Lemma von Nakayama

Satz aus der kommutativen Algebra

Das Lemma von Nakayama, benannt nach dem japanischen Mathematiker Tadashi Nakayama, ist der folgende Satz der kommutativen Algebra[1]:

Es sei ein endlich erzeugter nichttrivialer -Modul und ein Ideal, das im Jacobson-Radikal von liegt. Dann ist .

Wir nehmen   an. Es sei   ein minimales Erzeugendensystem von  . Da   nichttrivial ist, folgt   und  .

Da nach Annahme  , gäbe es dann eine Gleichung der Form   mit  , also  .

Da   im Jacobson-Radikal liegt, ist der Faktor   eine Einheit. Das Erzeugendensystem ist also nicht minimal und damit die Annahme widerlegt.

Folgerungen

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  • Ist   ein endlich erzeugter  -Modul,   ein Untermodul und   ein Ideal, so gilt
 .

Diese Folgerung, die zu obigem Lemma äquivalent ist und daher auch als Lemma von Nakayama bezeichnet wird[2], kann man zum Heben von Basen verwenden:

Sind dann   Urbilder einer Basis des  -Vektorraums  , so erzeugen die   den Modul  .

Einzelnachweise

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  1. Louis H. Rowen: Ring Theory. Band 1. Academic Press Inc., Boston u. a. 1988, ISBN 0-125-99841-4 (Pure and Applied Mathematics 127), Satz 2.5.24
  2. Ernst Kunz: Einführung in die kommutative Algebra und algebraische Geometrie. Vieweg, Braunschweig u. a. 1980, ISBN 3-528-07246-6, Lemma IV.2.2