Einzigartige Primzahl

In der Unterhaltungsmathematik ist eine einzigartige Primzahl oder einzigartige periodische Primzahl (vom englischen unique prime oder unique period prime) eine Primzahl $p\in \mathbb {P}$, für welche gilt:

• Die Dezimalbruchentwicklung von ${\frac {1}{p}}$ (also des Kehrwertes von $p$) hat eine einzigartige Periodenlänge $n\geq 1$, das heißt, es gibt keine andere Primzahl $q\in \mathbb {P}$, für die ${\frac {1}{q}}$ die gleiche Periodenlänge hat. Man sagt „die Primzahl $p$ hat eine Periode der Länge $n$“.

Einzigartige Primzahlen wurden erstmals im Jahr 1980 von Samuel Yates untersucht.

Beispiele

• Die Primzahl $p=3$ hat als Kehrwert den Bruch ${\frac {1}{3}}$, dessen Dezimalbruchentwicklung ${\frac {1}{3}}=0{,}3333333\ldots =0,{\overline {3}}$ ist. Die Periodenlänge von ${\frac {1}{3}}$ ist somit $1$. Natürlich gibt es auch andere periodische Dezimalbruchentwicklungen mit einer Periodenlänge $n=1$, zum Beispiel $0{,}{\overline {1}}=0{,}1111111\ldots ={\frac {1}{9}}$, aber für ${\frac {1}{9}}={\frac {1}{k}}$ ist $k=9\not \in \mathbb {P}$ keine Primzahl. Auch $0{,}{\overline {6}}=0{,}666666\ldots ={\frac {2}{3}}$ hat die Periodenlänge $n=1$, aber dieser Bruch hat nicht die Form ${\frac {1}{p}}$, sondern ${\frac {2}{p}}$. Es gibt keine andere Bruchzahl der Form ${\frac {1}{p}}$, welche die Periodenlänge $1$ hat. Somit ist $p=3$ eine einzigartige Primzahl.
• Die Primzahl $p=11$ hat als Kehrwert den Bruch ${\frac {1}{11}}$, dessen Dezimalbruchentwicklung ${\frac {1}{11}}=0{,}090909\ldots =0{,}{\overline {09}}$ ist. Die Periodenlänge von ${\frac {1}{11}}$ ist somit $2$. Alle anderen Bruchzahlen mit einer Periodenlänge $2$ haben die Form $0{,}{\overline {xy}}=0{,}xyxyxyxy\ldots ={\frac {xy}{99}}$, aber diesen Bruch kann man bestenfalls durch $3$, durch $9$, durch $11$, durch $33$ oder durch $99$ kürzen und erhält die Nenner $33,11,9,3$ oder $1$. Der einzige prime Nenner ist somit $p=11$ (denn der Bruch mit $p=3$ hat die Periodenlänge $1$). Es gibt also keine andere Bruchzahl der Form ${\frac {1}{p}}$, welche die Periodenlänge $n=2$ hat. Somit ist $p=11$ eine einzigartige Primzahl.
• Die Primzahl $p=41$ hat als Kehrwert den Bruch ${\frac {1}{41}}$, dessen Dezimalbruchentwicklung ${\frac {1}{41}}=0{,}0243902439\ldots =0{,}{\overline {02439}}$ ist. Die Periodenlänge von ${\frac {1}{41}}$ ist somit $n=5$. Allerdings hat auch die Primzahl $p=271$ als Kehrwert den Bruch ${\frac {1}{271}}=0{,}0036900369\ldots =0{,}{\overline {00369}}$ mit einer Periodenlänge $n=5$. Somit ist weder die Primzahl $p=41$ noch die Primzahl $p=271$ eine einzigartige Primzahl.
• Die kleinsten einzigartigen Primzahlen sind die folgenden:

3, 11, 37, 101, 9091, 9901, 333667, 909091, 99990001, 999999000001, 9999999900000001, 909090909090909091, 1111111111111111111, 11111111111111111111111, 900900900900990990990991, 909090909090909090909090909091, … (Folge A040017 in OEIS)

Die dazugehörigen Periodenlängen sind die folgenden:

1, 2, 3, 4, 10, 12, 9, 14, 24, 36, 48, 38, 19, 23, 39, 62, … (Folge A051627 in OEIS)

Beispiel:

Obigen beiden Listen kann man an der 10. Stelle die beiden Zahlen $999999000001$ und $36$ entnehmen. Somit hat der Bruch ${\frac {1}{p}}={\frac {1}{999999000001}}$ die Periodenlänge $36$ und es gibt keinen anderen Bruch der Form ${\frac {1}{q}}$ mit $q\in \mathbb {P}$, der die Periodenlänge $36$ hat.

• Die 24. einzigartige Primzahl $p$ hat 128 Stellen und der dazugehörige Bruch ${\frac {1}{p}}$ eine Periodenlänge von 320. Die Primzahl $p$ lautet:

$p=999\ldots 999000\ldots 000999\ldots 999000\ldots 0001$

Diese Zahl beginnt mit 32 Neunen, gefolgt von 32 Nullen, danach kommen 32 Neunen und 32 Nullen und sie endet mit einer $1$. Man schreibt auch kurz $p=(9_{32}0_{32})_{2}+1)$.

• Zurzeit sind mehr als 50 einzigartige Primzahlen (oder einzigartige PRP-Zahlen, also Zahlen, die sehr wahrscheinlich Primzahlen sind, die aber momentan noch zu groß sind, um sich absolut sicher zu sein) bekannt. Es gibt aber nur 18 einzigartige Primzahlen, welche kleiner als $10^{50}$ sind und 23 einzigartige Primzahlen, welche kleiner als $10^{100}$ sind.
• Die momentan größte wahrscheinliche einzigartige Primzahl (Stand: 23. September 2022) ist die folgende:

$p={\frac {10^{8177207}-1}{9}}$

Sie hat $8177207$ Stellen, ist eine Repunit und wurde im Mai 2021 von Serge Batalov und Ryan Propper entdeckt. Allerdings ist diese Zahl eine PRP-Zahl, das heißt, es noch nicht gesichert, ob sie wirklich prim ist oder nicht, weil sie so groß ist. Sie erfüllt aber viele Voraussetzungen für eine Primzahl.

• Die momentan größte bewiesene einzigartige Primzahl (Stand: 23. September 2022) ist die folgende:

$p=R(49081)={\frac {10^{49081}-1}{9}}=111\ldots 111$

Sie ist eine Repunit, besteht aus $49081$ Einsen, wurde schon im September 1999 von Harvey Dubner als PRP-Zahl erkannt, aber erst 21 Jahre später am 21. März 2022 von Paul Underwood als tatsächliche Primzahl identifiziert.

Die zweitgrößte bewiesene einzigartige Primzahl (Stand: 24. Februar 2023) ist die folgende:

$p=\Phi _{23178}(10000)={\frac {10^{30904}+1-10^{15452}}{99990001}}$

Sie hat $30897$ Stellen und wurde am 15. Oktober 2022 von Serge Batalov entdeckt. Man kann sie auch als $p=\Phi _{11589}(-10000)$ darstellen. Dabei ist $\Phi _{n}(x)$ das n-te Kreisteilungspolynom.

• Es folgt eine Tabelle, der man entnehmen kann, welche Periodenlängen $n\leq 100$ zu welchen Bruchzahlen ${\frac {1}{p}}$ mit $p\in \mathbb {P}$ gehören. Einzigartige Primzahlen werden in gelben Zellen geschrieben:

Periodenlängen $n\leq 100$ und die dazugehörigen Bruchzahlen ${\frac {1}{p}}$ mit $p\in \mathbb {P}$

Perioden- länge $n$	Primzahl $p$	Perioden- länge $n$	Primzahl $p$	Perioden- länge $n$	Primzahl $p$	Perioden- länge $n$	Primzahl $p$	Perioden- länge $n$	Primzahl $p$
1	3	21	43, 1933, 10838689	41	83, 1231, 538987, 201763709900322803748657942361	61	733, 4637, 329401, 974293, 1360682471, 106007173861643, 7061709990156159479	81	163, 9397, 2462401, 676421558270641, 130654897808007778425046117
2	11	22	23, 4093, 8779	42	127, 2689, 459691	62	909090909090909090909090909091	82	2670502781396266997, 3404193829806058997303
3	37	23	11111111111111111111111	43	173, 1527791, 1963506722254397, 2140992015395526641	63	10837, 23311, 45613, 45121231, 1921436048294281	83	3367147378267, 9512538508624154373682136329, 346895716385857804544741137394505425384477
4	101	24	99990001	44	89, 1052788969, 1056689261	64	19841, 976193, 6187457, 834427406578561	84	226549, 4458192223320340849
5	41, 271	25	21401, 25601, 182521213001	45	238681, 4185502830133110721	65	162503518711, 5538396997364024056286510640780600481	85	262533041, 8119594779271, 4222100119405530170179331190291488789678081
6	7, 13	26	859, 1058313049	46	47, 139, 2531, 549797184491917	66	599144041, 183411838171	86	57009401, 2182600451, 7306116556571817748755241
7	239, 4649	27	757, 440334654777631	47	35121409, 316362908763458525001406154038726382279	67	493121, 79863595778924342083, 28213380943176667001263153660999177245677	87	4003, 72559, 310170251658029759045157793237339498342763245483
8	73, 137	28	29, 281, 121499449	48	9999999900000001	68	28559389, 1491383821, 2324557465671829	88	617, 16205834846012967584927082656402106953
9	333667	29	3191, 16763, 43037, 62003, 77843839397	49	505885997, 1976730144598190963568023014679333	69	277, 203864078068831, 1595352086329224644348978893	89	497867, 103733951, 104984505733, 5078554966026315671444089, 403513310222809053284932818475878953159
10	9091	30	211, 241, 2161	50	251, 5051, 78875943472201	70	4147571, 265212793249617641	90	29611, 3762091, 8985695684401
11	21649, 513239	31	2791, 6943319, 57336415063790604359	51	613, 210631, 52986961, 13168164561429877	71	241573142393627673576957439049, 45994811347886846310221728895223034301839	91	547, 14197, 17837, 4262077, 43442141653, 316877365766624209, 110742186470530054291318013
12	9901	32	353, 449, 641, 1409, 69857	52	521, 1900381976777332243781	72	3169, 98641, 3199044596370769	92	1289, 18371524594609, 4181003300071669867932658901
13	53, 79, 265371653	33	67, 1344628210313298373	53	107, 1659431, 1325815267337711173, 47198858799491425660200071	73	12171337159, 1855193842151350117, 49207341634646326934001739482502131487446637	93	900900900900900900900900900900990990990990990990990990990991
14	909091	34	103, 4013, 21993833369	54	70541929, 14175966169	74	7253, 422650073734453, 296557347313446299	94	6299, 4855067598095567, 297262705009139006771611927
15	31, 2906161	35	71, 123551, 102598800232111471	55	1321, 62921, 83251631, 1300635692678058358830121	75	151, 4201, 15763985553739191709164170940063151	95	191, 59281, 63841, 1289981231950849543985493631, 965194617121640791456070347951751
16	17, 5882353	36	999999000001	56	7841, 127522001020150503761	76	722817036322379041, 1369778187490592461	96	97, 206209, 66554101249, 75118313082913
17	2071723, 5363222357	37	2028119, 247629013, 2212394296770203368013	57	21319, 10749631, 3931123022305129377976519	77	5237, 42043, 29920507, 136614668576002329371496447555915740910181043	97	12004721, 846035731396919233767211537899097169, 109399846855370537540339266842070119107662296580348039
18	19, 52579	38	909090909090909091	58	59, 154083204930662557781201849	78	157, 6397, 216451, 388847808493	98	197, 5076141624365532994918781726395939035533
19	1111111111111111111	39	900900900900990990990991	59	2559647034361, 4340876285657460212144534289928559826755746751	79	317, 6163, 10271, 307627, 49172195536083790769, 3660574762725521461527140564875080461079917	99	199, 397, 34849, 362853724342990469324766235474268869786311886053883
20	3541, 27961	40	1676321, 5964848081	60	61, 4188901, 39526741	80	5070721, 19721061166646717498359681	100	60101, 7019801, 14103673319201, 1680588011350901

Eigenschaften

• Jede prime Repunit $R_{n}$ (also Primzahlen der Form $111\ldots 111$ mit $n$ Einsern) ist eine einzigartige Primzahl.

Beispiel:

Die folgende Liste gibt die $n$ der momentan bekannten primen Repunits $R_{n}$ an:

2, 19, 23, 317, 1031, 49081, 86453, 109297, 270343, 5794777, 8177207 (Folge A004023 in OEIS)

Dabei sind die letzten fünf Repunits $R_{86453},R_{109297},R_{270343},R_{5794777}$ und $R_{8177207}$ PRP-Zahlen, es ist also noch nicht gesichert, ob sie wirklich Primzahlen sind.

• Die folgenden beiden Aussagen sind gleichwertig:

• Die Primzahl $p$ ist eine einzigartige Primzahl mit Periode $n$.
• $p^{\alpha }={\frac {\Phi _{n}(10)}{\operatorname {ggT} (\Phi _{n}(10),n)}}$ ist eine Potenz von $p$, wobei $\Phi _{n}(x)$ das n-te Kreisteilungspolynom ist.

Spezialfall:

Ist $n\in \mathbb {P}$ eine Primzahl, so gilt für das Kreisteilungspolynom $\Phi _{n}(x)$:

$\Phi _{n}(x)=1+x+x^{2}+x^{3}+\ldots +x^{n-1}=\sum _{i=0}^{n-1}x^{i}$ und somit ist $\Phi _{n}(10)=1+10+10^{2}+10^{3}+\ldots +10^{n-1}=\sum _{i=0}^{n-1}10^{i}$

Somit gilt für oberen Satz:

$p^{\alpha }={\frac {1+10+10^{2}+10^{3}+\ldots +10^{n-1}}{\operatorname {ggT} (1+10+10^{2}+10^{3}+\ldots +10^{n-1},n)}}={\frac {111\ldots 111}{\operatorname {ggT} (111\ldots 111,n)}}={\frac {R_{n}}{\operatorname {ggT} (R_{n},n)}}$, wobei $R_{n}$ die $n$-te Repunit ist

Beispiel:

Sei die Periodenlänge $n=3\in \mathbb {P}$. Dann ist $p^{\alpha }={\frac {111}{\operatorname {ggT} (111,3)}}={\frac {111}{3}}=37$.

Obiger Liste von einzigartigen Primzahlen kann man entnehmen, dass für $p=37$ die Periodenlänge tatsächlich $3$ ist.

Normalfall:

Ist $n\not \in \mathbb {P}$ keine Primzahl, so gilt für das Kreisteilungspolynom $\Phi _{n}(x)$:

$\Phi _{n}(x)=\!\!\!\!\prod _{1\leq k\leq n \atop \operatorname {ggT} (k,n)=1}\!\!\!\!\left(x-e^{2\pi \cdot \mathrm {i} k/n}\right)$

Beispiel 1:

Sei die Periodenlänge $n=9\not \in \mathbb {P}$. Dann ist $\Phi _{9}(x)=x^{6}+x^{3}+1$ und es gilt:

$p^{\alpha }={\frac {\Phi _{9}(10)}{\operatorname {ggT} (\Phi _{9}(10),9)}}={\frac {10^{6}+10^{3}+1}{\operatorname {ggT} (10^{6}+10^{3}+1,9)}}={\frac {1001001}{\operatorname {ggT} (1001001,9)}}={\frac {1001001}{3}}=333667$.

Obiger Liste von einzigartigen Primzahlen kann man entnehmen, dass für $p=333667$ die Periodenlänge tatsächlich $9$ ist.

Beispiel 2:

Sei die Periodenlänge $n=1\not \in \mathbb {P}$. Dann ist $\Phi _{1}(x)=x-1$ und es gilt:

$p^{\alpha }={\frac {\Phi _{1}(10)}{\operatorname {ggT} (\Phi _{1}(10),1)}}={\frac {10-1}{\operatorname {ggT} (10-1,9)}}={\frac {9}{\operatorname {ggT} (9,1)}}={\frac {9}{1}}=9=3^{2}$.

Obiger Liste von einzigartigen Primzahlen kann man entnehmen, dass für $p=3$ die Periodenlänge tatsächlich $1$ ist.

Beispiel 3:

Sei die Periodenlänge $n=6\not \in \mathbb {P}$. Dann ist $\Phi _{6}(x)=x^{2}-x+1$ und es gilt:

$p^{\alpha }={\frac {\Phi _{6}(10)}{\operatorname {ggT} (\Phi _{6}(10),6)}}={\frac {10^{2}-10+1}{\operatorname {ggT} (10^{2}-10+1,6)}}={\frac {91}{\operatorname {ggT} (91,6)}}={\frac {91}{1}}=91$.

Es ist aber $91=7\cdot 13\not \in P$ keine Primzahl, somit gibt es auch keine einzigartige Primzahl mit Periodenlänge $6$. Stattdessen haben die Dezimalbruchentwicklungen von ${\frac {1}{7}}$ und ${\frac {1}{13}}$ die Periodenlänge $n=6$.

Ungelöste Probleme

• Es wird vermutet, dass es unendlich viele einzigartige Primzahlen gibt (dies würde aus einer anderen mathematischen Vermutung folgern, nämlich dass es unendlich viele prime Repunits gibt).

Einzigartige Primzahlen im Dualsystem

Einzigartige Primzahlen sind von der Basis abhängig, mit der gezählt wird. In den oberen Abschnitten wurden einzigartige Primzahlen zur Basis $b=10$, also im Dezimalsystem betrachtet. In diesem Abschnitt werden einzigartige Primzahlen im Dualsystem, also mit Basis $b=2$, behandelt.

Eine Primzahl $p\in \mathbb {P}$ ist eine einzigartige Primzahl zur Basis b=2, genau dann, wenn gilt:

• Der Bruch ${\frac {1}{p}}$ hat zur Basis $b=2$ die Periodenlänge $n\geq 1$. Es existiert keine weitere Primzahl $q\in \mathbb {P}$, für die der Bruch ${\frac {1}{q}}$ zur Basis $b=2$ ebenfalls die Periodenlänge $n$ hat.

Beispiele

• Eine einzigartige Primzahl im Dualsystem ist die Zahl $p=5=4+1={\underline {1}}\cdot 2^{2}+{\underline {0}}\cdot 2^{1}+{\underline {1}}\cdot 2^{0}=101_{2}$:

Es ist

${\begin{aligned}{\frac {1}{5}}=0,2&={\frac {0}{2}}+{\frac {0}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+{\frac {0}{32}}+{\frac {0}{64}}+{\frac {1}{128}}+{\frac {1}{256}}+\ldots =0,125+0,0625+\ldots =\\&={\underline {0}}\cdot 2^{-1}+{\underline {0}}\cdot 2^{-2}+{\underline {1}}\cdot 2^{-3}+{\underline {1}}\cdot 2^{-4}+{\underline {0}}\cdot 2^{-5}+{\underline {0}}\cdot 2^{-6}+{\underline {1}}\cdot 2^{-7}+{\underline {1}}\cdot 2^{-8}+\ldots =0,00110011\ldots =0,{\overline {0011}}_{2}\end{aligned}}$

eine im Dualsystem periodische Zahl mit Periodenlänge $n=4$. Es gibt keine weitere Primzahl $p$, deren Bruch ${\frac {1}{p}}$ im Dualsystem eine Periodenlänge von $n=4$ hat. Somit ist $p=5$ eine einzigartige Primzahl im Dualsystem.

• Für die Zahl $p=2={\underline {1}}\cdot 2^{1}+{\underline {0}}\cdot 2^{0}=10_{2}$ ist ${\frac {1}{p}}={\frac {1}{2}}=0,5={\underline {1}}\cdot 2^{-1}=0,1_{2}$ eine im Dualsystem nicht periodische Zahl (also mit Periodenlänge $n=0$). Es gibt zwar keine weitere Primzahl $p$, deren Bruch ${\frac {1}{p}}$ im Dualsystem eine Periodenlänge von $n=0$ hat, trotzdem ist $p=2$ keine einzigartige Primzahl im Dualsystem, weil $n\geq 1$ sein muss.
• Die kleinsten einzigartigen Primzahlen im Dualsystem sind die folgenden, jeweils im Dezimalsystem geschrieben:

3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 31, 41, 43, 73, 127, 151, 241, 257, 331, 337, 683, 2731, 5419, 8191, 43691, 61681, 65537, 87211, 131071, 174763, 262657, 524287, 599479, 2796203, 15790321, 18837001, 22366891, 715827883, 2147483647, 4278255361, … (Folge A144755 in OEIS)

Die dazugehörigen Periodenlängen sind die folgenden:

2, 4, 3, 10, 12, 8, 18, 5, 20, 14, 9, 7, 15, 24, 16, 30, 21, 22, 26, 42, 13, 34, 40, 32, 54, 17, 38, 27, 19, 33, 46, 56, 90, 78, 62, 31, 80, 120, 126, 150, 86, 98, 49, 69, 65, 174, 77, 93, 122, 61, 85, 192, 170, 234, 158, 165, 147, 129, 184, 89, 208, 312, … (Folge A247071 in OEIS)

Wenn man die einzigartigen Primzahlen im Dualsystem nach ihrer Periodenlänge $n$ geordnet haben will, so erhält man die Folge A161509 in OEIS. Die sortierte Liste der dazugehörigen Periodenlängen $n$ ist dann die Folge A161508 in OEIS.

• Die momentan (Stand: 23. Dezember 2018) größte bekannte einzigartige Primzahl im Dualsystem ist die folgende:

$p=2^{82589933}-1$

Sie hat $24.862.048$ Stellen und wurde am 21. Dezember 2018 von Patrick Laroche entdeckt. Sie ist auch gleichzeitig die größte bekannte Primzahl und dadurch auch gleichzeitig die größte bekannte Mersenne-Primzahl. Der dazugehörige Bruch ${\frac {1}{p}}$ hat, im Dualsystem geschrieben, die Periodenlänge $n=82589933$ und es gibt keine einzige weitere Primzahl $q\in \mathbb {P}$, dessen Bruch ${\frac {1}{q}}$ dieselbe Periodenlänge hat.

• Die momentan (Stand: 21. Juli 2018) größte bekannte einzigartige (aber noch nicht endgültig bewiesene) Primzahl im Dualsystem, welche nicht gleichzeitig Mersenne-Primzahl ist, ist die folgende:

$p={\frac {2^{13372531}+1}{3}}$

Sie hat $4.025.533$ Stellen und wurde im September 2013 von Ryan Propper entdeckt. Sie ist allerdings noch zu groß, als dass man sicher sagen kann, dass es sich um eine Primzahl handelt. Sie erfüllt viele Primzahl-Eigenschaften und ist eine PRP-Zahl. Ist ihre Primalität bewiesen, so ist sie eine Wagstaff-Primzahl. Der dazugehörige Bruch ${\frac {1}{p}}$ hat, im Dualsystem geschrieben, die Periodenlänge $n=2\cdot 13372531=26745062$ und es gibt keine einzige weitere Primzahl $q\in \mathbb {P}$, dessen Bruch ${\frac {1}{q}}$ dieselbe Periodenlänge hat.

• Die momentan (Stand: 25. Oktober 2021) größte bekannte einzigartige (und auch bewiesene) Primzahl im Dualsystem, welche nicht gleichzeitig Mersenne-Primzahl ist, ist die folgende:

$p={\frac {2^{95369}+1}{3}}$

Sie hat $28709$ Stellen und wurde am 3. August 2021 von Bill Allombert entdeckt. Sie ist die momentan größte bekannte Wagstaff-Primzahl. Der dazugehörige Bruch ${\frac {1}{p}}$ hat, im Dualsystem geschrieben, die Periodenlänge $n=2\cdot 95369=190738$.

• Die momentan (Stand: 21. Juli 2018) größte bekannte einzigartige Primzahl im Dualsystem, welche weder Mersenne-Primzahl noch Wagstaff-Primzahl (aber leider eine PRP-Zahl) ist, ist die folgende:

$p={\frac {2^{4101572}+1}{17}}={\frac {16^{1025393}+1}{17}}$

Sie hat $1.234.695$ Stellen und wurde im August 2014 von Paul Bourdelais entdeckt.

Eigenschaften

• Jede Fermatsche Primzahl $F_{n}=2^{2^{n}}+1$ ist eine einzigartige Primzahl im Dualsystem. Ihre Periodenlänge ist eine Zweierpotenz $2^{n}$ mit $n\in \mathbb {N} ,n>0$.
• Jede Mersenne-Primzahl $M_{n}=2^{n}-1$ ist eine einzigartige Primzahl im Dualsystem. Ihre Periodenlänge ist eine Primzahl $n\in \mathbb {P}$.
• Jede Wagstaff-Primzahl $p={\frac {2^{q}+1}{3}}$ ist eine einzigartige Primzahl im Dualsystem. Ihre Periodenlänge ist das Doppelte einer ungeraden Primzahl $n=2\cdot q$ mit $q\in \mathbb {P} ,q\geq 3$.
• Sei $n\not =1$ und $n\not =6$ eine natürliche Zahl. Dann gilt:

Es existiert mindestens eine Primzahl $p$, welche im Dualsystem die Periodenlänge $n$ hat.

Beweis: Diese Aussage gilt wegen des Satzes von Zsigmondy

• Sei $n>20$ eine natürliche Zahl mit $n\equiv 4{\pmod {8}}$ ($n$ habe also die Form $n=8k+4$ mit $k\in \mathbb {N}$). Dann gilt:

Es existieren mindestens zwei Primzahlen $p_{1},p_{2}$, welche im Dualsystem die Periodenlänge $n$ haben.

Somit ist $n\equiv 4{\pmod {8}}$ niemals eine einzigartige Primzahl zur Basis $b=2$.

Beweis: Diese Aussage gilt wegen der Faktorisierung von Aurifeuille

• Die folgenden beiden Aussagen sind gleichwertig:

• Die Primzahl $p$ ist eine einzigartige Primzahl im Dualsystem mit Periode $n$.
• $p^{\alpha }={\frac {\Phi _{n}(2)}{\operatorname {ggT} (\Phi _{n}(2),n)}}$ ist eine Potenz von $p$ mit $\alpha \in \mathbb {N}$, wobei $\Phi _{n}(x)$ das n-te Kreisteilungspolynom ist.

Beispiel:

Die einzigen bekannten $n$, für welche obiger Zähler $\Phi _{n}(2)$ zusammengesetzt, aber obiger Gesamtausdruck ${\frac {\Phi _{n}(2)}{\operatorname {ggT} (\Phi _{n}(2),n)}}$ prim ist, sind die folgenden:

18, 20, 21, 54, 147, 342, 602, 889

In diesen Fällen hat $\Phi _{n}(2)$ offenbar einen Teiler, welcher auch Teiler von $n$ ist.

Alle anderen bekannten einzigartigen Primzahlen zur Basis $b=2$ haben die Form $\Phi _{n}(2)$.

Es ist noch keine Primzahl $p\in \mathbb {P}$ bekannt, für die in obiger Formel $\alpha >1$ ist. Für alle bekannten einzigartigen Primzahlen $p\in \mathbb {P}$ im Dualsystem gilt $\alpha =1$.

Ungelöste Probleme

• Es wird vermutet, dass es unendlich viele einzigartige Primzahlen zur Basis $b=2$ gibt (dies würde aus einer anderen mathematischen Vermutung folgern, nämlich dass es unendlich viele Mersenne-Primzahlen gibt).
• Es wird vermutet, dass es keine Wieferich-Primzahlen gibt, die gleichzeitig einzigartige Primzahlen im Dualsystem sind.

Einzigartige Primzahlen in anderen Zahlsystemen

Eine Primzahl $p\in \mathbb {P}$ ist eine einzigartige Primzahl zur Basis b, genau dann, wenn gilt:

• Der Bruch ${\frac {1}{p}}$ hat zur Basis $b$ die Periodenlänge $n\geq 1$. Es existiert keine weitere Primzahl $q\in \mathbb {P}$, für die der Bruch ${\frac {1}{q}}$ zur Basis $b$ ebenfalls die Periodenlänge $n$ hat.

Eigenschaften

• Die folgenden drei Aussagen sind gleichwertig:

• $p$ ist eine einzigartige Primzahl zur Basis $b$ (der Bruch ${\frac {1}{p}}$ hat zur Basis $b$ die Periodenlänge $n$).
• $p$ ist der einzige Primteiler des n-ten Kreisteilungspolynoms $\Phi _{n}(b)$, welche nicht die Periodenlänge $n$ teilt.
• Fall 1: $b$ ist gerade:

$R_{n}(b)={\frac {\Phi _{n}(b)}{\operatorname {ggT} (\Phi _{n}(b),n)}}=p^{\alpha }$ ist eine Potenz von $p$ mit $\alpha \in \mathbb {N}$

Fall 2: $b$ ist ungerade:

$R_{n}(b)={\frac {\Phi _{n}(b)}{\operatorname {ggT} (\Phi _{n}(b),n)}}=2^{\beta }\cdot p^{\alpha }$ ist eine Zweierpotenz mal einer Potenz von $p$ mit $\alpha ,\beta \in \mathbb {N} ,\alpha >0,\beta \geq 0$

Einzigartige Primzahlen im Dezimalsystem bzw. im Dualsystem fallen somit in den Fall 1.

• Sei die Primzahl $p\in \mathbb {P}$ ein Teiler der Basis $b$. Dann gilt:

• Die Primzahl $p$ ist keine einzigartige Primzahl zur Basis $b$.
• Der Bruch ${\frac {1}{p}}$ hat zur Basis $b$ die Periodenlänge $n=0$, hat also keine Periode.

Beweis der 1. Behauptung:

Wenn $p$ Teiler der Basis $b$ ist, ist $p$ auch Teiler von $b^{n}$ und somit nicht Teiler der um $1$ größeren Zahl $b^{n}+1$. Also ist $p$ zu $b^{n}-1$ teilerfremd. Das Kreisteilungspolynom $\Phi _{n}(b)$ ist aber so definiert, dass es $b^{n}-1$ teilen muss. Somit ist auch $p$ und $\Phi _{n}(b)$ teilerfremd und es ist $p$ somit auch kein Teiler von ${\frac {\Phi _{n}(b)}{\operatorname {ggT} (\Phi _{n}(b),n)}}$. Also kann $p$ keine einzigartige Primzahl zur Basis $b$ sein. $\Box$

• Sei $n\in \mathbb {N}$. Dann gilt:

Es existiert mindestens eine Primzahl $p\in \mathbb {P}$, für die ${\frac {1}{p}}$ zur Basis $b$ die Periodenlänge $n$ hat, mit Ausnahme der folgenden Fälle:

• $b=2$ und $n=1$ oder $n=6$
• $n=2$ und $b=2^{k}-1$ mit $k\in \mathbb {N} ,k>0$

Beweis: Diese Aussage gilt wegen des Satzes von Zsigmondy

Beispiele

Es folgt eine Auflistung von Primzahlen $p$, für die der Bruch ${\frac {1}{p}}$ bei gegebener Basis $b\leq 24$ die Periodenlänge $n\leq 24$ besitzt. Einzigartige Primzahlen werden in gelben Zellen geschrieben:

Primzahlen $p$, für die der Bruch ${\frac {1}{p}}$ bei gegebener Basis $b\leq 24$ die Periodenlänge $n\leq 24$ hat (einzigartige Primzahlen werden in gelben Zellen geschrieben)

Periodenlänge n $\downarrow \quad$ Basis b$\quad \rightarrow$	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24
1	es gibt keine	2	3	2	5	2, 3	7	2	3	2, 5	11	2, 3	13	2, 7	3, 5	2	17	2, 3	19	2, 5	3, 7	2, 11	23
2	3	es gibt keine	5	3	7	es gibt keine	3	5	11	3	13	7	3, 5	es gibt keine	17	3	19	5	3, 7	11	23	3	5
3	7	13	7	31	43	19	73	7, 13	37	7, 19	157	61	211	241	7, 13	307	7	127	421	463	13	7, 79	601
4	5	5	17	13	37	5	5, 13	41	101	61	5, 29	5, 17	197	113	257	5, 29	5, 13	181	401	13, 17	5, 97	5, 53	577
5	31	11	11, 31	11, 71	311	2801	31, 151	11, 61	41, 271	3221	22621	30941	11, 3761	11, 4931	11, 31, 41	88741	41, 2711	151, 911	11, 61, 251	40841	245411	292561	346201
6	es gibt keine	7	13	7	31	43	19	73	7, 13	37	7, 19	157	61	211	241	7, 13	307	7	127	421	463	13	7, 79
7	127	1093	43, 127	19531	55987	29, 4733	127, 337	547, 1093	239, 4649	43, 45319	659, 4943	5229043	8108731	1743463	29, 43, 113, 127	25646167	449, 80207	701, 70841	29, 71, 32719	43, 631, 3319	16968421	29, 5336717	29, 239, 28771
8	17	41	257	313	1297	1201	17, 241	17, 193	73, 137	7321	89, 233	14281	41, 937	17, 1489	65537	41761	113, 929	17, 3833	160001	97241	73, 3209	139921	331777
9	73	757	19, 73	19, 829	19, 2467	37, 1063	262657	19, 37, 757	333667	1772893	37, 80749	1609669	397, 18973	541, 21061	19, 37, 73, 109	19, 1270657	991, 34327	523, 29989	64008001	85775383	127, 297613	19, 7792003	19, 2017, 4987
10	11	61	41	521	11, 101	11, 191	11, 331	1181	9091	13421	19141	11, 2411	71, 101	31, 1531	61681	11, 71, 101	11, 9041	11, 2251	152381	185641	224071	31, 41, 211	11, 5791
11	23, 89	23, 3851	23, 89, 683	12207031	23, 3154757	1123, 293459	23, 89, 599479	23, 67, 661, 3851	21649, 513239	15797, 1806113	23, 266981089	23, 419, 859, 18041	67, 4027, 1154539	67, 463, 2333, 8537	23, 89, 397, 683, 2113	2141993519227	23, 199, 16127, 51217	104281, 62060021	10778947368421	17513875027111	67, 353, 1176469537	3937230404603	67, 7349, 134367047
12	13	73	241	601	13, 97	13, 181	37, 109	6481	9901	13, 1117	20593	28393	37, 1033	13, 3877	97, 673	83233	229, 457	13, 769	13, 12277	61, 3181	157, 1489	37, 7549	13, 73, 349
13	8191	797161	2731, 8191	305175781	3433, 760891	16148168401	79, 8191, 121369	398581, 797161	53, 79, 265371653	1093, 3158528101	477517, 20369233	53, 264031, 1803647	157, 29914249171	53, 157483, 16655159	53, 157, 1613, 2731, 8191	212057, 2919196853	79, 521, 29759719289	599, 29251, 133338869	3121, 142559, 9690539	79, 189437, 516094151	79, 2003, 85107437663	47691619, 480393499	53, 6553, 15913, 6895253
14	43	547	29, 113	29, 449	29, 197	113, 911	43, 5419	29, 16493	909091	1623931	211, 13063	29, 22079	7027567	10678711	15790321	22796593	32222107	197, 226871	827, 10529	81867661	29, 43, 86969	71, 673, 2969	183458857
15	151	4561	151, 331	181, 1741	1171, 1201	31, 159871	631, 23311	31, 271, 4561	31, 2906161	195019441	61, 661, 9781	4651, 161971	31, 2851, 15511	61, 39225301	61, 151, 331, 1321	6566760001	31, 601, 558721	31, 211, 2460181	31, 3001, 261451	211, 9391, 18181	61, 858794191	74912328481	241, 17881, 24481
16	257	17, 193	65537	17, 11489	17, 98801	17, 169553	97, 257, 673	21523361	17, 5882353	17, 6304673	17, 97, 260753	407865361	17, 5393, 16097	7121, 179953	641, 6700417	18913, 184417	97, 113607841	15073, 563377	17, 1505882353	62897, 300673	17, 3227992561	17, 3697, 623009	17, 2801, 2311681
17	131071	1871, 34511	43691, 131071	409, 466344409	239, 409, 1123, 30839	14009, 2767631689	103, 2143, 11119, 131071	103, 307, 1021, 1871, 34511	2071723, 5363222357	50544702849929377	2693651, 74876782031	103, 443, 15798461357509	103, 22771730193675277	1045002649, 6734509609	137, 953, 26317, 43691, 131071	10949, 1749233, 2699538733	7563707819165039903	3044803, 99995282631947	689852631578947368421	1502097124754084594737	239, 74729519, 176634767651	103, 62246266355102810647	307, 120574031, 341563234253
18	19	19, 37	37, 109	5167	46441	117307	87211	530713	19, 52579	590077	1657, 1801	19, 271, 937	19, 132049	19, 739, 811	433, 38737	1423, 5653	73, 465841	199, 236377	307, 69481	19, 37, 199, 613	19, 5966803	163, 271, 1117	127, 199, 7561
19	524287	1597, 363889	174763, 524287	191, 6271, 3981071	191, 638073026189	419, 4534166740403	32377, 524287, 1212847	1597, 2851, 101917, 363889	1111111111111111111	6115909044841454629	29043636306420266077	12865927, 9468940004449	459715689149916492091	4272113, 370649274902657	229, 457, 174763, 524287, 525313	229, 1103, 202607147, 291973723	6841, 6089884909802812423	109912203092239643840221	75368484119, 192696104561	12061389013, 54921106624003	45943, 341203, 97404596002423	2129, 63877469, 24939218613613	7282588256957615350925401
20	41	1181	61681	41, 9161	241, 6781	281, 4021	41, 61, 1321	42521761	3541, 27961	212601841	85403261	421, 601, 641	1061, 1383881	19421, 131381	4278255361	21881, 63541	15101, 145501	16936647121	41, 2801, 222361	41, 920421641	181, 401, 150901	61, 941, 272341	61, 1801385941
21	337	368089	337, 5419	379, 519499	1822428931	11898664849	92737, 649657	43, 2269, 368089	43, 1933, 10838689	1723, 8527, 27763	8177824843189	43, 337, 547, 2714377	43, 547, 2239000891	43, 2817034275427	337, 1429, 5419, 14449	43, 13567, 940143709	156107192084257	30640261, 68443621	460951, 8442733531	4789, 6427, 227633407	12271836836138419	43, 170689, 408030421	43, 10426753, 78066619
22	683	67, 661	397, 2113	23, 67, 5281	51828151	23, 10746341	67, 683, 20857	5501, 570461	23, 4093, 8779	23, 89, 199, 58367	57154490053	128011456717	23, 11737870057	23, 23504771357	353, 2931542417	23, 947, 87415373	536801, 6301307	23, 253239693257	23, 424016563147	23, 6073, 10362529	89, 285451051007	39700406579747	60867245726761
23	47, 178481	47, 1001523179	47, 178481, 2796203	8971, 332207361361	47, 139, 3221, 7505944891	47, 3083, 31479823396757	47, 178481, 10052678938039	47, 1001523179, 23535794707	11111111111111111111111	829, 28878847, 3740221981231	47, 39891250417, 321218438243	1381, 2519545342349331183143	47, 461, 2347, 10627, 2249861, 14525237	829, 31741, 3046462151831565769	47, 277, 1013, 1657, 30269, 178481, 2796203	47, 26552618219228090162977481	47, 599, 7468009, 20801237997245359	277, 2347, 16497763013, 1335495402823	691, 1381, 46266279097921483078651	47, 19597, 139870566115103282847737	4463, 1323064018651, 60575166785239	461, 1289, 831603031789, 1920647391913	47, 124799, 304751, 58769065453824529
24	241	6481	97, 673	390001	1678321	73, 193, 409	433, 38737	97, 577, 769	99990001	10657, 20113	193, 2227777	815702161	1475750641	2562840001	193, 22253377	73, 1321, 72337	11019855601	4297, 3952393	31177, 821113	73, 518118697	191353, 286777	937, 83575993	97, 1134793633

Die Primzahlen $p\in \mathbb {P}$ für die Basis $b=2$ kann man mit aufsteigender Periodenlänge $n=2,3,4,\ldots$ auch der Folge A108974 in OEIS entnehmen.

Es folgt eine Auflistung der Periodenlängen $n$ von Bruchzahlen der Form ${\frac {1}{p}}$ mit den ersten 34 Primzahlen $p\leq 139$ zu verschiedensten Basen $b\leq 24$. Wenn die Primzahl $p$ ein Teiler der Basis $b$ ist, endet die Dezimalbruchentwicklung, die Periodenlänge beträgt somit $0$. Ist die Primzahl $p$ eine einzigartige Primzahl zur Basis $b$, so wird die Periodenlänge $n$ in einer gelben Zelle geschrieben:

Periodenlängen $n$ von ${\frac {1}{p}}$ (mit $p\leq 139$) bei gegebener Basis $b\leq 24$ (dabei bedeutet $0$, dass die Primzahl $p$ Teiler der Basis $b$ ist)

Primzahl $p$ $\downarrow \quad$ Basis $b\rightarrow$	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24
2	$0$	1	$0$	1	$0$	1	$0$	1	$0$	1	$0$	1	$0$	1	$0$	1	$0$	1	$0$	1	$0$	1	$0$
3	2	$0$	1	2	$0$	1	2	$0$	1	2	$0$	1	2	$0$	1	2	$0$	1	2	$0$	1	2	$0$
5	4	4	2	$0$	1	4	4	2	$0$	1	4	4	2	$0$	1	4	4	2	$0$	1	4	4	2
7	3	6	3	6	2	$0$	1	3	6	3	6	2	$0$	1	3	6	3	6	2	$0$	1	3	6
11	10	5	5	5	10	10	10	5	2	$0$	1	10	5	5	5	10	10	10	5	2	$0$	1	10
13	12	3	6	4	12	12	4	3	6	12	2	$0$	1	12	3	6	4	12	12	4	3	6	12
17	8	16	4	16	16	16	8	8	16	16	16	4	16	8	2	$0$	1	8	16	4	16	16	16
19	18	18	9	9	9	3	6	9	18	3	6	18	18	18	9	9	2	$0$	1	18	18	9	9
23	11	11	11	22	11	22	11	11	22	22	11	11	22	22	11	22	11	22	22	22	2	$0$	1
29	28	28	14	14	14	7	28	14	28	28	4	14	28	28	7	4	28	28	7	28	14	7	7
31	5	30	5	3	6	15	5	15	15	30	30	30	15	10	5	30	15	15	15	30	30	10	30
37	36	18	18	36	4	9	12	9	3	6	9	36	12	36	9	36	36	36	36	18	36	12	36
41	20	8	10	20	40	40	20	4	5	40	40	40	8	40	5	40	5	40	20	20	40	10	40
43	14	42	7	42	3	6	14	21	21	7	42	21	21	21	7	21	42	42	42	7	14	21	21
47	23	23	23	46	23	23	23	23	46	46	23	46	23	46	23	23	23	46	46	23	46	46	23
53	52	52	26	52	26	26	52	26	13	26	52	13	52	13	13	26	52	52	52	52	52	4	13
59	58	29	29	29	58	29	58	29	58	58	29	58	58	29	29	29	58	29	29	29	29	58	58
61	60	10	30	30	60	60	20	5	60	4	15	3	6	15	15	60	60	30	5	12	15	20	20
67	66	22	33	22	33	66	22	11	33	66	66	66	11	11	33	33	66	33	66	33	11	33	11
71	35	35	35	5	35	70	35	35	35	70	35	70	10	35	35	10	35	35	7	70	70	14	35
73	9	12	9	72	36	24	3	6	8	72	36	72	72	72	9	24	18	36	72	24	8	36	12
79	39	78	39	39	78	78	13	39	13	39	26	39	26	26	39	26	13	39	39	13	13	3	6
83	82	41	41	82	82	41	82	41	41	41	41	82	82	82	41	41	82	82	82	41	82	41	82
89	11	88	11	44	88	88	11	44	44	22	8	88	88	88	11	44	44	88	44	44	22	88	88
97	48	48	24	96	12	96	16	24	96	48	16	96	96	96	12	96	16	32	32	96	4	96	24
101	100	100	50	25	10	100	100	50	4	100	100	50	10	100	25	10	100	25	50	50	50	50	25
103	51	34	51	102	102	51	17	17	34	102	102	17	17	51	51	51	51	51	102	102	34	17	34
107	106	53	53	106	106	106	106	53	53	53	53	53	53	106	53	106	106	53	106	106	106	53	106
109	36	27	18	27	108	27	12	27	108	108	54	108	108	27	9	36	108	36	54	27	27	36	108
113	28	112	14	112	112	14	28	56	112	56	112	56	28	4	7	112	8	112	112	112	56	112	112
127	7	126	7	42	126	126	7	63	42	63	126	63	126	63	7	63	63	3	6	63	9	126	18
131	130	65	65	65	130	65	130	65	130	65	65	65	130	65	65	130	26	26	65	65	130	130	26
137	68	136	34	136	136	68	68	68	8	68	136	136	34	34	17	68	34	68	136	136	34	136	136
139	138	138	69	69	23	69	46	69	46	69	138	69	46	138	69	138	138	138	69	138	138	46	69

Nun folgt eine Tabelle, der man die kleinsten Periodenlängen $n$ (bis inklusive $n=600$) entnehmen kann, für die der Bruch ${\frac {1}{p}}$ mit $p\in \mathbb {P}$ eine einzigartige Länge hat. Es gibt somit keine andere Primzahl $q\in \mathbb {P}$ zur gegebenen Basis $b\leq 24$ mit der gleichen Periodenlänge. Außerdem wird jeweils auch die dazugehörige einzigartige Primzahl $p$ angegeben, deren Bruch ${\frac {1}{p}}$ diese Periodenlänge $n$ hat.

die kleinsten Periodenlängen $n\leq 600$ für den Bruch ${\frac {1}{p}}$ von einzigartigen Primzahlen $p\in \mathbb {P}$ zur Basis $b\leq 24$ und die dazugehörigen Primzahlen $p\in \mathbb {P}$

Basis $b$	die kleinsten Periodenlängen $n\leq 600$ von einzigartigen Primzahlen $p$ zur Basis $b\leq 24$	OEIS-Folge
	die dazugehörigen einzigartigen Primzahlen $p$ mit diesen Periodenlängen $n\leq 600$	OEIS-Folge
2	2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 24, 26, 27, 30, 31, 32, 33, 34, 38, 40, 42, 46, 49, 54, 56, 61, 62, 65, 69, 77, 78, 80, 85, 86, 89, 90, 93, 98, 107, 120, 122, 126, 127, 129, 133, 145, 147, 150, 158, 165, 170, 174, 184, 192, 195, 202, 208, 234, 254, 261, 280, 296, 312, 322, 334, 342, 345, 366, 374, 382, 398, 410, 414, 425, 447, 471, 507, 521, 550, 567, 579, 590, 600, …	Folge A161508 in OEIS
	3, 7, 5, 31, 127, 17, 73, 11, 13, 8191, 43, 151, 257, 131071, 19, 524287, 41, 337, 683, 241, 2731, 262657, 331, 2147483647, 65537, 599479, 43691, 174763, 61681, 5419, 2796203, 4432676798593, 87211, 15790321, 2305843009213693951, 715827883, 145295143558111, 10052678938039, 581283643249112959, 22366891, 4278255361, 9520972806333758431, 2932031007403, 618970019642690137449562111, …	Folge A161509 in OEIS
3	1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 14, 15, 20, 21, 24, 26, 32, 33, 36, 40, 46, 60, 63, 64, 70, 71, 72, 86, 103, 108, 128, 130, 132, 143, 145, 154, 161, 236, 255, 261, 276, 279, 287, 304, 364, 430, 464, 513, 528, 541, 562, …
	2, 13, 5, 11, 7, 1093, 41, 757, 61, 73, 797161, 547, 4561, 1181, 368089, 6481, 398581, 21523361, 2413941289, 530713, 42521761, 23535794707, 47763361, 144542918285300809, 926510094425921, 374857981681, 3754733257489862401973357979128773, 282429005041, 82064241848634269407, 6957596529882152968992225251835887181478451547013, …
4	1, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 16, 20, 28, 40, 60, 92, 96, 104, 140, 148, 156, 300, 356, 408, 596, …
	3, 5, 7, 17, 13, 257, 41, 241, 65537, 61681, 15790321, 4278255361, 4562284561, 291280009243618888211558641, 18446744069414584321, 78919881726271091143763623681, 84179842077657862011867889681, 20988936657440586486151264256610222593863921, 84159375948762099254554456081, 1461503031127477825099979369543473122548042956801, …
5	1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 18, 24, 28, 47, 48, 49, 56, 57, 88, 90, 92, 108, 110, 116, 120, 127, 134, 141, 149, 161, 171, 181, 198, 202, 206, 236, 248, 288, 357, 384, 420, 458, 500, 530, 536, …
	2, 3, 31, 13, 7, 19531, 313, 521, 12207031, 601, 305175781, 5167, 390001, 234750601, 177635683940025046467781066894531, 152587500001, 227376585863531112677002031251, 59509429687890001, 11735415506748076408140121, 9080418348371887359375390001, 60081451169922001, 5465713352000770660547109750601, 14551915228363037109375001, …
6	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 18, 21, 22, 24, 29, 30, 42, 50, 62, 71, 86, 90, 94, 118, 124, 127, 129, 144, 154, 186, 192, 214, 271, 354, 360, 411, 480, 509, 558, 575, …
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7	3, 4, 5, 6, 8, 13, 18, 21, 28, 30, 34, 36, 46, 48, 50, 54, 55, 58, 63, 76, 84, 94, 105, 122, 131, 148, 149, 224, 280, 288, 296, 332, 352, 456, 528, 531, 581, …
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8	1, 2, 3, 6, 9, 18, 30, 42, 78, 87, 114, 138, 189, 303, 318, 330, 408, 462, 504, 561, …
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	23, 13, 245411, 463, 16968421, 224071, 12271836836138419, 705429635566498619547944801, 12296089473177511, 111284674149221479321933039375712865638979268198676574953779, 536009503964613991286957683005287140685493324523698332668846831791767500295593367113600925667991227216067, …
23	2, 5, 6, 8, 11, 15, 22, 26, 39, 42, 45, 54, 56, 132, 134, 145, 147, 196, 212, 218, 252, 343, 580, …
	3, 292561, 13, 139921, 3937230404603, 74912328481, 39700406579747, 21001515080686141, 459408054528299360264076035007841, 22865554874031409, 480211292412647894626919619228001, 1081383636631149044212969, 480249047846803230704957710381921, 2950758285992728866481208896744379674128936788494711201, …
24	1, 2, 3, 4, 5, 8, 14, 19, 22, 38, 45, 53, 54, 70, 71, 117, 140, 144, 169, 186, 192, 195, 196, 430, …
	23, 5, 601, 577, 346201, 331777, 183458857, 7282588256957615350925401, 60867245726761, 6699981196401006122851369, 1333639297121560770726162830707201, 615840114784814774501200690134862345946783236130283731411280186824640601, 6979147079581739570429953, 1389307926104143220565076487602201, …

Bi-Einzigartige Primzahlen

Die beiden Primzahlen $p_{1}\in \mathbb {P}$ und $p_{2}\in \mathbb {P}$ nennt man bi-einzigartige Primzahlen (vom englischen bi-unique prime), wenn gilt:

• Die beiden Bruchzahlen ${\frac {1}{p_{1}}}$ und ${\frac {1}{p_{2}}}$ haben die gleiche Periodenlänge $n$
• Es gibt keine andere Primzahl $q\in \mathbb {P}$, sodass ${\frac {1}{q}}$ diese Periodenlänge $n$ besitzt

Beispiele

• Sei die Basis $b=10$ und die Periodenlänge $n=6$. Dann gilt für das Kreisteilungspolynom $\Phi _{n}(b)$ und für $R_{n}(b)$:

$\Phi _{n}(b)=\Phi _{6}(10)=10^{2}-10+1=91$

$R_{n}(b)=R_{6}(10)={\frac {\Phi _{n}(b)}{\operatorname {ggT} (\Phi _{n}(b),n)}}={\frac {91}{\operatorname {ggT} (91,6)}}={\frac {91}{1}}=91=7\cdot 13$

Somit haben $p_{1}=7$ und $p_{2}=13$ die gleiche Periodenlänge $n=6$ (im Speziellen ist ${\frac {1}{7}}=0,{\overline {142857}}$ und ${\frac {1}{13}}=0,{\overline {076923}}$). Die beiden Primzahlen $p_{1}=7$ und $p_{2}=13$ sind also bi-einzigartige Primzahlen zur Basis $b=10$.

• Sei die Basis $b=2$ und die Periodenlänge $n=11$. Dann gilt für das Kreisteilungspolynom $\Phi _{n}(b)$ und für $R_{n}(b)$:

$\Phi _{n}(b)=\Phi _{11}(2)=2^{10}+2^{9}+2^{8}+2^{7}+2^{6}+2^{5}+2^{4}+2^{3}+2^{2}+2^{1}+1=2047$

$R_{n}(b)=R_{11}(2)={\frac {\Phi _{n}(b)}{\operatorname {ggT} (\Phi _{n}(b),n)}}={\frac {2047}{\operatorname {ggT} (2047,11)}}={\frac {2047}{1}}=2047=23\cdot 89$

Somit haben $p_{1}=23$ und $p_{2}=89$ die gleiche Periodenlänge $n=11$ (im Speziellen ist ${\frac {1}{23}}=0,{\overline {00001011001}}_{2}$ und ${\frac {1}{89}}=0,{\overline {00000010111}}_{2}$). Die beiden Primzahlen $p_{1}=23$ und $p_{2}=89$ sind also bi-einzigartige Primzahlen zur Basis $b=2$.

• Es gibt 1228 ungerade Primzahlen unter 10000, aber nur 21 von ihnen sind im Binärsystem einzigartig und 76 von ihnen sind bi-einzigartig.
• Die beiden Primfaktoren $p_{1}$ (143 Stellen) und $p_{2}$ (177 Stellen) der Mersenne-Zahl $M_{1061}=2^{1061}-1$ sind bi-einzigartige Primzahlen zur Basis $b=2$ mit einer Periodenlänge $n=1061$. Die beiden Primzahlen lauten:

$p_{1}=46817226351072265620777670675006972301618979214252832875068976303839400413682313921168154465151768472420980044715745858522803980473207943564433$

$p_{2}=527739642811233917558838216073534609312522896254707972010583175760467054896492872702786549764052643493511382273226052631979775533936351462037464331880467187717179256707148303247$

• Die momentan (Stand: 18. August 2018) größte bekannte bi-einzigartige Primzahl ist momentan noch eine PRP-Zahl (also wegen ihrer Größe nur sehr wahrscheinlich eine Primzahl) und lautet:

$p_{1}={\frac {2^{5240707}-1}{75392810903}}$

Sie wurde im Juli 2016 von Tony Prest entdeckt und hat 1577600 Stellen. Die Periodenlänge ist $n=5240707$, die dazugehörige Primzahl $p_{2}=75392810903$.

• Die folgenden beiden Listen geben die kleinsten bi-einzigartigen Primzahlen $p_{1}$ und $p_{2}$ zu den Basen $b=2$ bzw. $b=10$ an, für die sowohl ${\frac {1}{p_{1}}}$ als auch ${\frac {1}{p_{2}}}$ die gleiche Periodenlänge $n$ besitzt:

die kleinsten bi-einzigartigen Primzahlen $p_{1}$ und $p_{2}$ zu den Basen $b=2$ bzw. $b=10$, für die sowohl ${\frac {1}{p_{1}}}$ als auch ${\frac {1}{p_{2}}}$ die gleiche Periodenlänge $n$ besitzt

bi-einzigartige Primzahlen zur Basis $b=2$ (Dualsystem) Primzahl $p_{1}$ Primzahl $p_{2}$ Perioden- länge $n$ 23 89 011 29 113 028 37 109 036 47 178481 023 59 3033169 058 61 1321 060 67 20857 066 71 122921 035 79 121369 039 83 8831418697 082 89 23 011 97 673 048 107 28059810762433 106 109 37 036 113 29 028 139 168749965921 138 167 57912614113275649087721 083 193 22253377 096 223 616318177 037 251 4051 050 263 10350794431055162386718619237468234569 131 281 86171 070 283 165768537521 094 353 2931542417 088 397 2113 044 433 38737 072 463 4982397651178256151338302204762057 231 571 160465489 114 577 487824887233 144 601 1801 025 607 1512768222413735255864403005264105839324374778520631853993 303 631 23311 045 641 6700417 064 643 84115747449047881488635567801 214 673 97 048 727 1786393878363164227858270210279 121 751 2139731020464054092520609592459940706818275139793055476751 375 769 442499826945303593556473164314770689 384 919 75582488424179347083438319 153

bi-einzigartige Primzahlen zur Basis $b=10$ (Dezimalsystem) Primzahl $p_{1}$ Primzahl $p_{2}$ Perioden- länge $n$ 7 13 006 13 7 006 17 5882353 016 19 52579 018 31 2906161 015 41 271 005 59 154083204930662557781201849 058 67 1344628210313298373 033 73 137 008 131 8396862596258693901610602298557167100076327481 130 137 73 008 197 5076141624365532994918781726395939035533 098 239 4649 007 271 41 005 521 1900381976777332243781 052 593 1686340623946037268128160202360893760539460370996627318701517706745362561551433406408094266441822934232698145025463743674536256340640809274873526138279915682968128161887015177082630691231028669477234384485666273187182124789224283305059021924114671146711635919055647554806087689713153457 592 617 16205834846012967584927082656402106953 088 619 1775284489339416641516803067691597578511956541035700971080615668660902909691278027303875446040227946528253652647836815849739920822311775462017788350583180954747998366738269807736689804541177723730227769 618 659 1669195584218529590286646434157814854324736115309393021412746417147209575112122913673899831396223233670544614736130332153279379512729727027480863261018377995279044174675248693324903049907283780136568875569212594823808802899848086342960546280576631426403625189683004552185129 658 691 15918798843849477568899983937931966555877132981347465830696251648192619376266439940521 230 709 14245401833582651607757419040888434428913949083230042298871664456967418914104358110028349774189012834964598039633272071932441466712270946403242595346967417489564174751763188998447108746121155148238363750352751762904090410437093089 708 757 440334654777631 027 859 1058313049 026 881 11351872871736662882973881952326901248582292849023836549375698070374687854710556299659477866174801360953461975027241770726447219069239499432349602724177071521 440

Tri-Einzigartige Primzahlen

Analog zu den bi-einzigartigen Primzahlen kann man auch tri-einzigartige Primzahlen definieren:

Die drei Primzahlen $p_{1},p_{2},p_{3}\in \mathbb {P}$ nennt man tri-einzigartige Primzahlen (vom englischen tri-unique prime), wenn gilt:

• Die drei Bruchzahlen ${\frac {1}{p_{1}}},{\frac {1}{p_{2}}}$ und ${\frac {1}{p_{3}}}$ haben die gleiche Periodenlänge $n$
• Es gibt keine andere Primzahl $q\in \mathbb {P}$, sodass ${\frac {1}{q}}$ diese Periodenlänge $n$ besitzt

Beispiele

• Sei die Basis $b=10$ und die Periodenlänge $n=13$. Dann gilt für das Kreisteilungspolynom $\Phi _{n}(b)$ und für $R_{n}(b)$:

$\Phi _{n}(b)=\Phi _{13}(10)=\sum _{i=0}^{12}10^{i}=1.111.111.111.111$

$R_{n}(b)=R_{13}(10)={\frac {\Phi _{n}(b)}{\operatorname {ggT} (\Phi _{n}(b),n)}}={\frac {\Phi _{13}(10)}{\operatorname {ggT} (\Phi _{13}(10),13)}}={\frac {\Phi _{13}(10)}{1}}=1.111.111.111.111=53\cdot 79\cdot 265371653$

Somit haben $p_{1}=53$, $p_{2}=79$ und $p_{3}=265371653$ die gleiche Periodenlänge $n=13$. Die drei Primzahlen $p_{1}=53$, $p_{2}=79$ und $p_{3}=265371653$ sind also tri-einzigartige Primzahlen zur Basis $b=10$.

• Sei die Basis $b=2$ und die Periodenlänge $n=29$. Dann gilt für das Kreisteilungspolynom $\Phi _{n}(b)$ und für $R_{n}(b)$:

$\Phi _{n}(b)=\Phi _{29}(2)=\sum _{i=0}^{28}2^{i}=536870911$

$R_{n}(b)=R_{29}(2)={\frac {\Phi _{n}(b)}{\operatorname {ggT} (\Phi _{n}(b),n)}}={\frac {536870911}{\operatorname {ggT} (536870911,29)}}={\frac {536870911}{1}}=536870911=233\cdot 1103\cdot 2089$

Somit haben $p_{1}=233$, $p_{2}=1103$ und $p_{3}=2089$ die gleiche Periodenlänge $n=29$. Die drei Primzahlen $p_{1}=233$, $p_{2}=1103$ und $p_{3}=2089$ sind also tri-einzigartige Primzahlen zur Basis $b=2$.

• Die folgenden beiden Listen geben die kleinsten tri-einzigartigen Primzahlen $p_{1},p_{2}$ und $p_{3}$ zur Basis $b=2$ bis $p<1000$ bzw. zur Basis $b=10$ bis $n\leq 200$ an, für die sowohl ${\frac {1}{p_{1}}},{\frac {1}{p_{2}}}$ als auch ${\frac {1}{p_{3}}}$ die gleiche Periodenlänge $n$ besitzt:

die kleinsten tri-einzigartigen Primzahlen $p_{1},p_{2}$ und $p_{3}$ zur Basis $b=2$, für die sowohl ${\frac {1}{p_{1}}},{\frac {1}{p_{2}}}$ als auch ${\frac {1}{p_{3}}}$ die gleiche Periodenlänge $n$ besitzt

tri-einzigartige Primzahlen zur Basis $b=2$ (Dualsystem) Primzahl $p_{1}$ Primzahlen $p_{2},p_{3}$ Perioden- länge $n$ 53 157, 1613 052 101 8101, 268501 100 103 2143, 11119 051 131 409891, 7623851 130 137 953, 26317 068 157 53, 1613 052 163 135433, 272010961 162 179 62020897, 18584774046020617 178 181 54001, 29247661 180 191 420778751, 30327152671 095 197 19707683773, 4981857697937 196 199 153649, 33057806959 099 211 664441, 1564921 210 229 457, 525313 076 233 1103, 2089 029 271 348031, 49971617830801 135 307 2857, 6529 102 317 381364611866507317969, 604462909806215075725313 316 359 1433, 1489459109360039866456940197095433721664951999121 179 367 55633, 37201708625305146303973352041 183 373 951088215727633, 4611545283086450689 372 419 3410623284654639440707, 1607792018780394024095514317003 418 421 146919792181, 1041815865690181 420 431 9719, 2099863 043 439 2298041, 9361973132609 073 443 4714692062809, 4507513575406446515845401458366741487526913 442 457 229, 525313 076 467 27961, 352369374013660139472574531568890678155040563007620742839120913 466 491 15162868758218274451, 50647282035796125885000330641 490 547 105310750819, 292653113147157205779127526827 546 563 5203536083, 442079688503172860176607217752424068059658864615965341384647107224486419 562 617 78233, 35532364099 154 659 762394321774681, 359687424377961714750891763743933975334959200103759485840227631801 658 691 1884103651, 345767385170491 230 701 2430065924693517198550322751963101, 1038213793447841940908293355871461401 700 739 165313, 13194317913029593 246 757 456376431053626339473533320957, 304832756195865229284807891468769 756 787 7237497065445543055003057643920459, 433685074806886298028919267117655888254843 786 811 15121, 385838642647891 270 827 170735974773267443, 6043930497790503973481076813462520042997083539133970912065745573049492802026928038019 826 859 8340357737139637289786276330761, 185074846248319535013227469188526344689 858 881 3191, 201961 055 887 207818990653657, 123219439267346362049744425289349676468781136823956005602631224069302162695430546376768705960936201429580820215522273 443 911 112901153, 23140471537 091 953 137, 26317 068 991 334202934764737951438594746151, 6084777159537635796550536863741698483921 495

tri-einzigartige Primzahlen zur Basis $b=10$ (Dezimalsystem) Primzahl $p_{1}$ Primzahlen $p_{2},p_{3}$ Perioden- länge $n$ 23 4093, 8779 022 29 281, 121499449 028 43 1933, 10838689 021 53 79, 265371653 013 61 4188901, 39526741 060 71 123551, 102598800232111471 035 79 53, 265371653 013 89 1052788969, 1056689261 044 103 4013, 21993833369 034 109 153469, 59779577156334533866654838281 108 113 73765755896403138401, 119968369144846370226083377 112 127 2689, 459691 042 151 4201, 15763985553739191709164170940063151 075 179 12147237304901893, 4180967272673252032291190917188955510245874180001164839931077197586653 178 181 4999437541453012143121, 1105097795002994798105101 180 211 241, 2161 030 227 908191467191, 53895712312217719065267103426685397298498705173449226555003346881878523705781079015749721646701723 113 241 211, 2161 030 251 5051, 78875943472201 050 277 203864078068831, 1595352086329224644348978893 069 281 29, 121499449 028 283 721030498171501831, 441506346488360048482114135141919313523563714948107161215664533500695867 141 293 10826684964539959837294043117, 286578888976194997999922592330908602103011 146 311 9294566806081, 311356050778390853515194982157798457569542012969741683230780943655658473371697366138417141225623774416801 155

Verallgemeinerung: n-Einzigartige Primzahlen

Die $n$ Primzahlen $p_{1},p_{2},\ldots p_{n}\in \mathbb {P}$ nennt man n-einzigartige Primzahlen (vom englischen n-unique prime), wenn gilt:

• Die $n$ Bruchzahlen ${\frac {1}{p_{1}}},{\frac {1}{p_{2}}},\ldots ,{\frac {1}{p_{n}}}$ haben die gleiche Periodenlänge $n$.
• Es gibt keine andere Primzahl $q\in \mathbb {P}$, sodass ${\frac {1}{q}}$ diese Periodenlänge $n$ besitzt.

Beispiele

• Die folgenden Primzahlen sind die kleinsten n-einzigartigen Primzahlen zur Basis $b=2$ mit aufsteigendem $n=1,2,3,\ldots$:

3, 23, 53, 149, 269, 461, 619, 389, …

Beispiel:

An der 6. Stelle obiger Liste steht die Zahl $p=461$. Das bedeutet, dass $p_{1}=461$ die kleinste Primzahl ist, die zu einem 6-einzigartigen Primzahlentupel $(p_{1},p_{2},p_{3},p_{4},p_{5},p_{6})$ zur Basis $b=2$ gehört.

• Die folgenden Primzahlen sind die kleinsten n-einzigartigen Primzahlen zur Basis $b=10$ mit aufsteigendem $n=1,2,3,\ldots$:

3, 7, 23, 47, 163, 149, …

Beispiel:

An der 5. Stelle obiger Liste steht die Zahl $p=163$. Das bedeutet, dass $p_{1}=163$ die kleinste Primzahl ist, die zu einem 5-einzigartigen Primzahlentupel $(p_{1},p_{2},p_{3},p_{4},p_{5})$ zur Basis $b=10$ gehört.

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Unique Prime. In: MathWorld (englisch).
• Chris K. Caldwell: Unique Prime. Prime Pages, abgerufen am 23. Dezember 2018 (englisch). 
• Chris K. Caldwell: Unique (Period) Primes and the Factorization of Cyclotomic Polynomial Minus One. (PDF) Mathematica Japonica 26 (1), 1997, S. 189–195, abgerufen am 23. Dezember 2018. 
• Chris K. Caldwell, Harvey Dubner: Unique-Period Primes. (PDF) Journal of Recreational Mathematics 29 (1), 1998, S. 43–48, abgerufen am 23. Dezember 2018. 
• R. Ondrejka, Chris K. Caldwell, Harvey Dubner: The Top Ten Prime Numbers. (PDF) 2001, S. 1–96 (92), abgerufen am 23. Dezember 2018. 

V – D

Primzahl­mengen