Eine potenz-assoziative Algebra ist eine Algebra , in welcher die Potenzen eines Elements unabhängig von der Beklammerungsreihenfolge definiert werden können.
Für ein Magma
M
=
(
M
,
∘
)
{\displaystyle {\mathcal {M}}=(M,\circ )}
a
∈
M
{\displaystyle a\in M}
a
1
:=
a
{\displaystyle a^{1}:=a}
a
k
+
1
:=
a
∘
a
k
{\displaystyle a^{k+1}:=a\circ a^{k}}
k
∈
N
{\displaystyle k\in \mathbb {N} }
Die Verknüpfung
∘
{\displaystyle \circ }
(
M
,
∘
)
{\displaystyle (M,\circ )}
potenz-assoziativ für ein Element
a
∈
M
{\displaystyle a\in M}
i
,
j
∈
N
∗
{\displaystyle i,j\in \mathbb {N} ^{*}}
a
i
+
j
=
a
i
∘
a
j
{\displaystyle a^{i+j}=a^{i}\circ a^{j}}
Ein Magma
M
=
(
M
,
∘
)
{\displaystyle {\mathcal {M}}=(M,\circ )}
potenz-assoziatives Magma , wenn dessen Verknüpfung
∘
{\displaystyle \circ }
a
∈
M
{\displaystyle a\in M}
Die Algebra
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
potenz-assoziative Algebra ), wenn ihre Multiplikation
⋅
{\displaystyle \cdot }
(
A
,
⋅
)
{\displaystyle ({\mathcal {A}},\cdot )}
Jede Halbgruppe ist auch immer ein potenz-assoziatives Magma.
Für jedes idempotente Element eines Magmas gilt die Potenz-Assoziativität:
a
i
+
j
=
a
=
a
∘
a
=
a
i
∘
a
j
{\displaystyle a^{i+j}=a=a\circ a=a^{i}\circ a^{j}}
Jede alternative und flexible Verknüpfung, die die Moufang-Identitäten erfüllt, ist auch potenz-assoziativ.vollständiger Induktion ):
Induktionsanfang
i
=
1
{\displaystyle i=1}
a
1
∘
a
j
=
(
1
)
a
∘
a
j
=
(
1
)
a
j
+
1
=
a
1
+
j
{\displaystyle a^{1}\circ a^{j}{\overset {(1)}{=}}a\circ a^{j}{\overset {(1)}{=}}a^{j+1}=a^{1+j}}
Induktionsanfang
i
=
2
{\displaystyle i=2}
a
2
∘
a
j
=
(
1
)
(
a
∘
a
)
∘
a
j
=
(
2
)
a
∘
(
a
∘
a
j
)
=
(
1
)
a
∘
a
1
+
j
=
(
1
)
a
2
+
j
{\displaystyle a^{2}\circ a^{j}{\overset {(1)}{=}}(a\circ a)\circ a^{j}{\overset {(2)}{=}}a\circ (a\circ a^{j}){\overset {(1)}{=}}a\circ a^{1+j}{\overset {(1)}{=}}a^{2+j}}
Induktionsschritt
i
⟶
i
+
1
{\displaystyle i\longrightarrow i+1}
i
≥
2
{\displaystyle i\geq 2}
a
i
+
1
∘
a
j
=
(
1
)
(
a
∘
a
i
)
∘
a
j
=
(
1
)
(
a
∘
(
a
∘
a
i
−
1
)
)
∘
a
j
{\displaystyle a^{i+1}\circ a^{j}{\overset {(1)}{=}}(a\circ a^{i})\circ a^{j}{\overset {(1)}{=}}(a\circ (a\circ a^{i-1}))\circ a^{j}}
=
(
3
)
(
a
∘
(
a
i
−
1
∘
a
)
)
∘
a
j
{\displaystyle {\overset {(3)}{=}}(a\circ (a^{i-1}\circ a))\circ a^{j}}
=
(
4
)
a
∘
(
a
i
−
1
∘
(
a
∘
a
j
)
)
{\displaystyle {\overset {(4)}{=}}a\circ (a^{i-1}\circ (a\circ a^{j}))}
=
(
1
)
a
∘
(
a
i
−
1
∘
a
j
+
1
)
{\displaystyle {\overset {(1)}{=}}a\circ (a^{i-1}\circ a^{j+1})}
=
(
5
)
a
∘
a
(
i
−
1
)
+
(
j
+
1
)
=
a
∘
a
i
+
j
=
(
1
)
a
(
i
+
j
)
+
1
=
a
(
i
+
1
)
+
j
{\displaystyle {\overset {(5)}{=}}a\circ a^{(i-1)+(j+1)}=a\circ a^{i+j}{\overset {(1)}{=}}a^{(i+j)+1}=a^{(i+1)+j}}
(1) Definition
a
n
{\displaystyle a^{n}}
(2) (Links-)Alternativität von
∘
{\displaystyle \circ }
(3) Flexibilität (und der daraus folgenden
i
{\displaystyle i}
∘
{\displaystyle \circ }
(4) Moufang-Identität für
∘
{\displaystyle \circ }
(5) Induktionsvoraussetzung
Für die Multiplikation einer Algebra reicht hierfür bereits die Alternativität aus, siehe unten!
Für Spezialfälle reichen weniger Voraussetzungen aus. So folgt
a
3
+
2
=
a
3
a
2
{\displaystyle a^{3+2}=a^{3}a^{2}}
a
3
+
2
=
a
5
=
(
1
)
a
(
a
(
a
(
a
a
)
)
)
=
(
2
)
a
(
(
a
a
)
(
a
a
)
)
=
(
3
)
(
a
(
a
a
)
)
(
a
a
)
=
(
1
)
a
3
a
2
{\displaystyle a^{3+2}=a^{5}{\overset {(1)}{=}}a(a(a(aa))){\overset {(2)}{=}}a((aa)(aa)){\overset {(3)}{=}}(a(aa))(aa){\overset {(1)}{=}}a^{3}a^{2}}
a
n
{\displaystyle a^{n}}
Alle assoziativen Algebren sind potenz-assoziativ. Alle
K
{\displaystyle K}
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
a
∈
A
{\displaystyle a\in {\mathcal {A}}}
c
a
∈
K
{\displaystyle c_{a}\in K}
a
⋅
a
=
c
a
⋅
a
{\displaystyle a\cdot a=c_{a}\cdot a}
Hierzu gehört beispielsweise
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
a
×
a
=
0
{\displaystyle a\times a=0}
a
∈
R
3
{\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{3}}
Die Algebra der Sedenionen ist ebenfalls eine potenz-assoziative Algebra.
Bearbeiten
Die Verknüpfung
∘
{\displaystyle \circ }
(
M
,
∘
)
{\displaystyle (M,\circ )}
i
{\displaystyle i}
a
∈
M
{\displaystyle a\in M}
i
∈
N
∗
{\displaystyle i\in \mathbb {N} ^{*}}
a
i
∘
a
=
a
∘
a
i
{\displaystyle a^{i}\circ a=a\circ a^{i}}
Ein Magma, dessen Verknüpfung
i
{\displaystyle i}
i
{\displaystyle i}
Ein potenz-assoziatives Magma ist auch immer ein
i
{\displaystyle i}
a
∘
a
i
=
(
1
)
a
i
+
1
=
(
2
)
a
i
∘
a
1
=
(
1
)
a
i
∘
a
{\displaystyle a\circ a^{i}{\overset {(1)}{=}}a^{i+1}{\overset {(2)}{=}}a^{i}\circ a^{1}{\overset {(1)}{=}}a^{i}\circ a}
1: Definition
a
n
{\displaystyle a^{n}}
2: Potenz-Assoziativität von
∘
{\displaystyle \circ }
Ein flexibles Magma (und erst recht jede Halbgruppe) ist auch immer ein
i
{\displaystyle i}
vollständiger Induktion ):
Induktionsanfang
i
=
1
{\displaystyle i=1}
a
n
{\displaystyle a^{n}}
a
1
∘
a
=
a
∘
a
=
a
∘
a
1
{\displaystyle a^{1}\circ a=a\circ a=a\circ a^{1}}
Induktionsschritt
i
⟶
i
+
1
{\displaystyle i\longrightarrow i+1}
a
i
+
1
∘
a
=
(
1
)
(
a
∘
a
i
)
∘
a
=
(
2
)
a
∘
(
a
i
∘
a
)
=
(
3
)
a
∘
(
a
∘
a
i
)
=
(
1
)
a
∘
a
i
+
1
{\displaystyle a^{i+1}\circ a{\overset {(1)}{=}}(a\circ a^{i})\circ a{\overset {(2)}{=}}a\circ (a^{i}\circ a){\overset {(3)}{=}}a\circ (a\circ a^{i}){\overset {(1)}{=}}a\circ a^{i+1}}
1: Definition
a
n
{\displaystyle a^{n}}
2: Flexibilität von
∘
{\displaystyle \circ }
3: Induktionsvoraussetzung Die Verknüpfung
∘
{\displaystyle \circ }
(
M
,
∘
)
{\displaystyle (M,\circ )}
idemassoziativ (in Anlehnung an idempotent
a
∈
M
{\displaystyle a\in M}
a
∘
(
a
∘
a
)
=
(
a
∘
a
)
∘
a
{\displaystyle a\circ (a\circ a)=(a\circ a)\circ a}
Ein Magma, dessen Verknüpfung idemassoziativ ist, kann man somit auch als ein idemassoziatives Magma bezeichnen.
Ein
i
{\displaystyle i}
i
=
2
{\displaystyle i=2}
1. Das Magma mit der folgenden Verknüpfungstafel ist idemassoziativ, aber weder
i
{\displaystyle i}
∘
{\displaystyle \circ }
0
1
2
0
2
1
2
1
2
2
0
2
2
0
0
nicht linksalternativ wegen
0
∘
(
0
∘
1
)
=
0
∘
1
=
1
≠
0
=
2
∘
1
=
(
0
∘
0
)
∘
1
{\displaystyle 0\circ (0\circ 1)=0\circ 1=1\neq 0=2\circ 1=(0\circ 0)\circ 1}
nicht rechtsalternativ wegen
0
∘
(
2
∘
2
)
=
0
∘
0
=
2
≠
0
=
2
∘
2
=
(
0
∘
2
)
∘
2
{\displaystyle 0\circ (2\circ 2)=0\circ 0=2\neq 0=2\circ 2=(0\circ 2)\circ 2}
nicht flexibel wegen
1
∘
(
0
∘
1
)
=
2
≠
0
=
(
1
∘
0
)
∘
1
{\displaystyle 1\circ (0\circ 1)=2\neq 0=(1\circ 0)\circ 1}
nicht potenz-assoziativ wegen
0
2
+
2
=
0
4
=
0
∘
(
0
∘
(
0
∘
0
)
=
2
≠
0
=
(
0
∘
0
)
∘
(
0
∘
0
)
=
0
2
∘
0
2
{\displaystyle 0^{2+2}=0^{4}=0\circ (0\circ (0\circ 0)=2\neq 0=(0\circ 0)\circ (0\circ 0)=0^{2}\circ 0^{2}}
nicht
i
{\displaystyle i}
i
≥
3
{\displaystyle i\geq 3}
1
∘
1
3
=
1
∘
(
1
∘
(
1
∘
1
)
)
=
2
≠
1
=
(
1
∘
(
1
∘
1
)
)
∘
1
=
1
3
∘
1
{\displaystyle 1\circ 1^{3}=1\circ (1\circ (1\circ 1))=2\neq 1=(1\circ (1\circ 1))\circ 1=1^{3}\circ 1}
idemassoziativ wegen
0
∘
(
0
∘
0
)
=
2
=
(
0
∘
0
)
∘
0
{\displaystyle 0\circ (0\circ 0)=2=(0\circ 0)\circ 0}
1
∘
(
1
∘
1
)
=
0
=
(
1
∘
1
)
∘
1
{\displaystyle 1\circ (1\circ 1)=0=(1\circ 1)\circ 1}
2
∘
(
2
∘
2
)
=
2
=
(
2
∘
2
)
∘
2
{\displaystyle 2\circ (2\circ 2)=2=(2\circ 2)\circ 2}
2. Das Magma mit der folgenden Verknüpfungstafel ist potenz-assoziativ (und somit auch
i
{\displaystyle i}
∘
{\displaystyle \circ }
0
1
2
0
0
0
0
1
0
0
2
2
0
0
2
nicht alternativ wegen
1
∘
(
1
∘
2
)
=
2
≠
0
=
(
1
∘
1
)
∘
2
{\displaystyle 1\circ (1\circ 2)=2\neq 0=(1\circ 1)\circ 2}
nicht flexibel wegen
2
∘
(
1
∘
2
)
=
2
≠
0
=
(
2
∘
1
)
∘
2
{\displaystyle 2\circ (1\circ 2)=2\neq 0=(2\circ 1)\circ 2}
potenz-assoziativ wegen
0
i
+
j
=
0
=
0
∘
0
=
0
i
∘
0
j
{\displaystyle 0^{i+j}=0=0\circ 0=0^{i}\circ 0^{j}}
1
i
+
j
=
0
=
0
∘
0
=
1
i
∘
1
j
{\displaystyle 1^{i+j}=0=0\circ 0=1^{i}\circ 1^{j}}
2
i
+
j
=
2
=
2
∘
2
=
2
i
∘
2
j
{\displaystyle 2^{i+j}=2=2\circ 2=2^{i}\circ 2^{j}}
3. Das Potenzieren ist nicht idemassoziativ (und somit auch weder
i
{\displaystyle i}
(
3
3
)
3
=
27
3
=
19683
≠
7625597484987
=
3
27
=
3
(
3
3
)
{\displaystyle \left(3^{3}\right)^{3}=27^{3}=19683\neq 7625597484987=3^{27}=3^{\left(3^{3}\right)}}
