Fundamentalsystem (Mathematik)

Vektorraum

Als Fundamentalsystem wird in der Analysis jede Basis desjenigen Vektorraums bezeichnet, der aus der Menge der Lösungen eines homogenen linearen gewöhnlichen Differentialgleichungssystems besteht.

Ist ein Fundamentalsystem, so ist definitionsgemäß

die Menge der Lösungen dieses homogenen Differentialgleichungssystems.

Die Kenntnis eines Fundamentalsystems ist Voraussetzung für das Verfahren der Variation der Konstanten, um eine spezielle Lösung von inhomogenen linearen Differentialgleichungssystemen erster Ordnung und inhomogenen linearen Differentialgleichungen höherer Ordnung zu konstruieren.

Fundamentalsystem, (Haupt-)Fundamentalmatrix und Wronski-DeterminanteBearbeiten

Homogenes lineares Differentialgleichungssystem erster OrdnungBearbeiten

Gegeben sei ein lineares homogenes Differentialgleichungssystem erster Ordnung

 

mit   und der Matrix  , deren Koeffizienten   sind. Die Lösungen dieses Differentialgleichungssystems werden in der Differentiationsklasse   der stetig differenzierbaren Funktionen   gesucht.

Hat diese Differentialgleichung zwei verschiedene Lösungen, so sind auch die Summe und Vielfache mit reellen Faktoren wiederum Lösungen. Die Lösungsmenge ist also ein reeller Untervektorraum im Raum aller stetig differenzierbaren Funktionen.

Sind die Koeffizienten der Matrix   stetige Funktionen, so kann der Existenz- und Eindeutigkeitssatz von Picard-Lindelöf angewandt werden. Nach diesem ist einerseits jede Lösung der Differentialgleichung schon eindeutig durch ihren Wert   im Anfangspunkt des Intervalls bestimmt und andererseits auch jedes Anfangswertproblem mit beliebigem Anfangswert   zu diesem Differentialgleichungssystem eindeutig lösbar. Daraus folgt, dass der Lösungsraum  -dimensional ist.

DefinitionenBearbeiten

Jede Basis dieses  -dimensionalen Lösungsraums wird als Fundamentalsystem des linearen Differentialgleichungssystems bezeichnet. Meistens wählt man als Basis dasjenige System von Lösungsfunktionen  , für welche der Anfangswert   der  -te kanonische Einheitsvektor ist.

Ist   ein Fundamentalsystem, so bezeichnet man die Matrix   als Fundamentalmatrix und ihre Determinante   als Wronski-Determinante. Ist   für ein   die Einheitsmatrix, so bezeichnet man   auch als Hauptfundamentalmatrix im Punkt  .

Die Fundamentalmatrix   ist ebenfalls Lösung einer homogenen gewöhnlichen (matrixwertigen) Differentialgleichung, nämlich von

 

Der Lösungsraum des ursprünglichen homogenen Systems im   ist dann  . Ist   sogar Hauptfundamentalmatrix in  , so löst   das Anfangswertproblem zu  .

Die Fundamentalmatrix   ist für jedes   invertierbar. Für die Wronski-Determinante gilt die liouvillesche Formel.

Homogene lineare Differentialgleichung höherer OrdnungBearbeiten

Genauso wie im Fall erster Ordnung ist der Lösungsraum eines linearen Systems höherer Ordnung ebenfalls ein Vektorraum, und jede Basis desselben wird weiterhin als Fundamentalsystem bezeichnet.

Zur Definition der Fundamentalmatrix einer skalaren linearen Differentialgleichung  -ter Ordnung

 

betrachte man zunächst das hierzu korrespondierende Differentialgleichungssystem erster Ordnung, bestehend aus   Gleichungen

  mit  

Hinweis: Der Zusammenhang ist, dass   die skalare Gleichung  -ter Ordnung genau dann löst, wenn   Lösung obigen Systems erster Ordnung ist.

Als Fundamentalmatrix von

 

bezeichnet man jede Fundamentalmatrix   des Systems erster Ordnung

 

Natürlich heißt   Hauptfundamentalmatrix in  , falls   die Einheitsmatrix ist.   bezeichnet man weiterhin als Wronski-Determinante.

Obige Reduktion der Gleichung auf ein System erster Ordnung liefert: Ist   ein Fundamentalsystem, so ist

 

eine Fundamentalmatrix.

Konstruktion eines FundamentalsystemsBearbeiten

Im allgemeinen Fall ist es schwierig, Fundamentalsysteme zu konstruieren. Möglich wird dies erst durch eine spezielle Struktur der Differentialgleichung. Dazu gehört die skalare Differentialgleichung erster Ordnung, Differentialgleichungssysteme erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten, Differentialgleichungen höherer Ordnung mit konstanten Koeffizienten oder die eulersche Differentialgleichung. Ist eine Lösung der homogenen Differentialgleichung hoher Ordnung bekannt, so kann man das Reduktionsverfahren von d’Alembert verwenden, um die Gleichung auf eine Differentialgleichung mit einer um eins erniedrigten Ordnung zurückzuführen.

Lineare Differentialgleichung erster OrdnungBearbeiten

Es sei   eine Stammfunktion von  . Dann ist

 

ein Fundamentalsystem von  .

Lineares Differentialgleichungssystem erster Ordnung mit konstanten KoeffizientenBearbeiten

Im Fall einer linearen Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten

 

bestimmt man zunächst die Jordan-Normalform   der Matrix   sowie eine dazugehörige Jordan-Basis  . Ist   ein komplexer Eigenwert mit zugehörigen Basisvektoren  , so möge man in der Jordan-Basis die Basisvektoren so wählen, dass   als Basisvektoren zu   vorkommen.

Nun geht man jede Kette von Hauptvektoren einzeln durch: Ist   eine (vollständige) Hauptvektorkette zum Eigenwert  , d. h.

 ,

so tragen sie zum Fundamentalsystem die   (Hauptvektor-)Lösungen

 

allgemein

 

bei. Nachdem man alle Hauptvektorketten durchgegangen ist, hat man dann ein (ggf. komplexes) Fundamentalsystem aufgestellt.

Lineare Differentialgleichung höherer Ordnung mit konstanten KoeffizientenBearbeiten

Ein Fundamentalsystem für eine skalare linearen Differentialgleichung  -ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten

 

kann durch Lösen der charakteristischen Gleichung   mit dem charakteristischen Polynom

 

erfolgen. Seien   die (paarweise verschiedenen) Nullstellen von   mit Vielfachheiten  . Dann trägt die Nullstelle   zum (komplexen) Fundamentalsystem die   linear unabhängigen Lösungen

 

bei.

[Zur Erläuterung der Sprechweise: Führt man mit Hilfe der obigen Transformation die skalare Gleichung  -ter Ordnung auf ein Differentialgleichungssystem erster Ordnung zurück, so hat die Koeffizientenmatrix als charakteristisches Polynom genau dieses, welches hier angegeben wurde.]

Reelles FundamentalsystemBearbeiten

Auf obige Weise erhält man stets   linear unabhängige Lösungen, welche aber teilweise komplexwertig sein können – die komplexen Lösungen kommen jedoch immer in konjugiert komplexen Paaren vor, da die Differentialgleichung reell war. Nun sind mit   auch   und   beides (reelle) Lösungen, da die Differentialgleichung linear ist. Man kann daher jedes Paar komplex konjugierter Lösungen   im (komplexen) Fundamentalsystem durch reelle Lösungen   ersetzen. Auf diese Weise erhält man ein reelles Fundamentalsystem. Man beachte hierbei die Eulersche Formel  .

Periodisches Differentialgleichungssystem erster OrdnungBearbeiten

Für das System

 

mit  -periodischer stetiger Koeffizientenmatrix   kann man zwar nicht explizit ein Fundamentalsystem konstruieren – jedoch macht der Satz von Floquet eine Aussage über die Struktur der Fundamentalmatrizen dieses Systems.

BeispieleBearbeiten

Lineares Differentialgleichungssystem erster Ordnung mit konstanten KoeffizientenBearbeiten

Man betrachte das Differentialgleichungssystem

 

Die Matrix   besitzt 1 als einfachen Eigenwert und 2 als doppelten Eigenwert. Ihre Eigenräume lauten   Für die Hauptvektorkette zum Eigenwert 2 benötigt man noch

 

Wähle beispielsweise

 

Dann muss als Hauptvektor erster Stufe   gewählt werden. Es ergibt sich als Fundamentalsystem   mit

 

Lineare Differentialgleichung höherer Ordnung mit konstanten KoeffizientenBearbeiten

Betrachte nun

 

Diese Differentialgleichung hat als charakteristisches Polynom  , welches die vier Nullstellen   besitzt. Daher erhält man zunächst als komplexes Fundamentalsystem

 

Somit erhält man als ein reelles Fundamentalsystem

 

LiteraturBearbeiten

  • Carmen Chicone: Ordinary Differential Equations with Applications. 2. Auflage. In: Texts in Applied Mathematics, 34. Springer-Verlag, 2006, ISBN 0-387-30769-9.
  • Harro Heuser: Gewöhnliche Differentialgleichungen. Teubner, 1995, S. 250.
  • Gerald Teschl: Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems (= Graduate Studies in Mathematics. Band 140). American Mathematical Society, Providence 2012, ISBN 978-0-8218-8328-0 (mat.univie.ac.at).