Primzahllücke

Differenz zwischen zwei aufeinanderfolgenden Primzahlen

Als Primzahllücke bezeichnet man die Differenz bzw. den Abstand zweier aufeinanderfolgender Primzahlen:

.

Die kleinste Primzahllücke und einzig ungerade Primzahllücke ist die zwischen den Primzahlen 2 und 3:

.

Alle anderen Primzahllücken sind gerade, da 2 die einzige gerade Primzahl ist und somit die Differenz zwischen zwei anderen aufeinanderfolgenden Primzahlen, die selbst ungerade sind, immer gerade ist.

Bemerkung 1

Einige (wenige) Autoren bezeichnen mit Primzahllücke abweichend hiervon die Anzahl zusammengesetzter Zahlen zwischen zwei Primzahlen, d. h. eins weniger als nach der hier verwendeten Definition.[1]

Bemerkung 2

Früher nannte man diese Größe Primzahlabstand. Als Primzahllücke bezeichnete man besonders große Abstände benachbarter Primzahlen. Einen Primzahlabstand von 2 gibt es zwischen Primzahlzwillingen, zwischen denen sich eine gerade Zahl befindet.

Auftreten von Primzahllücken

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  • Da eine Lücke der Länge 1 nur zwischen einer geraden und einer ungeraden Primzahl auftreten kann, kann es sie nur im Zusammenhang mit der Primzahl 2 geben und ist die zwischen 2 und 3.
  • Abgesehen von dieser Lücke zwischen 2 und 3 ist die Länge einer Primzahllücke immer gerade.
  • Ob es unendlich viele Primzahlzwillinge, d. h. Lücken der Länge 2 gibt, ist eines der großen ungelösten Probleme der Mathematik.
  • Da es unendlich viele Primzahlen gibt, bilden die Längen der Primzahllücken eine Folge mit den Anfangsgliedern:
1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, 6, 4, 2, 4, 6, 6, 2, 6, 4, 2, 6, 4, 6, 8, 4, 2, 4, 2, 4, 14, 4, 6, 2, 10, 2, 6, 6, 4, 6, 6, 2, 10, 2, 4, 2, 12, 12, 4, 2, 4, 6, 2, 10, 6, 6, 6, 2, 6, 4, 2 … (Folge A001223 in OEIS).

Aus der Definition von   folgt

  ,

wobei die 2 durch die kleinste Primzahl 2 entsteht.

Konstruktion beliebig großer Primzahllücken der Länge k

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Für jede beliebige natürliche Zahl   ist es trivial, die Existenz einer Primzahllücke mindestens der Länge   nachzuweisen. Sei nämlich   eine natürliche Zahl, die zu keiner der Zahlen   teilerfremd ist. Dann sind auch die Zahlen   nicht teilerfremd zu   und folglich keine Primzahlen. Die größte Primzahl vor dieser Folge ist also höchstens gleich  , die kleinste nach dieser Folge hingegen mindestens  , so dass die Länge dieser Primzahllücke mindestens   ist.

Für das Konstruieren eines   mit der geforderten Eigenschaft hat man verschiedene Möglichkeiten:

  • Am einfachsten wählt man die Fakultät, also  
  • Ebenso gut kann man das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen von 1 bis   wählen,  
  • Den kleinstmöglichen trivial konstruierbaren Kandidaten für   findet man durch die Primfakultät,  .
    Ist   die kleinste Primzahl größer als  , so gilt  , d. h. man hat sogar automatisch eine Lücke der Länge   gefunden.

Obwohl im letzten Fall   so klein wie möglich gewählt wurde, ist dennoch die gefundene Lücke für k ≥ 4 nicht die erste Lücke der geforderten Länge. Insofern leisten alle diese Verfahren zwar gleichwertig den Nachweis, dass beliebig große Lücken existieren, sind aber nicht zur Suche der ersten Lücke brauchbar.

Beispiel für k = 6

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Welche Lücken liefern die genannten Verfahren jeweils im Falle k = 6?

Die kleinste Lücke

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Die erste Lücke der Länge 6 tritt zwischen 23 und 29 auf.

Nutzung der Fakultät

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Die Lücke zwischen k! + 1 und k! + k + 1

Berechnung und Verifikation:
6! beträgt 720 (Produkt von 1, 2, 3, 4, 5 und 6), wir haben hiermit eine Primzahllücke der Länge (mindestens) 6 zwischen 721 und 727.

Da 720 durch 2 teilbar ist, ist es auch 720 + 2 = 722.
Da 720 durch 3 teilbar ist, ist es auch 720 + 3 = 723.
Da 720 durch 4 teilbar ist, ist es auch 720 + 4 = 724.
Da 720 durch 5 teilbar ist, ist es auch 720 + 5 = 725.
Da 720 durch 6 teilbar ist, ist es auch 720 + 6 = 726.

Man hat also eine Primzahllücke mindestens der Länge 6 zwischen den Primzahlkandidaten 721 und 727 gefunden.
Da zusätzlich auch 721 = 7 · 103 keine Primzahl ist, ist die Lücke sogar noch größer. In der Tat wird sie eingerahmt von den Primzahlen 719 und 727 und hat folglich die Länge 8.

Nutzung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen

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Die Lücke zwischen kgV(1, ..., k) + 1 und kgV(1, ..., k) + k + 1

Berechnung und Verifikation:
kgV(1, ..., 6) beträgt 60 (60 ist die kleinste Zahl, die durch 1, 2, 3, 4, 5 und 6 teilbar ist). Wir haben hiermit eine Primzahllücke der Länge (mindestens) 6 zwischen 61 und 67.

Da 60 durch 2 teilbar ist, ist es auch 60 + 2 = 62.
Da 60 durch 3 teilbar ist, ist es auch 60 + 3 = 63.
Da 60 durch 4 teilbar ist, ist es auch 60 + 4 = 64.
Da 60 durch 5 teilbar ist, ist es auch 60 + 5 = 65.
Da 60 durch 6 teilbar ist, ist es auch 60 + 6 = 66.

Hiermit haben wir eine Lücke der Länge mindestens 6 zwischen 61 und 67 gefunden.
Beides sind zufällig auch Primzahlen, daher hat die Lücke eine Länge von genau 6.

Nutzung der Primfakultät

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Die Lücke zwischen k# + 1 und k# + k + 1

Berechnung und Verifikation:
6# berechnet sich zu 2 · 3 · 5 = 30. Wir haben hiermit eine Primzahllücke der Länge (mindestens) 6 zwischen 31 und 37.

Da 30 durch 2 teilbar ist, ist es auch 30 + 2 = 32.
Da 30 durch 3 teilbar ist, ist es auch 30 + 3 = 33.
Da 30 und 4 durch 2 teilbar sind, ist es auch 30 + 4 = 34.
Da 30 durch 5 teilbar ist, ist es auch 30 + 5 = 35.
Da 30 und 6 durch 2 teilbar sind, ist es auch 30 + 6 = 36.

Hiermit haben wir eine Lücke der Länge mindestens 6 zwischen 31 und 37 gefunden.
Beides sind zufällig auch Primzahlen, daher hat die Lücke eine Länge von genau 6.

Wachstum der Funktionen

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Schon das ausgeführte Beispiel   zeigt, dass die Fakultät die bei weitem am raschesten wachsende unter den betrachteten Funktionen ist. Für   ist der Größenunterschied zwischen  ,   und   noch deutlicher. Dagegen tritt bereits zwischen 113 und 127 eine Lücke der Länge 14 auf, so dass also selbst die Konstruktion durch   zwar Lücken der Mindestlänge k findet, solch eine Lücke aber schon bei weitaus kleineren Zahlen auftritt.

Für z. B. k = 72 kann man sehen, das alle drei Verfahren sehr ineffizient sind und es wesentlich kleinere Primzahlen gibt, zwischen denen es k−1 zusammengesetzte Zahlen gibt:

  • Die erste Lücke dieser Größe befindet sich zwischen 31.397 und 31.469.
    Das ist die kleinste Lösung.
  • Die Konstruktion mittels Primfakultät liefert
    557.940.830.126.698.960.967.415.391  und  557.940.830.126.698.960.967.415.363.
  • Die Konstruktion mittels kleinstem gemeinsamen Vielfachen liefert
    5.624.043.567.677.125.526.551.547.131.201  und  5.624.043.567.677.125.526.551.547.131.273.
  • Die Konstruktion mittels Fakultät liefert
    61.234.458.376.886.086.861.524.070.385.274.672.740.778.091.784.697.328.983.823.014.963.978.384.987.221.689.274.204.160.000.000.000.000.001  und  61.234.458.376.886.086.861.524.070.385.274.672.740.778.091.784.697.328.983.823.014.963.978.384.987.221.689.274.204.160.000.000.000.000.073.

Dieses Beispiel (k = 72) ist in der folgenden Tabelle blau, das Beispiel aus dem vorherigen Absatz (k = 6) ist rot gefärbt.

Kenngrößen einer Primzahllücke

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Merit einer Primzahllücke

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Gibt an, um wie viel die Primzahllücke größer als der durchschnittliche Abstand zweier Primzahlen ist. Bekannte Maximalwerte liegen knapp unter  .

Cramér–Shanks–Granville-Verhältnis einer Primzahllücke

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Bestimmt wird diese Größe für Primzahlen pn ≥ 23.

Größter bekannter Wert für dieses Verhältnis ist 0,9206385885... für die Primzahl 1693182318746371.

# gn Verhältnis pn
1 6 0,61029... 23
2 14 0,62644... 113
3 34 0,65756... 1327
4 72 0,67154... 31397
5 112 0,68125... 370261
6 148 0,70256... 2010733
7 210 0,73946... 20831323
8 456 0,79534... 25056082087
9 652 0,79753... 2614941710599
10 766 0,81776... 19581334192423
11 906 0,83112... 218209405436543
12 1132 0,92063... 1693182318746371

Tabellen von Primzahllücken

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Formelzeichen:

  • pn:  n. Primzahl
  • gn:  Abstand zwischen n. und (n+1). Primzahl
  • k:  max. Primzahlabstand
Jeweils größten Primzahllücken bis k = 0100
Abstand
 
Primzahl Konstruktion mittels ( =kleinste)
untere obere Primfakultät   Kleinstes gemeinsames Vielfaches   Fakultät  
1 2 3   2   2   2
2 3 5   3   3   3
4 7 11   7 13 25
6 23 29 31 61 721
8 89 97 211 841 40.321
14 113 127 30.031 360.361 87.178.291.201
18 523 541 510.511 12.252.241 6.402.373.705.728.001
20 887 907 9.699.691 232.792.561 ≈ 2,4329 · 10180
22 1129 1151 9.699.691 232.792.561 ≈ 1,1240 · 10210
34 1327 1361 200.560.490.131 144.403.552.893.601 ≈ 2,9523 · 10380
36 9551 9587 200.560.490.131 144.403.552.893.601 ≈ 3,7199 · 10410
44 15683 15727 13.082.761.331.670.031 9.419.588.158.802.421.601 ≈ 2,6583 · 10540
52 19609 19661 614.889.782.588.491.411 3.099.044.504.245.996.706.401 ≈ 8,0658 · 10670
72 31397 31469 557.940.830.126.698.960.967.415.391 5.624.043.567.677.125.526.551.547.131.201 ≈ 6,1234 · 10103
86 155921 156007 267.064.515.689.275.851.355.624.017.992.791 8.076.030.954.443.701.744.994.070.304.101.969.601 ≈ 2,4227 · 10130
96 360653 360749 23.768.741.896.345.550.770.650.537.601.358.311 718.766.754.945.489.455.304.472.257.065.075.294.401 ≈ 9,9168 · 10149
Quelle: selbst ausgerechnet
Jeweils größten Primzahllücken bis k = 0674
Abstand
 
Primzahl Konstruktion
mittels  
untere obere
1 2 3 2
2 3 5 3
4 7 11 25
6 23 29 721
8 89 97 40.321
14 113 127 8,7178 · 101000
18 523 541 6,4024 · 101500
20 887 907 2,4329 · 101800
22 1129 1151 1,1240 · 102100
34 1327 1361 2,9523 · 103800
36 9551 9587 3,.7199 · 104100
44 15683 15727 2,6583 · 105400
52 19609 19661 8,0658 · 106700
72 31397 31469 6,1234 · 101030
86 155921 156007 2,4227 · 101300
96 360653 360749 9,9168 · 101490
112 370261 370373 1,9745 · 101820
114 492113 492227 2,5436 · 101860
118 1349533 1349651 4,6845 · 101940
132 1357201 1357333 1,1182 · 102240
148 2010733 2010881 2,5563 · 102580
154 4652353 4652507 3,0898 · 102710
180 17051707 17051887 2,0090 · 103290
210 20831323 20831533 1,0582 · 103980
220 47326693 47326913 2,2839 · 104210
222 122164747 122164969 1,1205 · 104260
234 189695659 189695893 2,2670 · 104540
248 191912783 191913031 5,1933 · 104870
250 387096133 387096383 3,2329 · 104920
282 436273009 436273291 1,3291 · 105700
288 1294268491 1294268779 7,1968 · 105840
292 1453168141 1453168433 5,1252 · 105940
320 2300942549 2300942869 2,1161 · 106640
336 3842610773 3842611109 3,8852 · 107040
354 4302407359 4302407713 1,9081 · 107500
382 10726904659 10726905041 1,3738 · 108220
384 20678048297 20678048681 2,0205 · 108270
394 22367084959 22367085353 1,6234 · 108530
456 25056082087 25056082543 1,.5078 · 101016
464 42652618343 42652618807 3,.0488 · 101037
468 127976334671 127976335139 1,4439 · 101048
474 182226896239 182226896713 1,5864 · 101064
486 241160624143 241160624629 2,4021 · 101096
490 297501075799 297501076289 1,3679 · 101107
500 303371455241 303371455741 1,2201 · 101134
514 304599508537 304599509051 9,1690 · 101171
516 416608695821 416608696337 2,4366 · 101177
532 461690510011 461690510543 7,9889 · 101220
534 614487453523 614487454057 2,2736 · 101226
540 738832927927 738832928467 5,4823 · 101242
582 1346294310749 1346294311331
588 1408695493609 1408695494197
602 1968188556461 1968188557063
652 2614941710599 2614941711251
674 7177162611713 7177162612387 4,1282 · 101615
Quelle: selbst ausgerechnet
Jeweils größten Primzahllücken bis k = 1550
# gn pn n # gn pn n
1 1 2 1 41 468 127976334671 5217031687
2 2 3 2 42 474 182226896239 7322882472
3 4 7 4 43 486 241160624143 9583057667
4 6 23 9 44 490 297501075799 11723859927
5 8 89 24 45 500 303371455241 11945986786
6 14 113 30 46 514 304599508537 11992433550
7 18 523 99 47 516 416608695821 16202238656
8 20 887 154 48 532 461690510011 17883926781
9 22 1129 189 49 534 614487453523 23541455083
10 34 1327 217 50 540 738832927927 28106444830
11 36 9551 1183 51 582 1346294310749 50070452577
12 44 15683 1831 52 588 1408695493609 52302956123
13 52 19609 2225 53 602 1968188556461 72178455400
14 72 31397 3385 54 652 2614941710599 94906079600
15 86 155921 14357 55 674 7177162611713 251265078335
16 96 360653 30802 56 716 13829048559701 473258870471
17 112 370261 31545 57 766 19581334192423 662221289043
18 114 492113 40933 58 778 42842283925351 1411461642343
19 118 1349533 103520 59 804 90874329411493 2921439731020
20 132 1357201 104071 60 806 171231342420521 5394763455325
21 148 2010733 149689 61 906 218209405436543 6822667965940
22 154 4652353 325852 62 916 1189459969825483 35315870460455
23 180 17051707 1094421 63 924 1686994940955803 49573167413483
24 210 20831323 1319945 64 1132 1693182318746371 49749629143526
25 220 47326693 2850174 65 1184 43841547845541059 1175661926421598
26 222 122164747 6957876 66 1198 55350776431903243 1475067052906945
27 234 189695659 10539432 67 1220 80873624627234849 2133658100875638
28 248 191912783 10655462 68 1224 203986478517455989 5253374014230870
29 250 387096133 20684332 69 1248 218034721194214273 5605544222945291
30 282 436273009 23163298 70 1272 305405826521087869 7784313111002702
31 288 1294268491 64955634 71 1328 352521223451364323 8952449214971382
32 292 1453168141 72507380 72 1356 401429925999153707 10160960128667332
33 320 2300942549 112228683 73 1370 418032645936712127 10570355884548334
34 336 3842610773 182837804 74 1442 804212830686677669 20004097201301079
35 354 4302407359 203615628 75 1476 1425172824437699411 34952141021660495
36 382 10726904659 486570087 76 1488 5733241593241196731 135962332505694894
37 384 20678048297 910774004 77 1510 6787988999657777797 160332893561542066
38 394 22367084959 981765347 78 1526 15570628755536096243 360701908268316580
39 456 25056082087 1094330259 79 1530 17678654157568189057 408333670434942092
40 464 42652618343 1820471368 80 1550 18361375334787046697 423731791997205041
Quelle: Englische Wikipedia-Seite, Berechnung bis 264
Weitere sehr große Primzahllücken
Merit gn Stellen pn Datum Entdecker
41,938784 08350 0087 29 37032 34068 02259 01587 23766 ⁞
10441 94634 25709 07557 48117 62098 ⁞
58879 82178 95728 85867 67281 43227 ⁞
2017 Gapcoin
39,620154 15900 0175 3483347771 × 409#/0030 − 7016 2017 Dana Jacobsen
38,066960 18306 0209 0650094367 × 491#/2310 − 8936 2017 Dana Jacobsen
38,047893 35308 0404 0100054841 × 953#/0210 − 9670 2020 Seth Troisi
37,824126 08382 0097 0512950801 × 229#/5610 − 4138 2018 Dana Jacobsen
Quelle: Englische Wikipedia-Seite

Obere Schranken

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Joseph Bertrand zeigte folgende natürliche Begrenzung einer Primzahllücke: Für jedes   gilt: zwischen   und   liegt wenigstens eine Primzahl. Daraus folgt, dass eine Primzahllücke, begonnen bei  , nicht größer sein kann als   selbst.

Aus dem Primzahlsatz folgt, dass die Lücken für große   im Mittel logarithmisch mit   wachsen. Außerdem folgt aus dem Primzahlsatz: Für jedes   gibt es eine Zahl  , so dass

 .

für alle   und

 

Guido Hoheisel zeigte 1930[2], dass es eine Konstante   gibt, so dass:

 

und damit

 

für genügend große  . Der Wert von   konnte nach Hoheisel nahe 1 gewählt werden und wurde im Lauf der Zeit mehrfach verbessert:

2005 bewiesen Daniel Goldston, János Pintz und Cem Yıldırım, dass

 

was sie 2007 auf

 

verbesserten. 2014 zeigte Yitang Zhang[5], dass

 

und dass es somit unendlich viele Primzahllücken gibt, die kleiner als 70 Millionen sind. Das konnte von James Maynard auf 600 gedrückt werden und vom Polymath-Projekt auf 246.

Untere Schranken

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1931 zeigte der Finne Erik Westzynthius (1901–1980), dass die maximale Primzahllücke mehr als logarithmisch wächst:

 

1938 zeigte Robert Alexander Rankin, dass es eine Konstante   gibt, so dass

 

für unendliche viele Werte von   erfüllt ist. Außerdem zeigte er, dass man dafür jede Konstante   (mit   der Euler-Mascheroni-Konstante) nehmen kann. János Pintz verbesserte das 1997 auf  . Paul Erdös vermutete, dass die Konstante   beliebig groß sein kann und lobte für den Beweis einen Preis von 10.000 Dollar aus. 2014 bewiesen unabhängig voneinander James Maynard einerseits und Terence Tao und Kollegen andererseits die Vermutung und außerdem, dass

 

für unendlich viele Werte von  .[6][7]

Vermutungen

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Unter Annahme der Riemannschen Vermutung zeigte Harald Cramér 1936, dass

 

mit Verwendung der Landau-Symbole. Cramér vermutete, dass

 

Nach einer Vermutung des Dänen Ludvig Oppermann (1817–1883) ist

 

Aus der Vermutung von Andrica (eine Verschärfung der Vermutung von Legendre) folgt, dass

 

Die Vermutung von Polignac besagt, dass jede gerade Zahl   unendlich oft als Primzahllücke auftaucht, für   ist das die Primzahlzwillingsvermutung. Nach Zhang Yitang ist sie für ein   richtig.

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Wikibooks: Primzahlen: Primzahllücken – Lern- und Lehrmaterialien

Einzelnachweise

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  1. Ich habe weder auf Papier noch im Internet solche Autoren gefunden, allerdings kann es nicht schaden, auf diesen möglichen Unterschied in der Definition hinzuweisen.
  2. Hoheisel, Primzahlprobleme in der Analysis, Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften, Band 33, 1930, S. 3–11
  3. Huxley, On the difference between consecutive primes, Inv. Math., Band 15, 1972, S. 164–170
  4. R. C. Baker, G. Harman, J. Pintz, The difference between consecutive primes, II, Proceedings of the London Mathematical Society, Band 83, 2001, S. 532–562
  5. Zhang, Buondes gaps between primes, Annals of Mathematics, Band 179, 2014, S. 1121–1174
  6. James Maynard, Large gaps between primes, Annals of Mathematics, Band 183, 2016, S. 915–922
  7. Kevin Ford, Ben Green, Sergei Konyagin, Terence Tao, Large gaps between consecutive prime numbers, Ann. of Math., Band 183, 2016, S. 935–974