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Mit Hilfe der Wronski-Determinante, die nach dem polnischen Mathematiker Josef Hoëné-Wroński (1776—1853) benannt wurde, kann man skalare Funktionen auf lineare Unabhängigkeit testen, wenn diese hinreichend oft differenzierbar sind. Dies kann insbesondere beim Lösen einer gewöhnlichen Differentialgleichung ein nützliches Hilfsmittel sein.

Inhaltsverzeichnis

DefinitionBearbeiten

Für   reell- oder komplexwertige Funktionen   auf einem Intervall   ist die Wronski-Determinante definiert durch

 

wobei in der ersten Zeile die Funktionen stehen und in den weiteren Zeilen die hochgestellten Zahlen in Klammern die erste bis  -te Ableitung bezeichnen.

EigenschaftenBearbeiten

Die Berechnung der Wronski-Determinante von linearen, gewöhnlichen Differentialgleichungen zweiter Ordnung kann durch die Anwendung der Abelschen Identität vereinfacht werden, wenn im Fundamentalsystem in der Darstellung   der Koeffizient   ist.

Kriterium für lineare UnabhängigkeitBearbeiten

Gilt   für ein  , so sind die Funktionen   auf dem Intervall   linear unabhängig. Andererseits folgt aus   für alle   nicht die lineare Abhängigkeit der Funktionen  . Das heißt, die Gleichheit bedingt nicht eine lineare Abhängigkeit auf dem Intervall  . Denn es gilt, dass die Funktionen lokal linear unabhängig sein können (siehe Gegenbeispiel).

BeispielBearbeiten

Ausgehend vom Sturm-Liouville-Problem wird die Differentialgleichung zweiter Ordnung

 

mit den Randbedingungen   betrachtet. Als Lösungsansatz wird   für   und beliebige   gewählt. Aufgrund der Randbedingungen   ist   und   also   und somit   für  . Als Lösung wird daher

 

gewählt. Da eine weitere Lösung dieser Differentialgleichung durch   mit   gegeben ist (siehe Sturm-Liuoville-Problem), wird als zweite Lösung

 

angenommen und mittels der Wronski-Determinante auf lineare Unabhängigkeit geprüft. Es folgt

 .

Also ist   für   (genauer für alle  ) und die lineare Unabhängigkeit der Funktionen   ist gegeben.

GegenbeispielBearbeiten

Als Gegenbeispiel dienen die auf den reellen Zahlen definierten Funktionen

 

Für alle   gilt

 

Aber   führt für   zu   und für   zu  , was die lineare Unabhängigkeit auf   beziehungsweise für   der beiden Funktionen impliziert. Für   gilt   und  , was lineare Abhängigkeit in   bedeutet.

LiteraturBearbeiten

  • H. Heuser: Gewöhnliche Differentialgleichungen. Teubner, 1995, ISBN 3-519-22227-2, S. 250.

WeblinksBearbeiten