Jordan-Algebra

In der Mathematik heißt eine kommutative Algebra A eine Jordan-Algebra, wenn für alle x,y aus A die sog. Jordan-Identität erfüllt ist. Namensgeber ist der deutsche Physiker Pascual Jordan.

Eine alternative Definition ist (x,y aus A, x invertierbar).

D. h., A ist in der Regel nicht assoziativ, es gilt aber eine schwache Form des Assoziativgesetzes.

Benannt ist sie nach dem deutschen Physiker Pascual Jordan, der sie zur Axiomatisierung der Quantenphysik einsetzen wollte.

Unter einer nichtkommutativen Jordan-Algebra versteht man eine Algebra, die neben der Jordan-Identität noch das Flexibilitätsgesetz erfüllt.

Spezielle und exzeptionelle Jordan-AlgebrenBearbeiten

Aus einer assoziativen Algebra   von Charakteristik ungleich 2 lässt sich eine Jordan-Algebra   konstruieren, indem man bei unveränderter Addition eine neue Multiplikation   definiert:

 

Jordan-Algebren, die isomorph zu so gebildeten sind, heißen spezielle Jordan-Algebren, die anderen exzeptionelle Jordan-Algebren.

Die exzeptionelle Jordan-Algebra M(3,8) (auch als   bezeichnet) ist durch Matrizen des folgenden Typs

  gegeben. Hierbei sind a, b, c reelle Zahlen und X, Y, Z Oktonionen, die Multiplikation ist wie oben gegeben, aber es handelt sich nicht um eine spezielle Jordan-Algebra, da die Multiplikation der Oktonionen nicht assoziativ ist.

Über den komplexen Zahlen ist M(3,8) die einzige exzeptionelle Jordan-Algebra, während es über den reellen Zahlen drei Isomorphieklassen exzeptioneller Jordan-Algebren gibt.

Formal reelle Jordan-AlgebrenBearbeiten

Eine Jordan-Algebra   heißt formal reell, wenn sich   nicht als nichttriviale Summe von Quadraten darstellen lässt. Formal reelle Jordan-Algebren wurden 1934 von Jordan, von Neumann und Wigner klassifiziert.

LiteraturBearbeiten

WeblinksBearbeiten