Potenz-assoziative Algebra

Eine potenz-assoziative Algebra ist eine Algebra, in welcher die Potenzen eines Elements unabhängig von der Beklammerungsreihenfolge definiert werden können.

DefinitionenBearbeiten

Für ein Magma   und jedes   definiere man

  sowie   für jedes  .

Die Verknüpfung   eines Magmas   heißt potenz-assoziativ für ein Element  , wenn für alle positiven natürlichen Zahlen   gilt

 

Ein Magma   nennt man potenz-assoziatives Magma, wenn dessen Verknüpfung   potenz-assoziativ ist für jedes  .

Die Algebra   heißt potenz-assoziativ (potenz-assoziative Algebra), wenn ihre Multiplikation   potenz-assoziativ ist, also   ein potenz-assoziatives Magma ist.

BeispieleBearbeiten

Potenz-assoziative MagmenBearbeiten

  • Jede Halbgruppe ist auch immer ein potenz-assoziatives Magma.
  • Für jedes idempotente Element eines Magmas gilt die Potenz-Assoziativität:  .
    Entsprechend ist jedes idempotente Magma ein potenz-assoziatives Magma
  • Jede alternative und flexible Verknüpfung, die die Moufang-Identitäten erfüllt, ist auch potenz-assoziativ.
    Beweis (per vollständiger Induktion):
    • Induktionsanfang  :  
    • Induktionsanfang  :  
    • Induktionsschritt   für  :
       
       
       
       
       
(1) Definition  
(2) (Links-)Alternativität von  
(3) Flexibilität (und der daraus folgenden  -Potenz-Assoziativität, siehe unten) von  
(4) Moufang-Identität für  
(5) Induktionsvoraussetzung
  • Für die Multiplikation einer Algebra reicht hierfür bereits die Alternativität aus, siehe unten!
  • Für Spezialfälle reichen weniger Voraussetzungen aus. So folgt   bereist aus der Alternativität:
     
    1: Definition  
    2: Linksalternativität
    3: Rechtsalternativität

Potenz-assoziative AlgebrenBearbeiten

  • Alle assoziativen Algebren sind potenz-assoziativ.
  • Alle  -Algebren  , in denen es zu jedem   ein   gibt mit  , sind potenz-assoziativ.
    • Hierzu gehört beispielsweise  , ausgestattet mit dem Kreuzprodukt, da   für alle  .
  • Die Algebra der Sedenionen ist ebenfalls eine potenz-assoziative Algebra.

Weitere Abschwächungen der Potenz-AssoziativitätBearbeiten

Die Verknüpfung   eines Magmas   heißt  -potenz-assoziativ für ein Element  , wenn für die positive natürliche Zahl   gilt:

 

Ein Magma, dessen Verknüpfung  -potenz-assoziativ ist, kann man somit auch als ein  -potenz-assoziatives Magma bezeichnen.

Ein potenz-assoziatives Magma ist auch immer ein  -potenz-assoziatives Magma, denn es gilt:

 
1: Definition  
2: Potenz-Assoziativität von  

Ein flexibles Magma (und erst recht jede Halbgruppe) ist auch immer ein  -potenz-assoziatives Magma, denn es gilt (per vollständiger Induktion):

  • Induktionsanfang   (nur mit Definition  ):  
  • Induktionsschritt  :  
1: Definition  
2: Flexibilität von  
3: Induktionsvoraussetzung

Die Verknüpfung   eines Magmas   heißt idemassoziativ (in Anlehnung an idempotent) für ein Element  , wenn gilt

 .

Ein Magma, dessen Verknüpfung idemassoziativ ist, kann man somit auch als ein idemassoziatives Magma bezeichnen.

Ein  -potenz-assoziatives Magma ist auch immer ein idemassoziatives Magma (mit  ).

BeispieleBearbeiten

1. Das Magma mit der folgenden Verknüpfungstafel ist idemassoziativ, aber weder  -potenz-assoziativ (und somit auch nicht potenz-assoziativ) noch flexibel noch alternativ:

  0 1 2
0 2 1 2
1 2 2 0
2 2 0 0
  • nicht linksalternativ wegen  
  • nicht rechtsalternativ wegen  
  • nicht flexibel wegen  
  • nicht potenz-assoziativ wegen  
  • nicht  -potenz-assoziativ für   wegen  
  • idemassoziativ wegen
    •  
    •  
    •  

2. Das Magma mit der folgenden Verknüpfungstafel ist potenz-assoziativ (und somit auch  -potenz-assoziativ und idemassoziativ), aber weder flexibel noch alternativ:

  0 1 2
0 0 0 0
1 0 0 2
2 0 0 2
  • nicht alternativ wegen  
  • nicht flexibel wegen  
  • potenz-assoziativ wegen
    •  
    •  
    •  

3. Das Potenzieren ist nicht idemassoziativ (und somit auch weder  -potenz-assoziativ noch potenz-assoziativ), denn es gilt zum Beispiel:  .

LiteraturBearbeiten