Schauderbasis

darstellende Basis für Folgen eines Banachraumes

In der Funktionalanalysis wird eine Folge eines Banachraums als Schauderbasis bezeichnet, falls jeder Vektor bezüglich ihr eine eindeutige Darstellung als konvergente Reihe hat. Sie ist zu unterscheiden von der Hamelbasis, von der verlangt wird, dass sich jeder Vektor als endliche Linearkombination der Basiselemente darstellen lässt.

Benannt sind die Schauderbasen nach dem polnischen Mathematiker Juliusz Schauder (1899–1943), der sie 1927 beschrieb.

DefinitionBearbeiten

Sei   ein Banachraum über dem Grundkörper   oder  . Eine Folge   in   heißt Schauderbasis, falls jedes   eindeutig als konvergente Reihe  , dargestellt werden kann.

BeispieleBearbeiten

  • Im Folgenraum   mit der p-Norm   bilden für   die Einheitsvektoren   eine Schauderbasis.
  • Setze   für alle  , und für  ,   definiere   durch
 
Bis auf einen konstanten Faktor ist jedes   eine auf   eingeschränkte Haar-Wavelet-Funktion. Die Folge  , die man nach Alfréd Haar auch das Haar-System nennt, ist eine Schauderbasis für den Raum Lp([0,1]) für  .
  • Zur Konstruktion einer Schauderbasis des Raums   sei   eine dichte Folge in   ohne Wiederholungen und es sei  . Man nehme dazu zum Beispiel eine bijektive Abzählung der rationalen Punkte des Einheitsintervalls oder eine Folge der Art   und so weiter mittels fortgesetzter Halbierung der bisher von der gebildeten Folge gelassenen Lücken.
Für jedes   sei   definiert durch   = konstant 1 und für alle weiteren   sei  ,   für alle   und   sei affin-linear auf  . Dann ist die Folge   eine Schauderbasis von C([0,1]).[1] Die Idee zur Konstruktion dieser Schauderbasis geht auf Juliusz Schauder zurück und man nennt eine solche Basis daher auch die Schauderbasis.

EigenschaftenBearbeiten

Allgemeine EigenschaftenBearbeiten

  • Ein Banachraum mit Schauderbasis ist separabel, denn die Menge der endlichen Linearkombinationen mit Koeffizienten aus   bzw.   ist eine dichte, abzählbare Menge.
  • Umgekehrt besitzt nicht jeder separable Banachraum eine Schauderbasis.[2]
  • Banachräume mit Schauderbasis haben die Approximationseigenschaft.
  • In unendlichdimensionalen Banachräumen ist eine Schauderbasis nie Hamelbasis des Vektorraums, da eine solche in unendlichdimensionalen Banachräumen stets überabzählbar sein muss (siehe Satz von Baire).

KoeffizientenfunktionaleBearbeiten

Die Darstellung eines Elements   bezüglich einer Schauderbasis ist nach Definition eindeutig. Die Zuordnungen   werden als Koeffizientenfunktionale bezeichnet; sie sind linear und stetig und daher Elemente des Dualraums von  .

Eigenschaften der BasisBearbeiten

Schauderbasen können weitergehende Eigenschaften haben. Die Existenz von Schauderbasen mit solchen Eigenschaften hat dann weitere Konsequenzen für den Banachraum.

Ist   eine Schauderbasis des Banachraums  , so gibt es eine Konstante  , so dass für   und jede Wahl von Skalaren   die Ungleichung   gilt. Das Infimum über die  , die zu vorgegebener Basis diese Ungleichung erfüllen, nennt man die Basiskonstante. Man spricht von einer monotonen Basis, wenn die Basiskonstante gleich 1 ist.

Man nennt eine Basis   beschränkt vollständig (englisch: boundedly complete), wenn es zu jeder Folge   von Skalaren mit   ein   gibt mit  .

Weiter sei   der von   erzeugte abgeschlossene Untervektorraum, und für   sei   die Norm des eingeschränkten Funktionals  . Die Basis heißt schrumpfend (englisch: shrinking), wenn   für alle  .

Schließlich spricht man von einer unbedingten Basis (englisch: unconditional), wenn alle Reihen   in den Entwicklungen bezüglich der Basis unbedingt konvergieren. Die Standard-Basen der  -Räume sind offenbar unbedingt. Der Raum   hat keine unbedingte Basis. Mittels der Eigenschaft (u) von Pelczynski kann man sogar zeigen, dass er nicht einmal Unterraum eines Banachraums mit unbedingter Basis ist. Weiter kann man zeigen, dass das Haar-System in   für   eine unbedingte Basis ist, nicht aber für  . Der Raum   besitzt keine unbedingte Basis.

Zwei Sätze von R. C. JamesBearbeiten

Die folgenden beiden Sätze von Robert C. James zeigen die Bedeutung der Basisbegriffe.

  • R. C. James: Sei   ein Banachraum mit Schauderbasis.   ist genau dann reflexiv, wenn die Basis beschränkt vollständig und schrumpfend ist.

Für unbedingte Schauderbasen kann man das Vorhandensein gewisser Unterräume charakterisieren. Sei   ein Banachraum mit unbedingter Schauderbasis. Dann gilt:

  •   enthält keinen zu c0 isomorphen Unterraum.   Die Basis ist beschränkt vollständig.
  •   enthält keinen zu   isomorphen Unterraum.   Die Basis ist schrumpfend.

Als Konsequenz ergibt sich daraus:

  • R. C. James: Sei   ein Banachraum mit unbedingter Schauderbasis.   ist genau dann reflexiv, wenn   keinen zu   oder   isomorphen Unterraum enthält.

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

  • Bernard Beauzamy: Introduction to Banach Spaces and their Geometry, Elesevier Science Publishers (1985) ISBN 0-444-87878-5
  • Zdzisław Denkowski, Stanisław Migórski, Nikolas S. Papageorgiou: An introduction to nonlinear analysis. Kluwer, Boston 2003, ISBN 0-306-47392-5
  • Joseph Diestel: Sequences and Series in Banach Spaces. 1984, ISBN 0-387-90859-5.
  • Yuli Eidelman, Vitali Milman, Antonis Tsolomitis: Functional analysis. An introduction. American Mathematical Society, Providence 2004, ISBN 0-8218-3646-3
  • Ivan Singer: Bases in Banach spaces I (1970) und Bases in Banach spaces II (1981), Springer Verlag

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. F. Albiac, N.J. Kalton: Topics in Banach Space Theory: Springer-Verlag (2006), ISBN 978-0-387-28142-1, Seite 9f
  2. Per Enflo: A counterexample to the approximation problem in Banach spaces. Acta Mathematica, Band 130, Nr. 1, Juli 1973, S. 309–317