Projektion (Lineare Algebra)

lineare Abbildung eines Vektorraumes in sich selbst
Die lineare Abbildung T ist die Projektion entlang k auf m. Alle Punkte im Bild m (z. B. w) werden von T auf sich selbst (z. B. Tw) abgebildet.

In der Mathematik ist eine Projektion oder ein Projektor eine spezielle lineare Abbildung (Endomorphismus) über einem Vektorraum , die alle Vektoren in ihrem Bild (ein Unterraum von ) unverändert lässt.

Bei geeigneter Wahl einer Basis von setzt die Projektion einige Komponenten eines Vektors auf null und behält die übrigen bei. Damit ist auch anschaulich die Bezeichnung Projektion gerechtfertigt, wie etwa bei der Abbildung eines Hauses in einem zweidimensionalen Grundriss.

DefinitionBearbeiten

Sei   ein Vektorraum. Ein Vektorraum-Endomorphismus   heißt Projektion, falls er idempotent ist, also wenn   gilt.

EigenschaftenBearbeiten

Eine Projektion kann nur die Zahlen 0 und 1 als Eigenwert haben. Die Eigenräume sind

  •   (Kern von  ) zum Eigenwert 0 und
  •   (Bild von  ) zum Eigenwert 1.

Der gesamte Raum ist die direkte Summe dieser beiden Untervektorräume:

 

Die Abbildung   ist anschaulich gesprochen eine Parallelprojektion auf   entlang  .

Ist   eine Projektion, so ist auch   eine Projektion, und es gilt:

 
 

Projektionen und KomplementeBearbeiten

Ist   ein Vektorraum und   ein Unterraum, so gibt es im Allgemeinen viele Projektionen auf  , d. h. Projektionen, deren Bild   ist. Ist   eine Projektion mit Bild  , so ist   ein Komplement zu   in  .

Ist umgekehrt   ein Komplement von   in  , also  , so lässt sich jedes   als Summe   mit eindeutig bestimmten   und   darstellen. Der Endomorphismus von  , der jedem   das zugehörige   zuordnet, ist eine Projektion mit Bild   und Kern  . Projektionen und Zerlegungen in komplementäre Unterräume entsprechen einander also.

Orthogonale ProjektionBearbeiten

 
Orthogonale Zerlegung eines Vektors   in einen Teil   in einer Ebene   und einen Teil   im orthogonalen Komplement   der Ebene

Ist   ein endlichdimensionaler reeller oder komplexer Vektorraum mit einem Skalarprodukt, so gibt es zu jedem Untervektorraum   die Projektion entlang des orthogonalen Komplements von  , die „Orthogonalprojektion auf  “ genannt wird. Sie ist die eindeutig bestimmte lineare Abbildung   mit der Eigenschaft, dass für alle  

  •   und
  •  

gilt.

Ist   ein unendlichdimensionaler Hilbertraum, so gilt diese Aussage mit dem Projektionssatz entsprechend auch für abgeschlossene Untervektorräume  . In diesem Fall kann   stetig gewählt werden.

BeispieleBearbeiten

Als einfache Beispiele lassen sich für jeden Vektorraum   die Identität   und die Abbildung   für   als triviale Projektionen angeben (die sich durch die Einheits- bzw. Nullmatrix darstellen lassen).

Es sei   die Abbildung der Ebene   in sich, die durch die Matrix

 

beschrieben ist. Sie projiziert einen Vektor   auf  , also orthogonal auf die x-Achse. Der Eigenraum zum Eigenwert  , also der Kern, wird von  , der Eigenraum zum Eigenwert  , also das Bild, wird von   aufgespannt. Der Projektor   ist die orthogonale Projektion auf die y-Achse.

Dagegen ist beispielsweise die durch die Matrix

 

beschriebene Abbildung der Ebene zwar wegen   ebenfalls eine Projektion, allerdings keine orthogonale Projektion. Ihr Bild ist wiederum die x-Achse, ihr Kern ist jedoch die Gerade mit der Gleichung  .

AnwendungBearbeiten

In der Quantenmechanik spricht man im Zusammenhang mit dem Messprozess von einer Projektion des Zustandsvektors ψ, wobei die präzise Interpretation im Folgenden beschrieben wird:

  • Als Messergebnis kommt nur einer der i. A. unendlich vielen sog. Eigenwerte der betrachteten Observablen infrage (d. h. des zugeordneten selbstadjungierten Operators im Zustandsraum des Systems, dem sog. Hilbertraum). Die Auswahl erfolgt zufällig (Kopenhagener Interpretation) mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit, die hier nicht benötigt wird.
  • Die Berechnung der Wahrscheinlichkeit für einen Eigenwert (Messergebnis) erfolgt u. a. mithilfe der Projektion auf dessen Eigenraum.

Die Gesamtheit der so erhaltenen Projektionsoperatoren ist, bei gegebener Messgröße, „vollständig“ und ergibt die sog. Spektraldarstellung der Observablen.

QuellenBearbeiten