Jacobis Formel von Carl Gustav Jacob Jacobi drückt in der Analysis die Ableitungsfunktion der Determinante einer von einer Variablen abhängenden Matrix durch die Adjunkte von und der Ableitung von nach aus.[1]

Wenn die -Matrix eine differenzierbare Funktion eines Parameters ist, dann besagt der Satz:

Darin bezeichnet die Ableitung nach , die Determinante, die Spur und die Adjunkte. Mit dem Frobenius-Skalarprodukt von Matrizen kann das mit der Kofaktormatrix als

notiert werden. Wenn invertierbar ist, schreibt sich das

Herleitung

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Das charakteristische Polynom einer  -Matrix   lautet

 ,

wobei   die Einheitsmatrix,   und   ist. Mit dem Determinantenproduktsatz zeigt sich bei  , sodass die Inverse existiert, und  :

 

worin das Landau-Symbole   Terme zusammenfasst, die   in mindestens  -ter Ordnung enthalten und die im folgenden Grenzwert nichts beitragen.

So berechnet sich die Richtungsableitung

 

und nach der Kettenregel die Ableitung

 

Die Menge der invertierbaren Matrizen in   sind eine dichte Teilmenge des Matrizenraums  , weswegen die Formel für alle quadratischen Matrizen gilt.

Anwendung

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Die Determinante des Deformationsgradienten   gibt das Verhältnis eines (infinitesimal kleinen) Volumens eines Körpers im Ausgangszustand   und in seinem aktuellen deformierten Zustand  :

 .

Die Zeitableitung hiervon ist nach Jacobis Formel

 

Darin ist   der Geschwindigkeitsgradient, dessen Spur die Divergenz der Strömungsgeschwindigkeit   ist. Diese Divergenz gibt die Quellendichte in der Strömung an, die demnach genau dann verschwindet, wenn die Determinante des Deformationsgradienten zeitlich konstant ist.

Literatur

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  1. Jan R. Magnus, Heinz Neudecker: Matrix Differential Calculus with Applications in Statistics and Econometrics. Wiley, 1999, ISBN 0-471-98633-X, S. 149 f. (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).