Siebzehneck

geometrische Figur

Das Siebzehneck oder Heptadekagon ist eine geometrische Figur, die zur Gruppe der Vielecke (Polygone) gehört. Es ist definiert durch siebzehn Punkte, die durch siebzehn Strecken zu einem geschlossenen Linienzug verbunden sind.

Regelmäßiges Siebzehneck

Dieser Artikel behandelt im Folgenden das regelmäßige Siebzehneck, das konvex ist, siebzehn gleich lange Seiten hat und dessen Ecken auf einem gemeinsamen Umkreis liegen sowie das regelmäßige überschlagene Siebzehneck.

EigenschaftenBearbeiten

Das Besondere an einem regelmäßigen Siebzehneck ist die Tatsache, dass es konstruierbar ist – es kann somit unter alleiniger Verwendung von Zirkel und Lineal (den euklidischen Werkzeugen) gezeichnet werden –, diese Konstruierbarkeit jedoch über Jahrtausende nicht nachgewiesen werden konnte. Der Nachweis gelang erst Carl Friedrich Gauß im Jahr 1796.[1] Er zeigte, dass für den Kosinus des Zentriwinkels

 

gilt, woraus sich die Konstruierbarkeit ergibt. Außerdem lassen sich damit auch verschiedene Größen des Siebzehnecks wie Seitenlänge, Umfang, Inkreisradius, Diagonale über zwei Seiten und Flächeninhalt berechnen.

Am 21. Juni 1801 stellte Gauß der St. Petersburger Akademie für seine obige Formel eine sogenannte Kurzfassung in drei Schritten vor, die sich aus der Gruppierung von Summen einzelner Kosinuswerte ergibt. Friedrich L. Bauer beschreibt sie, im Jahr 2009, in seinem Buch Historische Notizen zur Informatik im Kapitel Carl Friedrich Gauß, das 17-Eck und MATHEMATICA[2] ausführlich, es sei deshalb hier nur das Ergebnis der Kurzfassung erwähnt.

Mit den darin u. a. eingeführten Hilfsgrößen   und  

  und
 

gilt somit für den Kosinus des Zentriwinkels auch

  sowie
 [3]
Größen eines regelmäßigen Siebzehnecks mit dem Umkreisradius  , dem Zentriwinkel   sowie dessen Kosinus  
Seitenlänge    

 

Umfang    
Inkreisradius    
Diagonale über zwei Seiten    
Flächeninhalt    
Innenwinkel    

Mathematischer HintergrundBearbeiten

 
Mitteilung der Konstruierbarkeit im Intelligenzblatt der allgemeinen Literatur-Zeitung (1796)

Der Entdeckung von Gauß liegt eine Auflösung der Kreisteilungsgleichung   zugrunde, deren Lösungen – es handelt sich um die siebzehnten Einheitswurzeln – in der Gaußschen Zahlenebene der komplexen Zahlen ein regelmäßiges Siebzehneck mit Radius 1 bilden. Diese Gleichung kann allein durch den Gebrauch geschachtelter Quadratwurzeln gelöst werden (siehe oben für den Realteil   der Lösung  , die entgegen dem Uhrzeigersinn zur Lösung 1 am nächsten liegt). Gauß erkannte 1796 als 18-Jähriger diese Möglichkeit „Durch angestrengtes Nachdenken … am Morgen … (ehe ich aus dem Bette aufgestanden war)“[4] aufgrund allgemeiner zahlentheoretischer Eigenschaften von Primzahlen, in diesem Fall konkret der Primzahl 17: Die modulo einer Primzahl   gebildeten, von 0 verschiedenen Restklassen   können nämlich als Potenzen   einer sogenannten Primitivwurzel   dargestellt werden, wobei im Fall   konkret   gewählt werden kann:

 

Sortiert man nun die von 1 verschiedenen 17. Einheitswurzeln entsprechend, das heißt in der Reihenfolge

 

so erhält man durch Teilsummation von jeder zweiten, jeder vierten, beziehungsweise jeder achten Einheitswurzel aus dieser Auflistung die sogenannten Gaußschen Perioden: zwei 8-gliedrige Perioden mit je 8 Summanden, vier 4-gliedrige Perioden mit je 4 Summanden und acht 2-gliedrige Perioden mit je 2 Summanden. Aufgrund prinzipieller Eigenschaften oder aber durch explizite Berechnung lässt sich dafür zeigen:[5]

  • Die beiden 8-gliedrigen Perioden sind Lösungen einer quadratischen Gleichung mit ganzen Koeffizienten.
  • Die vier 4-gliedrigen Perioden sind Lösungen von zwei quadratischen Gleichungen, deren Koeffizienten aus den 8-gliedrigen Perioden berechenbar sind.
  • Die acht 2-gliedrigen Perioden sind Lösungen von vier quadratischen Gleichungen, deren Koeffizienten aus den 4-gliedrigen Perioden berechenbar sind.

Dabei gilt für die zweigliedrige Periode zur „ersten“ Einheitswurzel  .

Der beschriebene Ansatz lässt sich analog für jede Primzahl der Form   durchführen. Fünf solche Primzahlen, die „Fermatsche Primzahlen“ genannt werden, sind bekannt: 3, 5, 17, 257, 65537. Daher gehören auch das regelmäßige 257-Eck und das regelmäßige 65537-Eck zu den konstruierbaren Polygonen.

Geometrische KonstruktionenBearbeiten

Konstruktion mithilfe der gaußschen Kurzfassung der FormelBearbeiten

Anlässlich der 150. Wiederkehr des Todestages von Carl Friedrich Gauß am 23. Februar 2005 gab es in Göttingen im Alten Rathaus am Markt vom 23. Februar – 15. Mai 2005 die Ausstellung „Wie der Blitz einschlägt, hat sich das Räthsel gelöst“ Carl Friedrich Gauß in Göttingen. Der Katalog zu dieser Ausstellung, herausgegeben von Elmar Mittler, enthält Aufsätze in diversen Rubriken. Im Abschnitt Mathematik ist der Beitrag 17 gleiche Ecken und Kanten mit Zirkel und Lineal von Hans Vollmayr zu finden.[6] Die im Folgenden dargestellte Konstruktion ist prinzipiell den Kapiteln Das Siebzehneck: die Rechnung[7] und Das Siebzehneck: die Zeichnung[8] entnommen.

Die Kurzfassung der Formel für den Kosinus des Zentriwinkels (siehe Eigenschaften),

 

erleichtert eine Konstruktion mit Zirkel und Lineal, die mithilfe der Hilfsgrößen, quasi Schritt für Schritt, den Kosinus des Zentriwinkels liefert. Ein möglicher Lösungsweg ist, die Hilfsgrößen zeichnerisch separat in drei Bildern (1 – 3) mit elementaren algebraischen Operationen darzustellen. Dies macht die Konstruktion übersichtlich und allgemein gut nachvollziehbar.

Konstruktion der Hilfsgrößen p und q sowie des Produkts qqBearbeiten

 
Bild (1): Konstruktion der Hilfsgrößen p und q sowie des Produkts qq

Darin gilt

 

sowie

 

Bild (1)

  1. Ab Punkt   eine Halbgerade ziehen, darauf   mit   Lot auf Strecke   in   errichten und   ab   auf Lot übertragen ergibt  
  2. Lot auf   in   mit Länge   ergibt   anschließend Halbgerade von   durch   ergibt  
  3. Kreis um   durch   ergibt   auf Halbgerade,   ist Hilfsgröße  
  4. Viertelkreis um   durch   ergibt   und   nun   mit   verbinden, anschließende Parallele zu   ab   ergibt   sowie mit   das Produkt  
  5. Zu   zweimal die Länge   addieren, ergibt   und   anschließend   in   halbieren und um   über   Halbkreis ziehen.
  6. Lot auf   in   bis Halbkreis ergibt   anschließend zu   ab   Hilfsgröße   addieren, ergibt  
  7.   in   halbieren ergibt Hilfsgröße  
  8. Viertelkreis um   ab   ergibt   anschließend Viertelkreis um   ab   ergibt  
  9.   mit   verbinden, anschließende Parallele zu   ab   ergibt   sowie mit   das Produkt  

Konstruktion der Hilfsgrößen p' und q'Bearbeiten

 
Bild (2): Konstruktion der Hilfsgrößen p' und q'

Darin gilt

 

sowie

 

Bild (2)

  1. Ab Punkt   eine Halbgerade ziehen, darauf   mit   Lot auf Strecke   in   errichten und   ab   auf Lot übertragen ergibt  
  2. Lot auf   in   mit der Länge   ergibt   anschließend Halbgerade von   durch   ergibt  
  3. Kreis um   durch   ergibt   auf Halbgerade,   ist Hilfsgröße  
  4. Viertelkreis um   durch   ergibt   und   nun   mit   verbinden, anschließende Parallele zu   ab   ergibt   sowie mit   das Produkt  
  5. Zu   zweimal die Länge   addieren, ergibt   und   anschließend   in   halbieren und um   über   Halbkreis ziehen.
  6. Lot auf   in   bis Halbkreis ergibt   anschließend von   ab   Hilfsgröße   subtrahieren, ergibt  
  7.   in   halbieren ergibt mit   Hilfsgröße  

Konstruktion der Wurzel aus qq-2q' und des Kosinus des Zentriwinkels μBearbeiten

 
Bild (3): Konstruktion der Wurzel aus qq-2q' und des Kosinus des Zentriwinkels μ

Bild (3)

  1. Ab Punkt   eine Halbgerade ziehen, darauf Produkt   aus Bild (1) übertragen ergibt   anschließend Länge   aus Bild (1) ab   übertragen ergibt  
  2. Von   die Länge   aus Bild (2) ab Punkt   subtrahieren ergibt   anschließend   in   halbieren und um   über   Halbkreis ziehen.
  3. Lot auf   in   bis Halbkreis ergibt  
  4. Strecke   einzeichnen und dazu Hilfsgröße   aus Bild (1) ab   addieren ergibt   anschließend   in   halbieren, die Strecke   ist der Kosinus   des Zentriwinkels   des Siebzehnecks.
  5. Um Punkt   Umkreis mit dem Radius   (z. B. mit Strecke  ) ziehen, anschließend Radius einzeichnen, ergibt  
  6.   auf   ab   übertragen, ergibt  
  7. Lot auf   in   bis Umkreis ergibt ersten Eckpunkt   des entstehenden Siebzehnecks.
  8.   fünfzehnmal gegen den Uhrzeigersinn auf dem Umkreis abtragen und abschließend die benachbarten Ecken verbinden. Somit ist das regelmäßige Siebzehneck fertiggestellt.

 

Grundsätzlich wäre es auch möglich, den von Gauß zuerst gefundenen (langen) Ausdruck als konstruierte Strecke darzustellen. In der einschlägigen Literatur wird aber keine derartige Lösung beschrieben.

Konstruktion nach Georg PauckerBearbeiten

Eine der ersten geometrischen Konstruktionsanleitungen für das regelmäßige Siebzehneck stammt von Magnus Georg Paucker, der sie 1819 der Kurländischen Gesellschaft für Literatur und Kunst vorlegte, wo sie 1822 veröffentlicht wurde.[9]

   
Konstruktionsskizze nach Magnus Georg Paucker mit deren Weiterführung bis zum fertigen Siebzehneck
Animation der Konstruktionsskizze

Die folgende Konstruktionsanleitung enthält die Arbeitsschritte, die zur Konstruktionsskizze nach Magnus Georg Paucker führen[10] sowie deren Weiterführung bis zum fertigen Siebzehneck.

  1. Zeichne auf dem Durchmesser pa um den Mittelpunkt m den Umkreis des werdenden 17-Ecks.
  2. Errichte den Durchmesser pA = pa senkrecht zu pa.
  3. Halbiere den Radius mp in B.
  4. Verlängere pa ab p.
  5. Trage die Strecke AB ab B auf die Verlängerung ab, Schnittpunkt ist C.
  6. Halbiere pA in D.
  7. Halbiere pC in E.
  8. Trage die Strecke ED ab E auf die Verlängerung ab, Schnittpunkt ist F.
  9. Errichte den Radius mG senkrecht zu pa.
  10. Halbiere mC in H.
  11. Trage die Strecke HG ab H auf pa ab, Schnittpunkt ist I.
  12. Konstruiere den Halbkreis über pF.
  13. Konstruiere den Halbkreis über pI, Schnittpunkt mit mG ist K.
  14. Zeichne die Parallele zu mp ab K, Schnittpunkt mit Halbkreis über pF ist L.
  15. Fälle das Lot von L auf mH, Fußpunkt ist M.
  16. Zeichne den Kreisbogen mit Radius pM bis zum Umkreis und verbinde den Schnittpunkt i mit m.
  17. Trage die Strecke MF ab p auf dem Umkreis ab, Schnittpunkt ist c der Sehne pc, der Kreisbogen (pca) ist der doppelte Kreisbogen des 17-Ecks.
  18. Halbiere den Winkel cpa, Schnittpunkt ist b der Sehne pb, somit ist die Strecke ab die erste Seite des 17-Ecks.
  19. Trage die Strecke ab ab c fünfmal im Uhrzeigersinn auf dem Umkreis ab, es ergeben sich die Sehnen pd, pe, pf, pg und ph.
  20. Trage die Strecke ab ab i achtmal im Uhrzeigersinn auf dem Umkreis ab.
  21. Verbinde die so gefundenen Punkte zu einem vollständigen 17-Eck.

Konstruktion nach Herbert RichmondBearbeiten

Im Jahr 1825 legte Johannes Erchinger eine Konstruktion der Akademie der Wissenschaften zu Göttingen vor, die Gauß daraufhin in den Göttingischen Gelehrten Anzeigen besprach.[11] Die folgende einfachere Konstruktion stammt von Herbert William Richmond aus dem Jahr 1893.[12]

   
Konstruktionsskizze nach Herbert William Richmond
Animation der Skizze

Ist der Umkreis um das entstehende Siebzehneck mit dem Mittelpunkt O gegeben, kann das Siebzehneck konstruiert werden durch:

  1. Zeichnen des Durchmessers durch den Mittelpunkt O; Schnittpunkt mit Umkreis ist A, später zusätzlich mit P17 bezeichnet.
  2. Errichten des Radius senkrecht zu AO auf O bis zum Umkreis; Schnittpunkt mit Umkreis ist B.
  3. Konstruktion des Punktes I durch Vierteln der Strecke BO; I liegt näher an O.
  4. Konstruktion des Punktes E durch Vierteln des Winkels OIA.
  5. Konstruktion des Punktes F mithilfe einer Senkrechten auf EI auf I; Halbierung des 90°-Winkels; Schnittpunkt mit Durchmesser ist F und Winkel FIE ist 45°.
  6. Konstruktion des Thaleskreises über AF; Schnittpunkt mit BO ist K.
  7. Zeichnen des Halbkreises um den Mittelpunkt E mit dem Radius EK; Schnittpunkte mit dem Durchmesser sind N3 und N5 (dabei liegt N3 sehr nahe beim Mittelpunkt des Thaleskreises über AF).
  8. Errichten der Senkrechten auf die Mittelachse ab N3; Schnittpunkt mit dem Umkreis ist der Eckpunkt P3 des Siebzehnecks; der Kreisbogen OAP3 ist somit 3/17 des Umkreisumfanges.
  9. Errichten der Senkrechten auf die Mittelachse ab N5; Schnittpunkt mit dem Umkreis ist der Eckpunkt P5 des Siebzehnecks; der Kreisbogen OAP5 ist somit 5/17 des Umkreisumfanges.
  10. Ein vierzehnmaliges Abtragen der Strecke AP3 auf dem Umkreis, ab dem Eckpunkt P3 gegen dem Uhrzeigersinn, ergibt der Reihe nach die Eckpunkte P6, P9, P12, P15, P1, P4, P7, P10, P13, P16, P2, P8, P11 und P14.
  11. Verbinden der so gefundenen Punkte P1, P2, …, P17, P1 vervollständigt das 17-Eck.

Konstruktion nach Duane DeTempleBearbeiten

Duane W. DeTemple veröffentlichte im Jahr 1991 in der mathematischen Zeitschrift The American Mathematical Monthly eine Konstruktion des Siebzehnecks.[13] Für seine Lösung verwendete er u. a. vier sogenannte Carlyle-Kreise.

   
Konstruktionsskizze nach Duane W. DeTemple
Animation der Skizze, am Ende 20 s Pause
  1. Zeichne die x-Achse und setze darauf den Punkt  
  2. Zeichne um   den Einheitskreis   mit Radius   Schnittpunkte mit   sind   und  
  3. Konstruiere die y-Achse vom Umkreis   des entstehenden 17-Ecks, Schnittpunkt mit   ist  
  4. Halbiere den Radius   in  
  5. Ziehe den Kreisbogen   mit dem Radius     um  
  6. Errichte eine Senkrechte auf dem Radius   ab   Schnittpunkt mit   ist  
  7. Ziehe den Carlyle-Kreisbogen   um   durch   (mit  ) so, dass er die x-Achse vom Umkreis   zweimal trifft, Schnittpunkte sind   und  
  8. Halbiere die Strecke   in  
  9. Halbiere die Strecke   in  
  10. Ziehe den Carlyle-Kreisbogen   um   ab   bis auf die x-Achse, Schnittpunkt ist  
  11. Ziehe den Carlyle-Kreisbogen   um   ab   bis auf die x-Achse, Schnittpunkt ist  
  12. Trage   von Punkt   aus auf der Geraden   ab. Du erhältst Punkt  
  13. Verbinde   mit  
  14. Halbiere die Strecke   in  
  15. Ziehe den Carlyle-Kreisbogen   um   ab   bis auf die x-Achse, Schnittpunkt ist  
  16. Ziehe den Kreisbogen   mit dem Radius   um   Schnittpunkte mit dem Umkreis   sind die Eckpunkte   und   somit ist die Strecke   die erste Seite des gesuchten 17-Ecks.
  17. Ein vierzehnmaliges Abtragen der Strecke   auf dem Umkreis   ab dem Eckpunkt   gegen den Uhrzeigersinn, ergibt der Reihe nach die Eckpunkte   bis  
  18. Verbinde die so gefundenen Punkte       und   dann ist das 17-Eck vollständig gezeichnet.

VorkommenBearbeiten

 
Fensterrose, Mädlerpassage in Leipzig

In der Leipziger Mädlerpassage ist in der Kuppel der Rotunde eine Fensterrose eingelassen, deren Umriss einem Siebzehneck gleicht. Sie misst etwa zwölf Meter im Durchmesser und befindet sich ungefähr auf fünfzehn Meter Höhe.[14] Errichtet wurde die Fensterrose von dem Architekten Theodor Kösser innerhalb seines Projektes Mädlerpassage (1912–1914).

Regelmäßige überschlagene SiebzehneckeBearbeiten

Ein regelmäßiges überschlagenes Siebzehneck ergibt sich, wenn beim Verbinden der siebzehn Eckpunkte jedes Mal mindestens einer übersprungen wird und die somit erzeugten Sehnen gleich lang sind. Notiert werden solche regelmäßigen Sterne mit Schläfli-Symbolen  , wobei   die Anzahl der Eckpunkte angibt und jeder  -te Punkt verbunden wird.

In der folgenden Galerie sind die sieben möglichen regelmäßigen Siebzehnstrahlsterne, auch Heptadekagramme genannt, dargestellt.

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

  • Godfrey Harold Hardy, E. M. Wright: An Introduction to the Theory of Numbers. Oxford University Press, 2008, ISBN 978-0-19-921986-5, Kapitel 5.8: Construction of the regular polygon of 17 sides, S. 71–77.
  • Harold Scott MacDonald Coxeter: Introduction to Geometry. 2. Auflage. Wiley, 1989, ISBN 0-471-50458-0, S. 26–28.
  • Karin Reich: Die Entdeckung und frühe Rezeption der Konstruierbarkeit des regelmäßigen 17-Ecks und dessen geometrische Konstruktion durch Johannes Erchinger (1825). In: Rüdiger Thiele (Hrsg.): Mathesis, Festschrift zum siebzigsten Geburtstag von Matthias Schramm. GNT-Verlag, Berlin / Diepholz 2000, S. 101–118.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. H. Maser: Die Teilung des Kreises ..., Artikel 365. In: Carl Friedrich Gauss' Untersuchungen über höhere Arithmetik. Verlag von Julius Springer, Berlin 1889; Göttinger Digitalisierungszentrum, Universität Göttingen, S. 446 ff, abgerufen am 15. März 2018.
  2. Friedrich L. Bauer: Historische Notizen zur Informatik. Hrsg.: Springer-Verlag. Berlin, Heidelberg 2009, S. 413 (Google Books, Carl Friedrich Gauß, das 17-Eck und MATHEMATICA, Die Methode der Gruppierung [abgerufen am 20. Juli 2018]).
  3. Hans Vollmayr: 17 gleiche Ecken und Kanten mit Zirkel und Lineal. In: Göttinger Bibliotheksschriften 30 „Wie der Blitz einschlägt, hat sich das Räthsel gelöst“ Carl Friedrich Gauß in Göttingen. Hrsg.: Elmar Mittler. Niedersächsische Staats- und Universitätsbibliothek, Göttingen 2005, ISBN 3-930457-72-5, S. 103 (Das Siebzehneck: die Zeichnung, → „ ... so dass uns am Schluss nur noch die Gleichung ...“ [PDF; abgerufen am 23. Januar 2020]).
  4. Zitiert nach Jörg Bewersdorff: Algebra für Einsteiger: Von der Gleichungsauflösung zur Galois-Theorie, Springer Spektrum, 6. Auflage 2019, ISBN 978-3-658-26151-1, S. 90, doi:10.1007/978-3-658-26152-8_7.
  5. Details siehe Bewersdorff, S. 92–96.
  6. Hans Vollmayr: 17 gleiche Ecken und Kanten mit Zirkel und Lineal. In: Göttinger Bibliotheksschriften 30 „Wie der Blitz einschlägt, hat sich das Räthsel gelöst“ Carl Friedrich Gauß in Göttingen. Hrsg.: Elmar Mittler. Niedersächsische Staats- und Universitätsbibliothek, Göttingen 2005, ISBN 3-930457-72-5, S. 90 ff. (17 gleiche Ecken und Kanten mit Zirkel und Lineal [PDF; abgerufen am 23. Januar 2020]).
  7. Hans Vollmayr: 17 gleiche Ecken und Kanten mit Zirkel und Lineal. In: Göttinger Bibliotheksschriften 30 „Wie der Blitz einschlägt, hat sich das Räthsel gelöst“ Carl Friedrich Gauß in Göttingen. Hrsg.: Elmar Mittler. Niedersächsische Staats- und Universitätsbibliothek, Göttingen 2005, ISBN 3-930457-72-5, S. 100–102 (Das Siebzehneck: die Rechnung [PDF; abgerufen am 23. Januar 2020]).
  8. Hans Vollmayr: 17 gleiche Ecken und Kanten mit Zirkel und Lineal. In: Göttinger Bibliotheksschriften 30 „Wie der Blitz einschlägt, hat sich das Räthsel gelöst“ Carl Friedrich Gauß in Göttingen. Hrsg.: Elmar Mittler. Niedersächsische Staats- und Universitätsbibliothek, Göttingen 2005, ISBN 3-930457-72-5, S. 102–103. (Das Siebzehneck: die Zeichnung [PDF; abgerufen am 15. Januar 2019]).
  9. Magnus Georg Paucker: Geometrische Verzeichnung des regelmäßigen Siebzehn-Ecks und Zweyhundertsiebenundfunfzig-Ecks in den Kreis. In: Jahresverhandlungen der Kurländischen Gesellschaft für Literatur und Kunst. Band 2, 1822, S. 160–219 (Einleitung, Beschreibung S. 187–188). Abgerufen am 20. August 2020.
  10. Magnus Georg Paucker: Geometrische Verzeichnung des regelmäßigen Siebzehn-Ecks und Zweyhundertsiebenundfunfzig-Ecks in den Kreis. In: Jahresverhandlungen der Kurländischen Gesellschaft für Literatur und Kunst. Band 2, 1822 (Abbildung nach S. 416 in Tafel I, Fig. 12). Abgerufen am 20. August 2020.
  11. Carl Friedrich Gauß: Göttingische Gelehrte Anzeigen. Band 87, Nr. 203, 19. Dezember 1825, S. 2025–2027 (books.google.de).
  12. Herbert W. Richmond: A Construction for a regular polygon of seventeen sides. In: The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics. Band 26, 1893, S. 206–207 (Beschreibung und Abbildung (Fig. 6)]).
  13. Duane W. DeTemple: Carlyle Circles and the Lemoine Simplicity of Polygon Constructions. (Memento vom 11. August 2011 im Internet Archive). The American Mathematical Monthly, Vol. 98, No. 2 (Feb., 1991), S. 101–104 (JSTOR 2323939) aufgerufen am 3. April 2017.
  14. Anke Beesch: Mädlerpassage in Leipzig. In: Architektur Historische Baukunst mitten in Leipzig. Abgerufen am 3. November 2018.

WeblinksBearbeiten

Wikibooks: Siebzehneck – Lern- und Lehrmaterialien
Commons: Regelmäßiges Siebzehneck – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
Wiktionary: Siebzehneck – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen
Wiktionary: Heptadekagramm – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen