Z2 (Gruppe)

kleinste nichttriviale Gruppe in der Gruppentheorie

Die zyklische Gruppe vom Grad 2 ( oder ) ist die kleinste nichttriviale Gruppe in der Gruppentheorie und damit die kleinste endliche einfache Gruppe. Sie ist isomorph zur symmetrischen Gruppe , zur ersten Diedergruppe und zur orthogonalen Gruppe im Eindimensionalen.

EigenschaftenBearbeiten

Da die Gruppe abelsch ist, schreibt man die Verknüpfung gerne additiv mit 0 als neutralem Element und 1 als dem zweiten Element der Gruppe. Diese Schreibweise wird durch Herkunft als Faktorgruppe   der additiven Gruppe der ganzen Zahlen   nahegelegt. Die Verknüpfungstafel dieser Gruppe lautet:

  0 1
0 0 1
1 1 0

Die Operation dieser Gruppe kann mannigfaltig interpretiert werden, wie zum Beispiel als XOR-Verknüpfung. Eine multiplikative Sicht ergibt sich daraus, dass die Gruppe   der invertierbaren Elemente des endlichen Körpers   isomorph zu   ist, man erhält folgende multiplikative Verknüpfungstafel, bei 1 das neutrale Element ist:

  1 2
1 1 2
2 2 1

Eine weitere Realisierung erhält man als Einheitengruppe des Ringes  . Diese ist   und man erhält die Verknüpfungstafel

  1 −1
1 1 −1
−1 −1 1

Die zyklische Gruppe vom Grad 2 ist die einzige Gruppe mit der Ordnung 2.

2 als UntergruppeBearbeiten

DarstellungenBearbeiten

Jede nichttriviale Darstellung der   bildet das nichttriviale Element auf eine Involution ab, umgekehrt definiert jede lineare Involution eine Darstellung der  .

Im Fall reeller Vektorräume ist jede lineare Involution eine Spiegelung, die Darstellungen der   entsprechen also den Spiegelungen an Untervektorräumen beliebiger Dimension.

2 als KörperBearbeiten

Die Gruppe   mit der oben angegebenen Verknüpfung + ist die additive Gruppe eines Körpers. Die dazu nötige Multiplikation auf   ist durch die Verknüpfungstafel

  0 1
0 0 0
1 0 1

gegeben. Beachte, dass   mit dieser Multiplikation keine Gruppe bildet. Die beiden Verknüpfungen   und   zusammen machen   zu einem Körper, den man dann nach dem englischen Wort field für Körper gerne mit   oder   bezeichnet.

Siehe auchBearbeiten

WeblinksBearbeiten