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Funktionsgraph von li(x) im Bereich zwischen 0 und 10.

Der Integrallogarithmus ist eine analytische Funktion auf den reellen Zahlen (oder ) in die reellen Zahlen. Sie hat praktische Relevanz in einigen Gebieten der Physik wie der Quantenfeldtheorie und bei der Lösung der Laplace-Gleichung in Halbleitern sowie in der Zahlentheorie, da sie eng mit der Dichte der Primzahlen verknüpft ist.

Inhaltsverzeichnis

DefinitionBearbeiten

Es sind zwei Definitionen üblich, die sich um eine Konstante unterscheiden. Für eine der wichtigsten Anwendungen – als asymptotische Vergleichsgröße für die Primzahlfunktion im Primzahlsatz – spielt der Unterschied zwischen den beiden Definitionen keine Rolle.

Eine Definition im Bereich   lautet

 

dabei muss   wegen der Singularität bei   für   über einen Grenzwert definiert werden (cauchyscher Hauptwert):

 

Eine andere Definition für   ist

 

Bei   liegt keine Polstelle, sondern eine logarithmische Singularität vor.

EigenschaftenBearbeiten

 
Funktionsgraph von li(x) im Bereich zwischen 0 und 2 (umfasst 0, 1, µ und 2).

Einige Werte:

  •  
  •  
  •  
  •   (Folge A069284 in OEIS)

Dabei ist   (Folge A070769 in OEIS) die Ramanujan-Soldner-Konstante.

Es gilt   mit der Integralexponentialfunktion  , daraus erhält man die Reihendarstellung

 

wobei   (Folge A001620 in OEIS) die Euler-Mascheroni-Konstante ist.

Aus der Definition von   erhält man durch lineare Substitution

 

wobei für   wegen der Singularität bei   der cauchysche Hauptwert eingesetzt werden muss.
Ferner haben wir für  

 

Außerdem gilt für  

 

für   erhält man  
Im Grenzfall   ist  

Eine weitere Formel ist  

Die Golomb-Dickman-Konstante   (Folge A084945 in OEIS) tritt in der Theorie zufälliger Permutationen bei der Abschätzung der Länge des längsten Zykels einer Permutation und in der Zahlentheorie bei der Abschätzung der Größe des größten Primfaktors einer Zahl auf.

Asymptotisches VerhaltenBearbeiten

 
Funktionsgraph von li(x) im Bereich zwischen 1 und 1013.

Für große   lässt sich   durch

 

approximieren. Die Reihe ist eine asymptotische Entwicklung; sie konvergiert nicht, sondern nähert sich dem wahren Wert an, um sich dann wieder zu entfernen. Die beste Approximation wird nach etwa   Gliedern erreicht, dann werden die Summanden größer durch die stärker werdende Wirkung der Fakultät.

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

WeblinksBearbeiten