Wronski-Determinante
Mit Hilfe der Wronski-Determinante, die nach dem polnischen Mathematiker Josef Hoëné-Wroński (1776–1853) benannt wurde, kann man skalare Funktionen auf lineare Unabhängigkeit testen, wenn diese hinreichend oft differenzierbar sind. Dies kann insbesondere beim Lösen einer gewöhnlichen Differentialgleichung ein nützliches Hilfsmittel sein.
Definition
BearbeitenFür reell- oder komplexwertige Funktionen auf einem Intervall ist die Wronski-Determinante definiert durch
wobei in der ersten Zeile die Funktionen stehen und in den weiteren Zeilen die hochgestellten Zahlen in Klammern die erste bis -te Ableitung bezeichnen.
Eigenschaften
BearbeitenDie Berechnung der Wronski-Determinante von linearen, gewöhnlichen Differentialgleichungen zweiter Ordnung kann durch die Anwendung der Abelschen Identität vereinfacht werden, wenn im Fundamentalsystem in der Darstellung der Koeffizient ist.
Kriterium für lineare Unabhängigkeit
BearbeitenGilt für ein , so sind die Funktionen auf dem Intervall linear unabhängig. Andererseits folgt aus für alle nicht die lineare Abhängigkeit der Funktionen . Das heißt, die Gleichheit bedingt nicht eine lineare Abhängigkeit auf dem Intervall . Denn es gilt, dass die Funktionen lokal linear unabhängig sein können (siehe Gegenbeispiel).
Beispiel
BearbeitenAusgehend vom Sturm-Liouville-Problem wird die Differentialgleichung zweiter Ordnung
mit den Randbedingungen betrachtet. Als Lösungsansatz wird für und beliebige gewählt. Aufgrund der Randbedingungen ist und also und somit für . Als Lösung wird daher
gewählt. Da eine weitere Lösung dieser Differentialgleichung durch mit gegeben ist (siehe Sturm-Liuoville-Problem), wird als zweite Lösung
angenommen und mittels der Wronski-Determinante auf lineare Unabhängigkeit geprüft. Es folgt
- .
Also ist für (genauer für alle ) und die lineare Unabhängigkeit der Funktionen ist gegeben.
Gegenbeispiel
BearbeitenAls Gegenbeispiel dienen die auf den reellen Zahlen definierten Funktionen
Für alle gilt
Aber führt für zu und für zu , was die lineare Unabhängigkeit auf beziehungsweise für der beiden Funktionen impliziert. Für gilt und , was lineare Abhängigkeit in bedeutet.
Literatur
Bearbeiten- H. Heuser: Gewöhnliche Differentialgleichungen. Teubner, 1995, ISBN 3-519-22227-2, S. 250.
Weblinks
Bearbeiten- Eric W. Weisstein: Wronskian. In: MathWorld (englisch).