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Basisfolge

Folge, die Teil einer Schauderbasis ist

Basisfolgen werden im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis zur Untersuchung von Banachräumen herangezogen. Es handelt sich dabei um Folgen, die eine Schauderbasis in dem von ihnen erzeugten Unterraum sind. Nicht jeder separable Banachraum hat eine Basis, aber es gibt stets Basisfolgen.

DefinitionBearbeiten

Eine Folge   in einem Banachraum   heißt eine Basisfolge, wenn   eine Schauderbasis in   ist, das heißt in der abgeschlossenen, linearen Hülle der Elemente  . Die Basisfolge heißt normalisiert, wenn alle   die Norm 1 haben.

Zwei Basisfolgen   und   in Banachräumen   bzw.   heißen äquivalent, wenn für jede Folge   von Skalaren die Reihe   genau dann in   konvergiert, wenn   in   konvergiert. Das ist genau dann der Fall, wenn es einen Banachraum-Isomorphismus   gibt mit   für alle  .[1]

Zwei Basisfolgen   und   in Banachräumen   bzw.   heißen kongruent, falls es einen Banachraum-Isomorphismus   gibt mit   für alle  .[2] Offenbar sind kongruente Basisfolgen äquivalent, die Umkehrung dieser Aussage scheitert daran, dass man einen Banachraum-Isomorphismus   im Allgemeinen nicht zu einem solchen von   auf   fortsetzen kann.

BeispieleBearbeiten

  • Jede Schauderbasis in einem Banachraum ist eine Basisfolge, zum Beispiel die kanonischen Basen in den Folgenräumen   oder das Haar-System in den Räumen Lp([0,1]), wobei  .
  • Die Folge der Rademacherfunktionen ist in jedem Raum Lp([0,1]),  , eine Basisfolge, die äquivalent zur kanonischen Basis in   ist, wie sich leicht aus der Chintschin-Ungleichung ergibt.

Das Grinblum-KriteriumBearbeiten

Das nach dem russischen Mathematiker Maximilian M. Grinblum (1903–1951) benannte Grinblum-Kriterium entscheidet für eine vorgelegte Folge in einem Banachraum, ob es sich um eine Basisfolge handelt. Demnach ist   genau dann eine Basisfolge in  , wenn alle   von 0 verschieden sind und es eine Konstante   gibt mit

 

für jede Folge   von Skalaren und natürlichen Zahlen   mit  .[3][4]

Das kleinste  , das obige Ungleichung für alle Skalare   und   erfüllt, heißt Basiskonstante der Basisfolge. Das ist nichts anderes als die Basiskonstante der Schauderbasis   im Banachraum  .

Existenz von BasisfolgenBearbeiten

Das Auswahlprinzip von Bessaga-Pelczynski besagt, dass in einem unendlichdimensionalen Banachraum jede Folge   mit   für alle  , die schwach gegen 0 konvergiert, eine Teilfolge enthält, die Basisfolge ist. Daraus folgt insbesondere

  • Jeder unendlichdimensionale Banachraum enthält einen abgeschlossenen Unterraum, der eine Schauderbasis hat.[5]

Es stellt sich sofort die Frage, ob jeder unendlichdimensionale Banachraum sogar einen abgeschlossenen Unterraum mit unbedingter Schauderbasis besitzt. Dieses Problem war lange offen, bis William Timothy Gowers und Bernard Maurey 1993 ein negatives Beispiel vorlegten.[6]

BlockbasisfolgenBearbeiten

Es sei   Schauderbasis eines Banachraums  . Eine Blockbasisfolge von   ist eine Folge   von Vektoren   mit

    wobei  .

Die   entstehen demnach aus   durch Bildung von Blöcken, woher der Name Blockbasisfolge rührt. Zudem kann man zeigen, dass   tatsächlich eine Basisfolge ist, deren Konstante nicht größer als die Basiskonstante von   ist.[7]

Dies ist eine wichtige Methode, aus gegebenen Basisfolgen durch Blockbildung neue zu gewinnen. Man kann zeigen, dass die aus den kanonischen Basen von   oder   gebildeten normalisierten Blockbasisfolgen zur Ausgangsbasis äquivalent sind. Das führt zu bedeutenden Konsequenzen über die Struktur dieser Folgenräume.[8]

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. F. Albiac, N. J. Kalton: Topics in Banach Space Theory: Springer-Verlag (2006), ISBN 978-0-387-28142-1, Definitionen 1.1.8 und 1.3.1
  2. F. Albiac, N. J. Kalton: Topics in Banach Space Theory: Springer-Verlag (2006), ISBN 978-0-387-28142-1, Definition 1.3.8
  3. M. M. Grinblum: Некоторые теоремы о базисе в пространстве типа (B) (Einige Sätze über Basen in Räumen vom Typ (B)), C. R. Dokl. Akad. Sci. URSS (1941), Band 31, Seiten 428–432
  4. F. Albiac, N. J. Kalton: Topics in Banach Space Theory: Springer-Verlag (2006), ISBN 978-0-387-28142-1, Satz 1.1.9
  5. Joseph Diestel: Sequences and series in Banach spaces, Springer-Verlag (1984), ISBN 0-387-90859-5, Kapitel V: Basic Sequences
  6. W. T. Gowers, B. Maurey: The unconditional basic sequence problem, J. Amer. Math. Soc. (1993), Band 6, Seiten 851–874
  7. F. Albiac, N. J. Kalton: Topics in Banach Space Theory: Springer-Verlag (2006), ISBN 978-0-387-28142-1, Definition 1.3.4 und Lemma 1.3.5
  8. F. Albiac, N. J. Kalton: Topics in Banach Space Theory: Springer-Verlag (2006), ISBN 978-0-387-28142-1, Kapitel 2: The Classical Sequence Spaces