Ein Fastring ist in der Mathematik die Verallgemeinerung der algebraischen Struktur eines Ringes, in der die Addition nicht mehr kommutativ sein muss und in der nur ein einseitiges Distributivgesetz gilt. Im Allgemeinen werden Fastringe verwendet, um algebraisch mit Funktionen auf Gruppen arbeiten zu können.

DefinitionenBearbeiten

FastringBearbeiten

Ein Rechtsfastring oder kurz Fastring ist eine algebraische Struktur   mit zwei zweistelligen Verknüpfungen Addition   und Multiplikation   für die gilt:

  1.   ist eine Gruppe.[1]
  2.   ist eine Halbgruppe.
  3. Das rechtsseitige Distributivgesetz ist gültig:   für alle  

  wird hingegen ein Linksfastring genannt, wenn an Stelle des rechtsseitigen Distributivgesetzes

  3.′   das linksseitige Distributivgesetz gültig ist:   für alle  

Erfüllt ein Fastring beide Distributivgesetze, so heißt er distributiver Fastring, ist also Rechts- und Linksfastring.

Man nennt einen Fastring  , bei dem die additive Gruppe   kommutativ ist, abelsch. Wenn jedoch die multiplikative Halbgruppe   kommutativ ist, dann bezeichnet man dagegen   als kommutativ. Kommutative Fastringe sind stets distributiv.

Produkte werden vereinfachend auch ohne das Multiplikationszeichen   für alle   geschrieben und zur Klammerersparnis binde wie üblich im Folgenden die Multiplikation stets stärker als die Addition.

Definiert man auf einem Fastring   eine zweistellige Verknüpfung Subtraktion   gemäß

  für alle  

so gilt auch für diese wegen

 
das rechtsseitige Distributivgesetz:   für alle  

Analog gilt für einen Linksfastring das entsprechende linksseitige Distributivgesetz der Subtraktion.

NullelementBearbeiten

Jeder Fastring   besitzt gemäß der Definition ein neutrales Element 0 bezüglich der Addition, d. h.

  für alle  

Dieses heißt das Nullelement oder kurz die Null des Rechts- bzw. Linksfastringes. Es ist bei einem (Rechts-)Fastring bezüglich der Multiplikation linksabsorbierend:

  für alle  

und bei einem Linksfastring rechtsabsorbierend, jedoch ist die Null im Allgemeinen nicht beidseitig absorbierend.

EinselementBearbeiten

Hat ein Fastring   auch ein neutrales Element 1 bezüglich der Multiplikation,

  für alle  

so nennt man dieses das Einselement oder kurz die Eins des Fastringes.

FastkörperBearbeiten

Bildet außerdem   eine Gruppe, dann heißt der Fastring   Fastkörper. Es lässt sich zeigen, dass die additive Gruppe dann abelsch ist.

HalbfastringBearbeiten

Jeder Fastring lässt sich noch zu einem Halbfastring   verallgemeinern, in dem in der Definition des Fastringes an Stelle der Gruppeneigenschaft der Addition nur noch gefordert wird:

      1.′     ist eine Halbgruppe.

BeispieleBearbeiten

  • Typische Beispiele für Fastringe sind Mengen von Selbstabbildungen auf Gruppen. Sei etwa   eine Gruppe und   bezeichne die Menge aller Funktionen  , dann überträgt sich die Gruppenstruktur auf   durch
  für alle  
Außerdem bildet   mittels der Komposition   ein Monoid, so dass dann   ein Fastring mit Eins   ist, da das rechtsseitige Distributivgesetz automatisch erfüllt ist:
  für alle  
  • Ist   eine Gruppe und   eine Untergruppe der Automorphismengruppe von  , die scharf-transitiv auf   operiert, d. h. für zwei Elemente   gibt es genau ein   mit  , dann kann man wie folgt eine Operation   auf   definieren: Man wählt ein festes Element  . Sind  , so gibt es eindeutig bestimmte Elemente   mit   und  . Man definiert dann  , ferner setzt man   für alle  . Dann ist   ein Fastkörper, dessen multiplikative Gruppe isomorph zu   ist. Das rechtsseitige Distributivitätsgesetz ist wegen   für alle   erfüllt. Ist  , so enthält die Automorphismengruppe von   eine Untergruppe, die isomorph zur Quaternionengruppe der Ordnung 8 ist. Diese Gruppe operiert scharf-transitiv auf  . So erhält man ein minimales Beispiel für einen Fastkörper, der kein Körper ist.

EigenschaftenBearbeiten

  • Jeder Fastring   hat einen 0-symmetrischen Teil   und einen konstanten Teil   so dass   gilt.

Siehe auchBearbeiten

AnmerkungenBearbeiten

  1.   muss nicht kommutativ sein!

LiteraturBearbeiten

  • James R. Clay: Nearrings. Geneses and applications. Oxford University Press, Oxford 1992, ISBN 0-19-853398-5.
  • John D. P. Meldrum: Near-rings and their links with groups. Pitman, Boston 1985, ISBN 0-273-08701-0.
  • Günter Pilz: Near-Rings. North-Holland, Amsterdam–New York–Oxford 1977, ISBN 0-7204-0566-1 (Rev. ed. 1983).
  • Heinz Wähling: Theorie der Fastkörper. Thales Verlag, 1987.