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In der Zahlentheorie ist eine Smarandache–Wellin-Zahl eine ganze Zahl , deren Ziffern im Dezimalsystem (oder einem beliebigen anderen Zahlensystem) aus der Aneinanderkettung der ersten Primzahlen (in diesem Zahlensystem) besteht.

Zum Beispiel sind die ersten fünf Primzahlen im Dezimalsystem die Zahlen 2, 3, 5, 7 und 11. Somit ist die fünfte Smarandache–Wellin-Zahl die Zahl .

Ist eine Smarandache–Wellin-Zahl eine Primzahl, so heißt sie Smarandache–Wellin-Primzahl.

Diese Zahlen wurden nach dem Künstler Florentin Smarandache und dem Mathematiker Paul R. Wellin benannt.

BeispieleBearbeiten

  • Die ersten Smarandache–Wellin-Zahlen im Dezimalsystem sind die folgenden:
2, 23, 235, 2357, 235711, 23571113, 2357111317, 235711131719, 23571113171923, 2357111317192329, 235711131719232931, 23571113171923293137, … (Folge A019518 in OEIS)
  • Die ersten Smarandache–Wellin-Primzahlen im Dezimalsystem sind die folgenden:
2, 23, 2357, … (Folge A069151 in OEIS)
Die vierte Smarandache–Wellin-Primzahl hat bereits 355 Stellen, die fünfte schon 499 Stellen.
  • Die folgende Liste gibt an, die wievielte Smarandache–Wellin-Zahl die jeweilige Smarandache–Wellin-Primzahl ist:
1, 2, 4, 128, 174, 342, 435, 1429 (Folge A046035 in OEIS)
Beispiel 1:
Obiger Liste kann man an der dritten Stelle die Zahl 4 entnehmen. Somit ist die Zahl, die man durch Aneinanderkettung der ersten 4 Primzahlen erhält, selbst eine Primzahl:  .
Beispiel 2:
Obiger Liste kann man an der vierten Stelle die Zahl 128 entnehmen. Somit ist die Zahl, die man durch Aneinanderkettung der ersten 128 Primzahlen erhält, selbst eine Primzahl:  . Aus dieser Zahl kann man herauslesen, dass die vorletzte Primzahl (die 127. Primzahl) die Zahl 709 ist und die letzte (die 128.) Primzahl die Zahl 719 sein muss. Dies führt zu folgender Liste:
  • Die folgende Liste gibt an, mit welcher Primzahl die Smarandache–Wellin-Primzahlen enden:
2, 3, 7, 719, 1033, 2297, 3037, 11927 (Folge A046284 in OEIS)
  • Die folgende Liste gibt die Anzahl der Stellen der ersten Smarandache–Wellin-Primzahlen an:
1, 2, 4, 355, 499, 1171, 1543, 5719 (Folge A263959 in OEIS)
Beispiel:
Den obigen drei Listen kann man an der achten Stelle die Zahlen 1429, 11927 und 5719 entnehmen. Somit ist die achte Smarandache–Wellin-Primzahl die Aneinanderkettung der ersten 1429 Primzahlen und endet mit eben dieser 1429. Primzahl, welche die Primzahl   ist. Diese 1429. Smarandache–Wellin-Zahl ist eine 5719-stellige PRP-Zahl, also eine probable prime (das heißt, dass es noch nicht gesichert ist, ob sie tatsächlich eine Primzahl oder vielleicht doch nur eine Pseudoprimzahl ist) Sie wurde von Eric W. Weisstein im Jahr 1998 entdeckt.
  • Die nächste, also die neunte Smarandache–Wellin-Primzahl (sofern sie existiert) ist mindestens die 34736. Smarandache–Wellin-Zahl, also die Aneinanderkettung der ersten 34736 Primzahlen.[1]

Smarandache-Zahlen und Champernowne-ZahlenBearbeiten

In der Zahlentheorie ist eine Smarandache-Zahl eine ganze Zahl  , deren Ziffern im Dezimalsystem (oder einem beliebigen anderen Zahlensystem) aus der Aneinanderkettung der ersten Zahlen (in diesem Zahlensystem) besteht. Die  -te Smarandache-Zahl kürzt man mit   ab.

Zum Beispiel sind die ersten fünf Zahlen im Dezimalsystem die Zahlen 1, 2, 3, 4 und 5. Somit ist die fünfte Smarandache-Zahl die Zahl  .

Ist eine Smarandache-Zahl eine Primzahl, so heißt sie Smarandache-Primzahl. Es ist aber noch keine bekannt.

Wenn mitten in einer Smarandache-Zahl abgebrochen werden darf, heißt die so entstandene Zahl Champernowne-Zahl. Zum Beispiel ist die zwölfte Smarandache-Zahl die Zahl  . Die letzten beiden Ziffern stammen von der Zahl  . Bricht man diese Zahl aber ganz hinten zwischen   und   ab, so erhält man die Champernowne-Zahl  .

Ist eine Champernowne-Zahl eine Primzahl, so heißt sie Champernowne-Primzahl.[2]

Die folgende Zahl nennt sich Champernowne-Konstante oder auch wie oben Champernowne-Zahl:

  (Folge A033307 in OEIS)

Diese Zahlen wurden nach dem Mathematiker David Gawen Champernowne (en) benannt.

BeispieleBearbeiten

  • Die ersten Smarandache-Zahlen sind die folgenden:
1, 12, 123, 1234, 12345, 123456, 1234567, 12345678, 123456789, 12345678910, 1234567891011, 123456789101112, … (Folge A007908 in OEIS)
  • Die Anzahl der Stellen der ersten Smarandache-Zahlen sind die folgenden:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 39, 41, 43, 45, 47, 49, 51, 53, 55, 57, 59, … (Folge A058183 in OEIS)
  • Die ersten Smarandache-Zahlen im Dualsystem sind die folgenden:
0, 1, 110, 11011, 11011100, 11011100101, 11011100101110, 11011100101110111, 110111001011101111000, 1101110010111011110001001, … (Folge A058935 in OEIS)
  • Die ersten Champernowne-Zahlen sind die folgenden:
1, 12, 123, 1234, 12345, 123456, 1234567, 12345678, 123456789, 1234567891, 12345678910, 123456789101, 1234567891011, 12345678910111, 123456789101112, 1234567891011121, … (Folge A252043 in OEIS)
  • Die ersten Champernowne-Primzahlen sind die folgenden:
1234567891, 12345678910111, 123456789101112131415161, … (Folge A176942 in OEIS)
  • Die Anzahl der Stellen der ersten Champernowne-Primzahlen sind die folgenden:
10, 14, 24, 235, 2804, 4347, 37735, … (Folge A071620 in OEIS)
Die achte (noch nicht entdeckte) Champernowne-Primzahl wird mehr als 37800 Stellen haben.[3]

Faktorisierung von Smarandache-ZahlenBearbeiten

Die folgende Tabelle gibt die Primfaktoren der ersten 30 Smarandache-Zahlen an.

  Faktorisierung von  
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
  Faktorisierung von  
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   

VerallgemeinerungenBearbeiten

Weil es keine bekannten Smarandache-Primzahlen gibt, werden Verallgemeinerungen gesucht.

Wenn man   aufeinanderfolgende Zahlen hintereinander aufschreibt, aber nicht unbedingt mit  , sondern auch mit   oder   etc. beginnt, erhält man Primzahlen. Wie lautet die kleinste Primzahl, die so erzeugt werden kann, wenn man mit   beginnt? Die folgende Liste gibt Auskunft (wenn es keine bekannte Primzahl gibt, wird 0 angegeben):

0, 1, 1, 4, 1, 2, 1, 2, 179, 0, 1, 2, 1, 4, 5, 28, 1, 3590, 1, 4, 0, 0, 1, 0, 25, 122, 0, 46, 1, 0, 1, 0, 71, 4, 569, 2, 1, 20, 5, 0, 1, 2, 1, 8, 0, 0, 1, 0, 193, 2, 0, 0, 1, 0, 0, 2, 5, 4, 1, 0, 1, 2, 0, 4, 5, 938, 1, 2, 119, 58, 1, 116, 1, 0, 125, 346, 5, 2, 1, 2, 0, 0, 1, 0, 0, 32, … (Folge A244424 in OEIS)
Beispiel 1: An der 1. Stelle der obigen Liste steht eine  .
Somit ist im Moment noch keine Primzahl bekannt, die mit   beginnt.
Beispiel 2: An der 15. Stelle der obigen Liste steht eine  .
Somit ist die Zahl   die kleinste Primzahl, die mit   beginnt und mit den darauffolgenden Zahlen weitergeht.
Beispiel 3: An der 18. Stelle der obigen Liste steht die Zahl  .
Somit ist die Zahl   die kleinste Primzahl, die mit   beginnt und mit den darauffolgenden Zahlen weitergeht. Sie endet, wie man sieht, mit der Zahl   und hat   Stellen.
Beispiel 4: An der 21. Stelle der obigen Liste steht eine  .
Somit ist im Moment noch keine Primzahl bekannt, die mit   beginnt.

Sei   die Zahl, die mit   beginnt, die Dezimalzahlen 1, 2, 3, …, k beinhaltet, aber bei der die n-te Zahl fehlt (zum Beispiel ist  ). Dann sind die kleinsten  , für die   eine Primzahl ist, die folgenden (wenn es keine bekannte Primzahl gibt, wird 0 angegeben):

2, 3, 7, 9, 11, 7, 11, 1873, 19, 14513, 13, 961, 0, 653, 0, 5109, 493, 757, 29, 1313, … (Folge A262300 in OEIS)
Beispiel 1: An der  . Stelle der obigen Liste steht eine  .
Somit ist die Zahl   die kleinste Primzahl, bei der die   fehlt, aber die sonst alle Zahlen von   weg beinhaltet.
Beispiel 2: An der  . Stelle der obigen Liste steht die Zahl  .
Somit ist die Zahl   die kleinste Primzahl, bei der die   fehlt, aber die sonst alle Zahlen von   weg beinhaltet.
Beispiel 3: An der  . Stelle der obigen Liste steht die Zahl  .
Somit ist keine Zahl der Form   bekannt, die prim ist.

Ungelöste ProblemeBearbeiten

Es wird vermutet, dass es unendlich viele Smarandache-Primzahlen gibt, es wurde aber noch keine einzige gefunden (Stand: Dezember 2016). Unter den ersten 344.869 Smarandache-Zahlen gibt es auf jeden Fall keine Smarandache-Primzahlen.[2]

EinzelnachweiseBearbeiten

WeblinksBearbeiten