Pfaffsche Determinante

In der Mathematik kann die Determinante einer alternierenden Matrix immer als das Quadrat eines Polynoms der Matrixeinträge geschrieben werden. Dieses Polynom wird die pfaffsche Determinante der Matrix genannt. Die pfaffsche Determinante ist nur für alternierende -Matrizen nichtverschwindend. In diesem Fall ist sie ein Polynom vom Grad .

DefinitionBearbeiten

Sei   die Menge aller Partitionen von   in Paare. Es gibt   (Doppelfakultät) solcher Partitionen. Jedes Element   kann in eindeutiger Weise als

 

geschrieben werden mit   und  . Sei

 

die korrespondierende Permutation und sei   das Signum von  .

Sei   eine alternierende  -Matrix. Für jede wie oben geschriebene Partition   setze

 

Die pfaffsche Determinante   ist dann definiert als

 .

Ist   ungerade, so wird die pfaffsche Determinante einer alternierenden  -Matrix als Null definiert.

Alternative DefinitionBearbeiten

Man kann zu jeder alternierenden  -Matrix   einen Bivektor assoziieren:

 ,

wobei   die Standardbasis für   ist. Die pfaffsche Determinante ist definiert durch

 ,

hierbei bezeichnet   das Keilprodukt von   Kopien von   mit sich selbst.

BeispieleBearbeiten

 
 
 

EigenschaftenBearbeiten

Für eine alternierende  -Matrix   und eine beliebige  -Matrix   gilt

  •  
  •  
  •  
  •  
  • Für eine blockdiagonale Matrix
 
gilt  .
  • Für eine beliebige  -Matrix   gilt:
 

AnwendungenBearbeiten

Die pfaffsche Determinante ist ein invariantes Polynom einer alternierenden Matrix (Hinweis: Sie ist nicht invariant unter allgemeinen Basiswechseln, sondern nur unter orthogonalen Transformationen). Als solche ist sie wichtig für die Theorie der charakteristischen Klassen. (In diesem Zusammenhang wird sie auch als Euler-Polynom bezeichnet.) Sie kann insbesondere benutzt werden, um die Eulerklasse einer riemannschen Mannigfaltigkeit zu definieren. Diese wird in dem Satz von Gauß-Bonnet benutzt.

Die Anzahl der perfekten Paarungen in einem planaren Graphen ist gleich dem Absolutwert einer geeigneten pfaffschen Determinante, welche in polynomialer Zeit berechenbar ist. Dies ist insbesondere deshalb überraschend, weil das Problem für allgemeine Graphen sehr schwer ist (Sharp-P-vollständig). Das Ergebnis wird in der Physik benutzt, um die Zustandssumme des Ising-Modells von Spingläsern zu berechnen. Dabei ist der zugrundeliegende Graph planar. Vor kurzem wurde sie auch benutzt, um effiziente Algorithmen für sonst anscheinend unlösbare Probleme zu entwickeln. Dazu zählt die effiziente Simulation von bestimmten Typen der Quantenberechnungen.

GeschichteBearbeiten

Der Begriff pfaffsche Determinante wurde von Arthur Cayley geprägt, der ihn 1852 benutzte: "The permutants of this class (from their connection with the researches of Pfaff on differential equations) I shall term Pfaffians." Dies geschah zu Ehren des deutschen Mathematikers Johann Friedrich Pfaff.

Siehe auchBearbeiten

WeblinksBearbeiten