Differentiationsklasse

Die Differentiationsklasse[1] ist ein Begriff aus der Mathematik, insbesondere aus dem Teilgebiet der Analysis. Sie ist ein Funktionenraum und umfasst alle Funktionen, die mindestens -mal stetig differenzierbar sind, wobei eine natürliche Zahl ist. Notiert wird die Differentiationsklasse meist mittels .

DefinitionBearbeiten

Sei   eine Zahl und   eine nichtleere, offene Teilmenge der reellen Zahlen. Eine stetige Funktion   gehört dann zur Differentiationsklasse   beziehungsweise genauer  , wenn   auf ganz   mindestens  -mal stetig differenzierbar ist.[2]

Entsprechend der Definition wird mit   die Klasse der stetigen Funktionen und mit   die Differentiationsklasse der beliebig oft differenzierbaren Funktionen bezeichnet.[2]

VerallgemeinerungenBearbeiten

Die Klasse der analytischen Funktionen wird manchmal in Analogie zu obiger Definition mit   bezeichnet.

Für stetige Funktionen   im mehrdimensionalen euklidischen Vektorraum wird die Definition analog übernommen. Die Funktion   gehört also zur Differentiationsklasse  , wenn sie auf ganz   mindestens  -mal stetig differenzierbar ist.[3][4]

Wenn sich die Anzahl der möglichen Differentiationen ( ) bei mehrdimensionalen Funktionen zwischen den einzelnen Variablen unterscheidet, so kann dem in einer Verallgemeinerung der obigen Notation Rechnung getragen werden:  [5]

Auch für Funktionen zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten werden die  -Differentiationsklassen analog definiert.

TeilmengenrelationBearbeiten

Sei   eine offene Teilmenge, dann gilt

 .

Je höher also der Index   der Differentiationsklasse ist, desto weniger Funktionen umfasst sie.

BeispieleBearbeiten

  • Die Exponentialfunktion   ist analytisch und gehört somit zur Klasse  .
  • Die Betragsfunktion   ist stetig, aber nicht differenzierbar. Sie gehört also zur Klasse  , aber nicht zur Klasse  .
  • Die Funktion  ,   ist zweimal stetig differenzierbar, aber nicht dreimal. Es gilt also  .
  • Die Funktion   mit   für   und   ist beliebig oft differenzierbar und gehört somit zur Klasse  , aber sie ist nicht analytisch.
  • Die Funktion   mit   für   und   ist überall differenzierbar, aber die Ableitungsfunktion ist an der Stelle Null nicht stetig. Somit gehört die Funktion nicht zur Klasse  , sondern nur zur Klasse  .

Genügend glattBearbeiten

Im Zusammenhang mit der Differenzierbarkeit wird manchmal davon gesprochen, dass eine Funktion genügend glatt sei. Dies bedeutet, dass im jeweiligen Kontext genügend oft differenzierbar ist, man sich also sozusagen keine zusätzlichen Gedanken um die Differenzierbarkeit machen muss.[6] Der Begriff leitet sich aus der Bezeichnung glatte Funktion für eine beliebig oft differenzierbare Funktion ab.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Rolf Walter: Einführung in die Analysis. Band 3. Walter de Gruyter, Berlin u. a. 2009, ISBN 978-3-11-020960-0, S. 59, 147ff.
  2. a b Konrad Königsberger: Analysis 1. Springer-Verlag, Berlin u. a., 2004, ISBN 3-540-41282-4, S. 155.
  3. Konrad Königsberger: Analysis 2. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg, 2000, ISBN 3-540-43580-8, S. 62.
  4. Rolf Walter: Einführung in die Analysis 2. de Gruyter, 2007, ISBN 978-3-11-019540-8, S. 64, 448.
  5. Prof. Martin Keller-Ressel: Stochastische Analysis. In: TU Dresden, Fakultät Mathematik. 23. Mai 2015, S. 46, abgerufen am 9. Januar 2020.
  6. Dirk Langemann, Cordula Reisch: So einfach ist Mathematik – Partielle Differenzialgleichungen für Anwender. 1. Auflage. Springer Spektrum, Berlin / Heidelberg 2018, ISBN 978-3-662-57501-7, S. 101.