Liste kleiner Gruppen

Wikimedia-Liste

Die folgende Liste enthält eine Auswahl endlicher Gruppen kleiner Ordnung.

Diese Liste kann benutzt werden, um herauszufinden, zu welchen bekannten endlichen Gruppen eine Gruppe G isomorph ist. Als erstes bestimmt man die Ordnung von G und vergleicht sie mit den unten aufgelisteten Gruppen gleicher Ordnung. Ist bekannt, ob G abelsch (kommutativ) ist, so kann man einige Gruppen ausschließen. Anschließend vergleicht man die Ordnung einzelner Elemente von G mit den Elementen der aufgelisteten Gruppen, wodurch man G bis auf Isomorphie eindeutig bestimmen kann.

GlossarBearbeiten

In der nachfolgenden Liste werden folgende Bezeichnungen verwendet:

  •   ist die zyklische Gruppe der Ordnung   (die auch als   oder   geschrieben wird).
  •   ist die Diedergruppe der Ordnung  .
  •   ist die symmetrische Gruppe vom Grad  , mit n! Permutationen von   Elementen.
  •   ist die alternierende Gruppe vom Grad  , mit   Permutationen von   Elementen für  .
  •   ist die dizyklische Gruppe der Ordnung  .
  •   ist die Klein’sche Vierergruppe der Ordnung  .
  •   ist die Quaternionengruppe der Ordnung   für  .

Die Notation   wird benutzt, um das direkte Produkt der Gruppen   und   zu bezeichnen. Es wird angemerkt, ob eine Gruppe abelsch oder einfach ist. (Für Gruppen der Ordnung   sind die einfachen Gruppen genau die zyklischen Gruppen  , mit   aus der Menge der Primzahlen.) In den Zykel-Graphen der Gruppen wird das neutrale Element durch einen ausgefüllten schwarzen Kreis dargestellt. Ordnung   ist die kleinste Ordnung, für welche die Gruppenstruktur durch den Zykel-Graphen nicht eindeutig bestimmt ist: Die nichtabelsche modulare Gruppe und   haben den gleichen Zykel-Graphen und den gleichen (modularen) Untergruppenverband, sind aber nicht isomorph.

Es ist zu beachten, dass   bedeutet, dass es 3 Untergruppen vom Typ   gibt (nicht die Nebenklasse von  ).

Zu jeder Ordnung wird zunächst die zyklische Gruppe angegeben, dann folgen gegebenenfalls weitere abelsche Gruppen und dann gegebenenfalls nichtabelsche Gruppen:

Liste aller Gruppen bis Ordnung 20Bearbeiten

Ordnung Gruppe Echte Untergruppen[1] Eigenschaften Zykel-Graph
1     (triviale Gruppe) - abelsch, zyklisch
2     (Gruppe Z2) - abelsch, einfach, zyklisch, kleinste nichttriviale Gruppe
3   - abelsch, einfach, zyklisch
4     abelsch, zyklisch
    (Kleinsche Vierergruppe)   abelsch, die kleinste nichtzyklische Gruppe
5   - abelsch, einfach, zyklisch
6    ,   abelsch, zyklisch
    (Symmetrische Gruppe)  ,   kleinste nichtabelsche Gruppe
7   - abelsch, einfach, zyklisch
8    ,   abelsch, zyklisch
   ,  ,   abelsch
   ,   abelsch
   ,  ,   nichtabelsch
    (Quaternionengruppe)  ,   nichtabelsch; die kleinste hamiltonsche Gruppe
9     abelsch, zyklisch
    abelsch
10    ,   abelsch, zyklisch
   ,   nichtabelsch
11   - abelsch, einfach, zyklisch
12    ,  ,  ,   abelsch, zyklisch
   ,  ,  ,   abelsch
   ,  ,  ,  ,   nichtabelsch
   (Gruppe A4)  ,  ,   nichtabelsch; kleinste Gruppe, die zeigt, dass die Umkehrung des Satzes von Lagrange nicht stimmt: keine Untergruppe der Ordnung 6
  (hier Verknüpfungstafel)  ,  ,  ,   nichtabelsch
13   - abelsch, einfach, zyklisch
14    ,   abelsch, zyklisch
   ,   nichtabelsch
15    ,   abelsch, zyklisch (siehe „Jede Gruppe der Ordnung 15 ist zyklisch.“)
16    ,  ,   abelsch, zyklisch
   ,  ,   abelsch
   ,  ,  ,  ,   abelsch
   ,  ,  ,  ,   abelsch
   ,  ,  ,  abelsch
   ,  ,  ,  ,   nichtabelsch
   ,  ,  ,  ,  ,   nichtabelsch
   ,  ,  ,   nichtabelsch
   ,  ,  ,  ,   nichtabelsch, hamiltonsche Gruppe
Quasi-Diedergruppe  ,  ,  ,  ,  ,   nichtabelsch
Nichtabelsche nicht-hamiltonsche modulare Gruppe  ,  ,  ,  ,   nichtabelsch
Semidirektes Produkt   (siehe hier)  ,  ,  ,   nichtabelsch
Die durch Pauli-Matrizen erzeugte Gruppe.  ,  ,  ,  ,  ,   nichtabelsch
   ,  ,  ,  ,   nichtabelsch
17   - abelsch, einfach, zyklisch
18     abelsch, zyklisch
    abelsch
  nichtabelsch
  nichtabelsch
  mit   nichtabelsch
19   - abelsch, einfach, zyklisch
20     abelsch, zyklisch
    abelsch
  nichtabelsch
  AGL1(5) nichtabelsch
    nichtabelsch

Einfache StruktursätzeBearbeiten

Die folgenden Aussagen sind sehr elementare Struktursätze, deren Auswirkung sich deutlich in obiger Liste widerspiegelt.

  • Ist   eine Primzahl, so ist jede Gruppe der Ordnung   isomorph zur zyklischen Gruppe  .[2]
  • Ist   eine Primzahl, so ist jede Gruppe der Ordnung   abelsch,[3] genauer isomorph zur zyklischen Gruppe   oder zum direkten Produkt  .[4]
  • Ist   eine Primzahl, so ist jede Gruppe der Ordnung   isomorph zur zyklischen Gruppe   oder zur Diedergruppe  .[5]
  • Sind   und   Primzahlen mit   und ist   kein Teiler von  , dann ist jede Gruppe der Ordnung   isomorph zur zyklischen Gruppe  .[6]

„The SmallGroups Library“Bearbeiten

Das Computeralgebrasystem GAP enthält die Programmbibliothek SmallGroups Library, die eine Beschreibung von Gruppen kleiner Ordnung enthält. Diese sind alle bis auf Isomorphie aufgelistet. Momentan (GAP Version 4.8.8) enthält die Bibliothek Gruppen folgender Ordnung:

  • alle der Ordnung bis  , außer den   Gruppen der Ordnung   (bleiben   Gruppen);
  • alle Gruppen, deren Ordnung   für keine Primzahl   von   geteilt wird, für   (  Gruppen);
  • alle der Ordnung  , wobei   eine der Primzahlen   oder   ist (  Gruppen);
  • alle der Ordnung   mit einer beliebigen Primzahl   und  ;
  • alle der Ordnung   mit   teilt   oder  und   ist eine beliebige von   verschiedene Primzahl;
  • alle Gruppen, deren Ordnung   für keine Primzahl   von   geteilt wird (d. h.   ist quadratfrei);
  • alle Gruppen, deren Ordnung   in höchstens drei Primzahlen zerlegbar ist.

Diese Bibliothek wurde von Hans Ulrich Besche, Bettina Eick und Eamonn O’Brien erstellt.[7]

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. In der Liste der Untergruppen werden die trivialen Untergruppen (die einelementige Gruppe und die Gruppe selbst) nicht aufgelistet.
  2. Bertram Huppert: Endliche Gruppen I. Springer-Verlag, 1967, Kap. I, § 2, Satz 2.10.
  3. Bertram Huppert: Endliche Gruppen I. Springer-Verlag (1967), Kap. I, § 6, Satz 6.10.
  4. Kurt Meyberg: Algebra Teil 1. Carl Hanser Verlag, 1980, ISBN 3-446-13079-9, Satz 2.2.12.
  5. Kurt Meyberg: Algebra Teil 1. Carl Hanser Verlag (1980), ISBN 3-446-13079-9, Beispiel 2.2.11 e.
  6. Bertram Huppert: Endliche Gruppen I. Springer-Verlag (1967), Kap. I, § 8, Satz 8.10.
  7. The SmallGroups library. Bei: www.gap-system.org.

WeblinksBearbeiten