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Adjunkte

Transponierte der Kofaktormatrix
(Weitergeleitet von Komplementäre Matrix)

Die Adjunkte, klassische Adjungierte (nicht zu verwechseln mit der echten adjungierten Matrix) oder komplementäre Matrix einer Matrix ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra. Man bezeichnet damit die Transponierte der Kofaktormatrix, also die Transponierte jener Matrix, deren Einträge die vorzeichenbehafteten Minoren (Unterdeterminanten) sind.

Mit Hilfe der Adjunkten kann man die Inverse einer regulären quadratischen Matrix berechnen.

DefinitionBearbeiten

Die Adjunkte   einer quadratischen Matrix   mit Einträgen aus einem Körper (oder allgemeiner aus einem kommutativen Ring)   ist definiert als

 .

Es ist hierbei zu beachten, dass an der Stelle   der Kofaktor   steht. Die Kofaktoren   berechnen sich zu

 .

Die Minoren   sind also die Werte der Unterdeterminanten der Matrix  , die durch Streichen der  -ten Zeile und der  -ten Spalte entstehen.

Da die Adjunkte in heutigen Lehrbüchern selten auftaucht und in älteren Werken die Notation nicht immer eindeutig ist, ist Vorsicht geboten. Oft wird dieselbe Notation für die Adjunkte und die Adjungierte (also bei reellen Matrizen deren Transponierte, bei komplexen Matrizen deren konjugiert-transponierte) verwendet.

BeispieleBearbeiten

(2 × 2)-MatrixBearbeiten

Eine beliebige  -Matrix hat die Form

 

Die Adjunkte zu dieser Matrix ist

 

(3 × 3)-MatrixBearbeiten

Eine beliebige  -Matrix hat die Form

 

Die Adjunkte zu dieser Matrix ist

 

EigenschaftenBearbeiten

Nachfolgende Beziehungen gelten für alle Matrizen aus  

 , wobei   eine Einheitsmatrix ist.
  für  , wobei 0 die Nullmatrix ist. Für  -Matrizen   gilt jedoch immer, auch für die Nullmatrix:  .
 
 
 
  wobei  
 
 , insbesondere für  -Matrizen gilt  

Für invertierbare Matrizen gilt zusätzlich

 

Berechnung der Inversen einer MatrixBearbeiten

Die einzelnen Spalten der Inversen einer Matrix   werden jeweils von der Lösung des Gleichungssystems   mit dem  -ten Einheitsvektor auf der rechten Seite gebildet. Berechnet man diese mit der cramerschen Regel, so erhält man die Formel

 

Eine invertierbare  -Matrix lässt sich somit auf sehr einfache Weise invertieren:

 

LiteraturBearbeiten