Komplanarität

geometrische Eigenschaft mehrerer Punkte oder Vektoren

Komplanarität (auch Koplanarität oder Coplanarität) ist ein Begriff aus der Analytischen Geometrie – einem Teilbereich der Mathematik. Drei verschiedene Punkte, die nicht auf einer gemeinsamen Geraden liegen, erzeugen eindeutig eine Ebene, in der sie liegen. Mehr als drei Punkte heißen komplanar, wenn sie in einer gemeinsamen Ebene liegen.[1] Entsprechend gelten drei Vektoren als komplanar, wenn sie linear abhängig sind. Einer der drei Vektoren lässt sich dann als Linearkombination der beiden anderen Vektoren darstellen; komplanare Vektoren liegen in derselben Ebene.[2] Das Adjektiv "komplanar" kann vom lateinischen "complanere" (einebnen) abgeleitet werden.

KomplanaritätsuntersuchungBearbeiten

In der linearen Algebra bedeutet Komplanarität bei Vektoren eines Vektorraums, dass der von diesen Vektoren aufgespannte Untervektorraum die Dimension 2 hat. Zur Untersuchung der Komplanarität von Vektoren kann eine Komplanaritätsuntersuchung durchgeführt werden. Gegeben seien drei Vektoren  . Für die Komplanarität muss die Gleichung   mit   erfüllbar sein, wobei   nicht gleichzeitig 0 sein dürfen. Die Lösung lässt sich mittels eines linearen Gleichungssystems mit n Gleichungen und den Lösungsvariablen   ermitteln.[3]

Entstammen die Vektoren einem dreidimensionalen Vektorraum, so lässt sich diese Prüfung mit dem Spatprodukt durchführen: Die Vektoren   sind komplanar wenn ihr Spatprodukt   ist. Auch gilt, dass  .

BeispielBearbeiten

Drei Vektoren   und   sollen auf Komplanarität untersucht werden.

Ansatz:

  mit  

Aus dem Ansatz folgt das lineare Gleichungssystem:

 


Einsetzen des Ergebnisses für r in Gleichung (I) ergibt:

 


Gleichung (III) ist für   und   erfüllt:

 


  ist durch eine Linearkombination von   und   darstellbar:

 

und es gilt:

 

Somit sind  ,   und   komplanar.

Kollineare Vektoren sind immer auch komplanar, es gibt unendlich viele Ebenen, in denen sie liegen können. Ersetzt man zum Beispiel den obigen Vektor   durch  , dann sind die Vektoren   und   kollinear. Eine Komplanaritätsuntersuchung der 3 Vektoren   und   nach obigem Vorbild ergibt dann s = 0 und r = 2 als Lösungen des neuen Gleichungssystems, woraus die Kollinearität der beiden Vektoren   und   folgt. Versucht man dagegen den Vektor   als Linearkombination der beiden anderen darzustellen, so sieht man auch ohne Rechnung, dass dies unmöglich ist, da diese beiden Vektoren keine Basis des durch   und   erzeugten zweidimensionalen Vektorraums sind.

VerwendungBearbeiten

Komplanaritätsuntersuchungen werden häufig bei der Ermittlung der Lagebeziehungen zwischen Geraden oder Geraden und Ebenen durchgeführt.

In der Chemie ist z. B. bei Kongeneren von polychlorierten Biphenylen (PCB) die Coplanarität ein wichtiges Kritierum für deren Toxizität: Coplanare bzw. dioxinähnliche PCB sind deutlich toxischer.[4]

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Chr. Dürr und andere: Analytische Geometrie Leistungskurs. Volk und Wissen Verlag, Berlin 1998, ISBN 978-3-06-001173-5, S. 78.
  2. Chr. Dürr und andere: Analytische Geometrie Leistungskurs. Volk und Wissen Verlag, Berlin 1998, ISBN 978-3-06-001173-5, S. 55.
  3. H. Krämer, R. Höwelmann, I. Klemisch: Analytische Geometrie und Lineare Algebra. Verlag Moritz Diesterweg, Frankfurt am Main 1989, ISBN 3-425-05301-9, S. 75 - 82.
  4. Chlorierte Biphenyle [MAK Value Documentation in German language, 2013]. In: The MAK-Collection for Occupational Health and Safety. Wiley-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA, Weinheim 2013, ISBN 978-3-527-60041-0, S. 1–139, doi:10.1002/3527600418.mb0cbphpcbd0055.