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Cayleygraph

Begriff aus der Mathematik, beschreibender Graph für die Struktur einer Gruppe
(Weitergeleitet von Cayley-Graph)
Der Cayleygraph der freien Gruppe mit zwei Erzeugern a und b

In der Mathematik ist ein Cayleygraph ein Graph, der die Struktur einer (meist endlich erzeugten) Gruppe beschreibt. Er hängt von einer gegebenen, normalerweise endlichen, Menge von Erzeugern der Gruppe ab.

Arthur Cayley hat 1878 als Erster Graphen benutzt, um Gruppen bildlich darzustellen; ein Ansatz, der von Max Dehn (1911), Otto Schreier (1927) und anderen weiterentwickelt wurde. Wegen Dehns großer Beiträge wurden Cayleygraphen manchmal auch (Dehnsche) Gruppenbilder genannt.[1] Heute sind Cayleygraphen ein zentrales Werkzeug der geometrischen Gruppentheorie.

DefinitionBearbeiten

Sei   eine Gruppe und   ein Erzeugendensystem. Der Cayleygraph   ist ein gefärbter und gerichteter Graph, der wie folgt konstruiert wird:

  • Jedem Element   von   wird ein Knoten zugeordnet: Die Knotenmenge   von   wird mit   identifiziert.
  • Jedem Erzeuger   aus   wird eine Farbe   zugeordnet.
  • Für  ,  , werden die Knoten, die zu den Elementen   und   gehören, mit einer gerichteten Kante der Farbe   verbunden. Die Kantenmenge   besteht also aus Paaren der Form  , wobei   die Farbe bestimmt.

In der geometrischen Gruppentheorie wird meistens angenommen, dass die Menge   endlich und symmetrisch sei, das heißt  , und das Neutralelement der Gruppe nicht enthalte. In diesem Fall ist der Cayleygraph, abgesehen von der Färbung, ein gewöhnlicher Graph: Seine Kanten sind nicht orientiert, und er enthält keine Schleifen.

BeispieleBearbeiten

  • Sei   die unendliche zyklische Gruppe und die Menge   bestehe aus dem Standarderzeuger 1 und seinem Inversen (−1 in additiver Notation). Der zugehörige Cayleygraph ist dann eine unendliche Kette.
  • Das Bild ist ähnlich, wenn   die endliche zyklische Gruppe von Ordnung   ist und   wieder aus zwei Elementen besteht, dem Standarderzeuger 1 von   und seinem Inversen; dann ist der Cayleygraph der n-Zykel  .
  • Der Cayleygraph des direkten Produkts von Gruppen ist das kartesische Produkt der jeweiligen Cayleygraphen. Der Cayleygraph der freien abelschen Gruppe   mit einer Erzeugendenmenge, die aus den vier Elementen   besteht, ist ein unendliches Gitter in der Ebene  , während der Cayleygraph für das direkte Produkt   mit analogen Erzeugern ein endliches  -Gitter auf dem Torus bildet.
 
Ein Cayleygraph der Diedergruppe D4
 
Anderer Cayleygraph von D4
  • Der Cayleygraph der Diedergruppe D4 mit zwei Erzeugern   (90°-Drehung im Uhrzeigersinn) und   (Horizontalspiegelung) ist links dargestellt. Da   sein eigenes Inverses ist, sind die blauen Kanten, die für das Ausführen von   stehen, ungerichtet gezeichnet. Diese Wahl von   und   entspricht der Präsentierung
 
  • Die Relationen der Gruppe zu dieser Wahl von Erzeugern finden sich im Cayleygraph als Zyklen wieder, zum Beispiel liefert   einen geschlossenen Weg im Graphen, ebenfalls  .
  • Der Cayleygraph der freien Gruppe mit zwei Erzeugern   und   und der Menge   ist oben im Artikel dargestellt, wobei   das Neutralelement bezeichnet. Auf einer Kante nach rechts zu gehen entspricht der Rechtsmultiplikation mit  , während nach oben zu gehen Multiplikation mit   darstellt. Da die freie Gruppe keine Relationen besitzt, enthält dieser Graph keine Zyklen.

CharakterisierungBearbeiten

Die Frage, welche Graphen als Cayleygraphen einer Gruppe   auftreten können, lässt sich wie folgt beantworten: Die Gruppe   wirkt durch Linksmultiplikation auf sich selbst (siehe auch Satz von Cayley). Diese Wirkung liefert auch eine Wirkung von   auf seinem Cayleygraphen. Konkret schickt ein Element   einen Knoten   auf den Knoten  . Die Kantenmenge des Graphen wird durch diese Wirkung respektiert, denn eine Kante   wird auf die Kante   abgebildet. Die Wirkung der Linksmultiplikation irgendeiner Gruppe auf sich selbst ist einfach transitiv. Dementsprechend ist ein Cayleygraph knotentransitiv. Dies führt zu der folgenden Charakterisierung von Cayleygraphen:

Ein Graph   ist ein Cayleygraph einer Gruppe   genau dann, wenn er eine auf den Knoten einfach transitive Wirkung von   durch Automorphismen des Graphen (also die Kantenmenge respektierende Abbildungen) zulässt.

Um die Färbung des Graphen durch die Gruppe   und die Erzeugermenge   zu rekonstruieren, wählt man einen Knoten   aus und beschriftet ihn mit dem Neutralelement der Gruppe. Jeder Knoten   von   wird dann mit dem eindeutigen Element   von   bezeichnet, das   nach   abbildet. Die Menge   von Erzeugern von  , die   als Cayleygraphen liefert, ist dann die Menge der Beschriftungen der Knoten, die zum ausgewählten Knoten   adjazent sind. Die Erzeugermenge ist genau dann endlich, wenn der Graph lokal endlich ist, also jeder Knoten zu endlich vielen Kanten adjazent ist.

Es ist allerdings nicht wahr, dass jeder knotentransitive Graph als Cayleygraph auftritt, und auch sonst beantwortet die obige Aussage natürlich nicht alle Fragen zur Struktur von Cayleygraphen. Beispielsweise ist die Vermutung, dass jeder endliche Cayleygraph einen Hamiltonkreis enthält, bekannt als Lovász-Vermutung, unbewiesen.

Einfache EigenschaftenBearbeiten

Der Cayleygraph Γ(G,S) hängt wesentlich von der Wahl der Erzeugermenge S ab. Wenn S zum Beispiel k Elemente hat, so besitzt jeder Knoten von Γ k eingehende und k ausgehende Kanten. Ist S symmetrisch gewählt, so ist Γ ein regulärer Graph von Grad k.

Zyklen, das heißt geschlossene Wege, im Cayleygraphen stellen Relationen (siehe Präsentierung einer Gruppe) zwischen den Elementen von S dar.

Wenn   ein surjektiver Gruppenhomomorphismus ist, der auf der Erzeugermenge S’ von G’ injektiv ist, dann induziert f eine Überlagerung von Graphen

  wobei S = f(S’).

Insbesondere ist dies der Fall, wenn eine Gruppe G von k Elementen erzeugt wird, alle von Ordnung ungleich 2, und die Menge S aus diesen Erzeugern und ihren Inversen besteht. Dann wird der Cayleygraph Γ(G,S) vom unendlichen regulären Baum von Grad 2k überlagert, der zur freien Gruppe über denselben Erzeugern gehört. Ein solcher Baum ist dann eine universelle Überlagerung des Cayleygraphen und heißt auch Cayleybaum oder Bethe-Gitter.

Auch wenn die Menge S die Gruppe G nicht erzeugt, kann ein Graph Γ(G,S) konstruiert werden. Allerdings wird er nicht zusammenhängend sein und wird nicht als Cayleygraph betrachtet. In diesem Fall entspricht jede Zusammenhangskomponente einer Nebenklasse der Untergruppe, die von S erzeugt wird.

Anwendungen in der GruppentheorieBearbeiten

Durch das Studium des Cayleygraphen können Einsichten über die Struktur der Gruppe gewonnen werden. Unter anderem ist es interessant, die Adjazenzmatrix zu untersuchen, insbesondere mit den Mitteln der Spektraltheorie von Graphen, die geometrische Aussagen, die aus dem Spektrum von linearen Operatoren gewonnen werden, in einen diskreten Kontext überträgt.

Geometrische GruppentheorieBearbeiten

Für unendliche Gruppen ist die grobe Geometrie (coarse geometry) des Cayleygraphen, oder seine Äquivalenzklasse bis auf Quasi-Isometrie, fundamental für das Gebiet der geometrischen Gruppentheorie. Für eine endlich erzeugte Gruppe ist sie unabhängig von der Wahl einer endlichen Menge   von Erzeugern, also eine intrinsische Eigenschaft der Gruppe. Dies ist nur für unendliche Gruppen interessant, da alle endlichen Gruppen – für die   gewählt werden kann – quasiisometrisch zu einem Punkt sind.

Der Cayleygraph ist in diesem Zusammenhang ein metrisches Bild der Gruppe zusammen mit der Wortmetrik, die durch die Wahl der Erzeuger bestimmt wird.

WortmetrikBearbeiten

Die Wortmetrik auf dem Cayleygraphen ist gegeben durch die Festlegung, dass alle Kanten des Graphen Länge 1 haben sollen. Äquivalent kann man den Abstand zweier Gruppenelemente   definieren als die minimale Anzahl von Faktoren aus dem gegebenen Erzeugendensystem, in die sich   zerlegen lässt, also

 .

Die Wortmetrik hängt (ebenso wie der Cayleygraph selbst) vom Erzeugendensystem   ab. Für verschiedene endliche Erzeugendensysteme erhält man aber quasi-isometrische (sogar bilipschitz-äquivalente) Cayleygraphen. Alle bis auf Quasi-Isometrie bestimmten geometrischen Eigenschaften von Graphen entsprechen also Eigenschaften von Gruppen.

In der geometrischen Gruppentheorie versucht man, algebraische Eigenschaften von Gruppen in geometrische Eigenschaften des Cayleygraphen zu übersetzen. Ein spektakuläres Beispiel dafür ist Gromows Satz, dass eine Gruppe genau dann virtuell nilpotent ist, wenn ihr Cayleygraph polynomielles Volumenwachstum hat, d. h. das Volumen der Bälle vom Radius   durch ein Polynom in   nach oben begrenzt ist.

Wort-hyperbolische GruppenBearbeiten

Eine Gruppe heißt wort-hyperbolisch, wenn ihr Cayleygraph δ-hyperbolisch für ein   ist. Das bedeutet, dass in jedem geodätischen Dreieck jeder auf einer Kante liegende Punkt Abstand   von mindestens einer der beiden anderen Kanten hat. Diese Definition ist (bis auf den genauen Wert der Konstante  ) invariant unter Quasi-Isometrie und deshalb unabhängig vom gewählten Erzeugendensystem.

Beispiele wort-hyperbolischer Gruppen sind: endliche Gruppen, virtuell zyklische Gruppen, endlich erzeugte freie Gruppen, Fundamentalgruppen kompakter Flächen negativer Euler-Charakteristik und allgemein Fundamentalgruppen kompakter, negativ gekrümmter Mannigfaltigkeiten. In gewisser Weise sind zufällige Gruppen wort-hyperbolisch.[2]

Rand im UnendlichenBearbeiten

Der Cayleygraph hat einen Rand im Unendlichen, formal definiert als die Menge der Äquivalenzklassen geodätischer Strahlen, wobei 2 Strahlen genau dann äquivalent sind, wenn sie endlichen Abstand haben. Die Wirkung der Gruppe auf dem Rand im Unendlichen ist ein „chaotisches“ dynamisches System und kodiert viele Eigenschaften der Gruppe.

Beispiele: für freie Gruppen ist der Rand im Unendlichen eine Cantor-Menge, für Fundamentalgruppen kompakter negativ gekrümmter  -Mannigfaltigkeiten ist der Rand im Unendlichen eine  -Sphäre, für die „meisten“ wort-hyperbolischen Gruppen ist der Rand im Unendlichen aber ein Menger-Schwamm.

GeschichteBearbeiten

Cayley betrachtete die nach ihm benannten Graphen 1878 zunächst nur für endliche Gruppen.[3] In seinen unveröffentlichten Notizen zur Gruppentheorie aus den Jahren 1909–10 führte Max Dehn den Cayleygraphen unter dem Namen „Gruppenbild“ ein. Seine Hauptanwendung war die Lösung des Wortproblems für die Fundamentalgruppen der Flächen vom Geschlecht ≥ 2 mit geometrischen Methoden, die heute zur Theorie der hyperbolischen Gruppen gehören. (Das ist äquivalent zur Lösung des topologischen Problems, welche Kurven in der Fläche sich auf einen Punkt zusammenziehen lassen.) Diese Arbeit war der Beginn der heutigen geometrischen Gruppentheorie.[4]

Verwandte KonstruktionenBearbeiten

Aus einer Präsentierung einer diskreten Gruppe können mehrere den Cayleygraphen verwandte Objekte gebildet werden.

CayleykomplexeBearbeiten

Der Cayleykomplex ist eine dem Cayleygraphen sehr ähnliche Konstruktion. Er ist ein Zellkomplex, der den Cayleygraphen als 1-Skelett besitzt, in den aber zusätzlich 2-Zellen eingeklebt werden. Für die 2-Zellen wird neben der Gruppe   und der Erzeugendenmenge   auch eine Wahl von Relationen   benötigt, so dass   eine Präsentierung von   ist. Jede Relation in   liefert für jeden Knoten im Cayleygraphen einen Zykel, entlang dem jeweils eine 2-Zelle eingeklebt wird.

Der Cayleykomplex der Gruppe Z2 mit der Präsentierung   ist zum Beispiel eine Pflasterung der Ebene mit Einheitsquadraten, deren 1-Skelett der oben beschriebene Cayleygraph von Z2 ist.

SchreiergraphenBearbeiten

Wenn als Knoten anstelle von Elementen der Gruppe   Rechtsnebenklassen einer festen Untergruppe   gewählt werden, erhält man eine verwandte Konstruktion, den Schreiergraphen  , wobei   wieder eine Erzeugermenge von   ist. Ist   die triviale Untergruppe, so ist   einfach wieder der Cayleygraph  .

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Jonathan L. Gross, Thomas W. Tucker: Topological graph theory. Courier Dover Publications, 2001. ISBN 978-0-486-41741-7. S. 10–14. Digitalisathttp://vorlage_digitalisat.test/1%3Dhttp%3A%2F%2Fbooks.google.ch%2Fbooks%3Fid%3Dmrv9OJVdy_cC~GB%3D~IA%3D~MDZ%3D%0A~SZ%3D~doppelseitig%3D~LT%3D~PUR%3D
  2. Gromov, M. (2003). Random walk in random groups Geometric and Functional Analysis, 13 (1), 73-146
  3. Cayley, A. (1878). The theory of groups: Graphical representation. Amer. J. Math. 1, 174–176. In his Collected Mathematical Papers 10: 403–405.
  4. Dehn, M. (1987). Papers on Group Theory and Topology. New York: Springer-Verlag. Translated from the German and with introductions and an appendix by John Stillwell, and with an appendix by Otto Schreier.