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Graßmann-Algebra

Algebra der Differentialformen
(Weitergeleitet von Keilprodukt)

Die Graßmann-Algebra oder äußere Algebra eines Vektorraums ist eine assoziative, schiefsymmetrisch-graduierte Algebra mit Einselement. Sie ist – je nach Definition – Unteralgebra oder eine Faktoralgebra einer antisymmetrisierten Tensoralgebra von und wird durch dargestellt. Die Multiplikation wird als äußeres Produkt, Keilprodukt, Dachprodukt oder Wedgeprodukt bezeichnet. Ein Spezialfall dieses Produkts ist mit dem Kreuzprodukt verwandt. Anwendung findet dieser Kalkül nicht nur in der elementaren linearen Algebra (zum Beispiel in der Theorie der Determinanten), sondern vor allem in der algebraischen Geometrie und der Differentialgeometrie als Algebra der Differentialformen. In dieser Form geht die Theorie der alternierenden Differentialformen auf Élie Cartan zurück, der damit die bestehenden Begriffe der Flächentheorie vereinheitlichte. Antikommutative Produkte von Vektoren wie auch abstrakte Vektorräume überhaupt wurden erstmals 1846 von Hermann Graßmann betrachtet.

Inhaltsverzeichnis

DefinitionBearbeiten

Äußere PotenzBearbeiten

Es sei   ein Vektorraum über einem Körper  . Weiter sei

 

(mit den Konventionen   und  ). Der Untervektorraum   sei erzeugt durch Elementartensoren, bei denen zwei Faktoren gleich sind:

 

Die  -te äußere Potenz ist dann definiert als der Quotientenraum

 .

Äußere AlgebraBearbeiten

Die direkte Summe

 

ist ein zweiseitiges, homogenes Ideal in der Tensoralgebra

 

Die äußere Algebra ist die Faktoralgebra

 

Als Vektorraum aufgefasst ist dies isomorph zu

 

(Für   ist  , siehe unten.) Das Produkt in der äußeren Algebra wird traditionell als   geschrieben.

Analog kann man die äußere Algebra von Moduln über kommutativen Ringen definieren.

Alternierende TensorenBearbeiten

Neben der oben angeführten Definition der äußeren Algebra gibt es noch weitere äquivalente Möglichkeiten die äußere Algebra zu definieren. Beispielsweise kann man die Elemente der äußeren Algebra als alternierende Tensoren auffassen. Im Folgenden sei die Charakteristik des Körpers   gleich 0.

Auf den homogenen Bestandteilen   operiert jeweils die symmetrische Gruppe  . Ein Tensor   heißt alternierend, wenn

 

für alle Permutationen   gilt (  ist das Signum der Permutation). Der Vektorraum der alternierenden Tensoren der Stufe   sei  .

Man kann jedem Tensor mit Hilfe der Antisymmetrisierungsabbildung (auch „Alternator“)   auf kanonische Weise einen alternierenden Tensor zuordnen. Sie ist definiert durch

 

Mit dem Produkt

 

für   und bilinearer Fortsetzung entsteht insgesamt im Raum   der alternierenden Tensoren eine assoziative, antikommutativ-graduierte Algebra. Die kanonische Abbildung   ist ein Algebrenisomorphismus.

EigenschaftenBearbeiten

In diesem Abschnitt wird auf die wesentlichen Eigenschaften der äußeren Algebra wie ihre Graduierung und die universelle Eigenschaft und auf ihr Produkt eingegangen. Vorausgesetzt wird dafür immer, dass   ein  -dimensionaler Vektorraum ist.

Äußeres ProduktBearbeiten

Das Produkt   der äußeren Algebra ist assoziativ. Außerdem ist es kommutativ-graduiert, das heißt, es gilt

 

für   und  . Insbesondere ist   für alle  , aber im Allgemeinen ist   für   mit   gerade.

In der Terminologie der Supergeometrie verwendet man statt kommutativ-graduiert den äquivalenten Begriff superkommutativ und mit Hilfe des Superkommutators   lässt sich die Bedingung der Superkommutativität ausdrücken als

 

für   und  .

Ist   eine  -Form und   eine  -Form, so lautet die explizite Formel für das äußere Produkt von   und   für beliebige endlichdimensionale Vektorräume (und für unendlichdimensionale Banachräume):

 ,

wobei   die symmetrische Gruppe der Ordnung   und   das Vorzeichen der Permutation   darstellen sollen.

Graduierung, Basis und DimensionBearbeiten

Die äußere Algebra

 

ist eine graduierte Algebra. Das heißt, sie kann als direkte Summe von Unteralgebren dargestellt werden. Für die äußere Algebra folgt dies direkt aus der Definition. Die äußeren Potenzen sind die entsprechenden Unteralgebren.

Sei nun   eine Basis des  -dimensionalen Vektorraums  . Dann ist

 

eine Basis von  . Die Dimension ist  . Insbesondere ist  , falls  .

Die Basis der äußeren Algebra erhält man dann durch Vereinigung der Basen aller Grade. Für die Dimension gilt dann

 

wobei   den Binomialkoeffizienten bezeichnet. Es folgt, dass sich jedes Element der Graßmann-Algebra darstellen lässt als

 

wobei die   Koeffizienten   das Element bezüglich einer Basis   charakterisieren und   mit   ist.

Als Beispiel kann man den Vektorraum   mit der kanonische Basis wählen. Der 3. Grad der äußeren Algebra   wird aufgespannt durch:

 

Durch Abzählen sieht man, dass   ist.

Universelle EigenschaftBearbeiten

Ist   ein Vektorraum (bzw. Modul) und   eine assoziative Algebra, so gibt es eine Bijektion zwischen

  • den Homomorphismen von Vektorräumen (bzw. Moduln)  , so dass   für alle   gilt

und

  • den Algebrenhomomorphismen  .

SkalarproduktBearbeiten

Hat der Vektorraum   ein Skalarprodukt, so kann auch die äußere Algebra mit einem solchen ausgestattet werden. Dabei werden Unterräume verschiedenen Grades als orthogonal definiert. Innerhalb eines Unterraums genügt es, das Skalarprodukt auf reinen Produkten zu definieren. Seien   und   reine Produkte in  . Ihnen kann die Gramsche Matrix der Skalarprodukte zugeordnet werden. Dann kann das Skalarprodukt als Determinante der Gramschen Matrix definiert werden:

 

Ist   der  -dimensionale Spaltenvektorraum, so kann zu   die Matrix   definiert werden. Von dieser kann man die maximalen quadratischen Untermatrizen   betrachten. Dabei ist   ein Multiindex aus

 

und   besteht aus genau diesen Zeilen von  .

Es gilt folgende Identität nach dem Satz von Binet-Cauchy, im Falle   und   auch „Flächenpythagoras“ genannt:

 

DifferentialformenBearbeiten

Das Hauptanwendungsgebiet der äußeren Algebra liegt in der Differentialgeometrie. Sei   eine  -dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit. So wählt man den Kotangentialraum dieser Mannigfaltigkeit als zugrundeliegenden Vektorraum und bildet die äußere Algebra. Eine Differentialform ist ein Schnitt im Bündel dieser Vektorräume, also eine Abbildung, die jedem Punkt der Mannigfaltigkeit ein Element der äußeren Algebra über dem Kotangentialraum an diesem Punkt zuordnet. Diese Formen haben den großen Vorteil, dass man mit ihrer Hilfe kartenunabhängig auf einer Mannigfaltigkeit integrieren kann.

Hodge-OperatorBearbeiten

Sei   (wie oben) ein Vektorraum und   die äußere Algebra von  . Weiterhin sei  orientiert und mit einem Skalarprodukt versehen. Der Hodge-Operator oder Hodge-Stern-Operator ist ein natürlicher Isomorphismus  . Der Hodge-Operator ordnet also jedem   auf eindeutige Weise ein   zu, das sog. „duale Element“ zu  . Ist   eine orientierte Basis von  , so ist   eindeutig durch die Formel

 

festgelegt. Zum Beispiel gilt, falls   zusätzlich eine Orthonormalbasis ist,

 

für   (wobei das leere Produkt, für   oder  , als 1 zu interpretieren ist). Der Hodge-Operator kann also als algebraische Verallgemeinerung des geometrischen Begriffs des orthogonalen Komplements von Unterräumen von   aufgefasst werden.

Beziehung zum Kreuzprodukt und Spatprodukt (Hodge-Dualität von Vektoren) und Begriffen der PhysikBearbeiten

Sei   die kanonische Basis des   und   seien zwei Elemente aus der äußeren Algebra (bzw. äußeren Potenz) des reellen Vektorraumes. Mit   wird der Hodge-Operator bezüglich des Standard- (euklidischen) Skalarprodukts und der Standardorientierung bezeichnet. Für das äußere Produkt von   und   gilt mithilfe des Distributivgesetzes

 

Der Hodge-Operator ordnet im dreidimensionalen Raum dem Produkt der Basisvektoren   den Vektor   zu. Durch zyklisches Vertauschen der Indizes ergeben sich die Zuordnungen der anderen Basisvektoren. Damit ergibt sich das Kreuzprodukt im dreidimensionalen reellen Raum. Also kann man   auf der äußeren Algebra als Verallgemeinerung des Kreuzproduktes verstehen. Mit Hilfe dieser Verallgemeinerung lässt sich ebenfalls der aus der Vektoranalysis bekannte Differentialoperator Rotation   auf den n-dimensionalen Fall verallgemeinern.

Das Spatprodukt dreier   Vektoren im   lässt sich entsprechend als Element   der dritten äußeren Potenz auffassen. Man beachte, dass der Hodge-Stern-Operator nur bezüglich eines Skalarprodukts und einer Orientierung definiert ist. Das äußere Produkt dagegen lässt sich unabhängig von einer solchen Wahl definieren.

Der klassischen Physik entstammende Größen, die in der Physik Pseudovektoren genannt werden, wie zum Beispiel eine magnetische Feldstärke oder ein Drehimpuls, lassen sich als Elemente von   auffassen. Mit einem Pseudoskalar ist in vielen Fällen eine Größe gemeint, die sich als Element von   verstehen lässt.

Beziehung zur Determinanten-Theorie; Ausdehnungsmaß von m-VektorenBearbeiten

Noch einfacher ist der mit dem Hodge-Operator einhergehende Begriff der Dualität bei Skalaren: Diese sind dual zur Determinante einer  -Matrix. [1] Im Einzelnen:

Es sollen die gleichen Voraussetzungen wie im vorigen Abschnitt gelten; nur sei jetzt   zugelassen, und es sei   Wenn nunmehr, für   ein  -Bein der Form   gegeben ist (also eine Summe von   elementaren  -Beinen[2]), dann ergibt wie oben das antisymmetrisierte [3] Produkt  , bis auf ein alternierendes Vorzeichen, das von der jeweiligen Orientierung abhängt („Rechtshändigkeit“ versus „Linkshändigkeit“), das Hyperflächenmaß des  -Beins dual zur jeweiligen „Basisrichtung“, also dessen  -dimensionales „Volumen“ im   bzw.   Zugleich stellt dieser Ausdruck eine Unterdeterminante einer Matrix mit   Spalten und   Zeilen dar. Man erhält so auf elementare Weise, nämlich wegen der Multilinearität und Multi-Assoziativität des angegebenen Ausdrucks, die bekannten Determinanten-Entwicklungsätze. Insbesondere ist das so erzeugte Volumenmaß (=Grundflächenmaß mal Höhe) des jeweiligen Parallel-Epipeds invariant gegen Verschiebungen parallel zur Grundfläche[4], weil Determinanten von linear abhängigen Vektoren verschwinden.[5]

Beziehung zur Clifford-AlgebraBearbeiten

Sei   eine symmetrische Bilinearform auf  .

Nun sei die zweistellige, bilineare Verknüpfung

 

definiert durch

 

für  . Die Hüte über den Faktoren bedeuten hier deren Auslassung im Produkt. Durch Einführen dieser neuen Verknüpfung als Multiplikation erhält man die Clifford-Algebra  . Insbesondere erhält man mit der Nullbilinearform wieder die Graßmann-Algebra:  , da der Zusatzterm in der obigen Gleichung wegfällt und somit   gilt.

Für einfache   meint obige Definition die elementare Beziehung

 ,

wonach das "geometrische"[6] Produkt   zweier Vektoren in einen antisymmetrischen Keilprodukt- und einen symmetrischen Skalarproduktanteil   zerlegt werden kann. Die Summe ist hier in der Graßmannalgebra definiert, wobei das Vorzeichen eine Frage der Konvention ist.

Siehe auchBearbeiten

FußnotenBearbeiten

  1. In der Physik wird in diesem Zusammenhang von pseudoskalaren Größen gesprochen.
  2.   und   ergeben also duale  -Beine.
  3. In der Antisymmetrisierung der angegebenen Produkte liegt keine Beschränkung der Allgemeinheit, weil Zusatzterme sich automatisch zu Null aufsummieren würden.
  4. Das sind sog. „Scherungen“, z. B. Transformationen   mit  
  5. Präzise gilt für das Ausdehnungsmaß des  -Beins   :  . Das ist erneut ein „verallgemeinerter Satz von Pythagoras.“
  6. D. Hestenes: A Unified Language for Mathematics and Physics. In: J.S.R. Chisholm/A.K. Common (eds.): Clifford Algebras and their Applications in Mathematical Physics (Reidel: Dordrecht/Boston, 1986), p. 1–23.

LiteraturBearbeiten

WeblinksBearbeiten