gruppentheorie. Springer-Verlag (1956), ISBN 978-3-642-94668-4, Beispiel 2 in Absatz 1.2.4.
  2. D. J. S. Robinson: A Course in the Theory of Groups. Springer-Verlag 1996, ISBN 978-1-4612-6443-9, Seite 51: Examples of Presentations (I).
  3. Wilhelm Specht: Gruppentheorie. Springer-Verlag (1956), ISBN 978-3-642-94668-4, Beispiel 1 in Absatz 1.3.6.
  4. D. J. S. Robinson: A Course in the Theory of Groups. Springer-Verlag 1996, ISBN 978-1-4612-6443-9, Kapitel 6.2: Examples of Free Products, Example II.
  5. Ralph Stöcker: Algebraische Topologie: Eine Einführung. Ausgabe 2, Teubner-Verlag, ISBN 978-3-322-86785-8, Beispiel 5.3.6.
  6. Antonio Machì: Groups. An Introduction to Ideas and Methods of the Theory of Groups. Springer-Verlag 2012, ISBN 978-88-470-2421-2, Kapitel 4.8, Beispiel 3.
  7. Wilhelm Specht: Gruppentheorie. Springer-Verlag (1956), ISBN 978-3-642-94668-4, Beispiel 2 in Absatz 1.2.4.