Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen

mathematischer Satz

Der Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen (oder Struktursatz für endlich erzeugte abelsche Gruppen) ist ein Resultat aus der Gruppentheorie, insbesondere der Theorie über endlich erzeugte abelsche Gruppen. Das sind Gruppen, die unter ihrer binären Verknüpfung kommutieren und in denen jedes Element als Produkt[1] von Elementen einer endlichen Erzeugermenge darstellbar ist.

Die Aussage des Satzes ist, dass für alle diese Gruppen eine Zerlegung oder Dekomposition in endlich viele zyklische Untergruppen, das sind Gruppen, die von genau einem Element erzeugt werden, existiert. Die Gruppe ist das direkte Produkt dieser Untergruppen. Weil jede zyklische Gruppe endlicher Ordnung isomorph zu einer Restklassengruppe ist und jede zyklische Gruppe unendlicher Ordnung isomorph zur Gruppe der ganzen Zahlen , ist damit jede dieser Gruppen isomorph zu einem Produkt aus einer unendlichen oder trivialen Gruppe vom Typ mit einer endlichen Gruppe, die ein Produkt von Restklassengruppen ist.

Anders formuliert besagt der Hauptsatz, dass eine endlich erzeugte abelsche Gruppe direktes Produkt einer freien abelschen Gruppe von endlichem Rang und einer endlichen abelschen Gruppe ist. Die endliche abelsche Gruppe ist die Torsionsuntergruppe von . Die freie abelsche Gruppe ist im Allgemeinen nicht eindeutig bestimmt, sondern nur ihr Rang.

Der Satz folgt unmittelbar aus dem Satz über die Klassifizierung endlich erzeugter Moduln über Hauptidealringen, da jede abelsche Gruppe als Modul über dem Hauptidealring der ganzen Zahlen aufgefasst werden kann.

Ist   eine endlich erzeugte abelsche Gruppe, so gibt es eindeutig bestimmte nicht-negative ganze Zahlen   sowie eindeutig bestimmte Primzahlpotenzen   mit

 

Beweisidee

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Die Existenz der Zerlegung zeigt man, indem von einem beliebigen Erzeugendensystem ausgehend durch elementare Umformungen ein geeignetes ggf. anderes Erzeugendensystem konstruiert wird, das die Abspaltung eines Summanden zulässt. Auf diese Weise wird ein Beweis durch vollständige Induktion nach der Anzahl der Erzeuger ermöglicht.

Folgerungen und Beispiele

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Für endliche abelsche Gruppen

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Für den Isomorphietyp der zyklischen Gruppe mit   Elementen,   wird im Folgenden abkürzenden   geschrieben, Gruppen werden, wie in der Theorie der endlichen Gruppen üblich „multiplikativ“ geschrieben, die direkten Summen aus dem Hauptsatz demgemäß als direkte Produkte.

Jede endliche, nicht triviale, abelsche p-Gruppe   (  positive Primzahl) hat als Gruppenordnung eine Potenz   Zu jeder Zahlpartition von   existiert bis auf Isomorphie genau eine abelsche Gruppe mit   Elementen. Die Anzahl der Zahlpartitionen kann mit der Partitionsfunktion   angegeben werden.

Beispiel
  • Zur Gruppenordnung   existieren genau   verschiedene Isomorphietypen von abelschen Gruppen
  zur Partition  ,   zur Partition  ,   zur Partition  ,   zur Partition   und   zur Partition  .

Zusammen mit der Aussage aus der elementaren Zahlentheorie   genau dann, wenn   teilerfremd sind, ergibt sich:

  • Genau dann, wenn   eine quadratfreie natürliche Zahl ist, das heißt, wenn für keine Primzahl   das Quadrat   ein Teiler von   ist, gibt es bis auf Isomorphie nur eine abelsche Gruppe   mit   Elementen. Die Gruppe ist dann zyklisch und es gilt  
  • Ist   die Primfaktorzerlegung von  , dann existieren bis auf Isomorphie genau   abelsche Gruppen mit   Elementen. (  usw. ist dabei jeweils die Partitionsfunktion.)
Jede solche Gruppe besitzt ein Erzeugendensystem aus höchstens   Gruppenelementen.
  • Jede endliche abelsche Gruppe   mit der Gruppenordnung   ist isomorph zu einem direkten Produkt
  dabei gilt  ,   teilt stets   für   und für das Produkt aller dieser Zahlen gilt  .
  • Die angegebene Produktdarstellung ist durch die Gruppe   und die Teilbarkeitsforderung eindeutig bestimmt.
  • Die maximale Ordnung eines Gruppenelements ist  , für alle Gruppenelemente   gilt   und jede andere natürliche Zahl  , für die   für alle Gruppenelemente   gilt, ist ein Vielfaches von  .
  • Die Gruppe besitzt ein Erzeugendensystem aus   Gruppenelementen und jedes Erzeugendensystem enthält mindestens   Elemente. Die angegebene Darstellung ist insoweit eine „minimale Produktdarstellung“ der Gruppe.
Beispiele
  • Die abelsche Gruppe   habe den Isomorphietyp   gemäß der Darstellung im Hauptsatz. Mit Hilfe einer sortierten Tabelle der auftretenden Primzahlpotenzordnungen erhält man daraus die genannte „minimale Produktdarstellung“:
Potenzen von 3: 3 9 9 27 27
Potenzen von 2: 1 1 2 2 4
Produkte: 3 9 18 54 108

Dabei sortiert man nach aufsteigenden Exponenten der Primzahlpotenz und füllt in Zeilen, die weniger als 5 Potenzen enthalten, von vorn mit 1 auf. Die letzte Zeile, in der die Produkte der Spalten stehen, enthält dann die aufsteigende Kette von Teilern. Das ergibt  , gemäß der genannten Darstellung mit aufsteigenden Teilern, man kommt also für diese Gruppe mit einem Erzeugendensystem aus fünf Gruppenelementen aus – 5 ist die maximale Anzahl von p-Gruppen zu einer Primzahl (hier p=3), die in der Produktdarstellung gemäß dem Hauptsatz vorkommen!

  • Für die abelsche Gruppe  
Produkte: 3 6 6 60
Potenzen von 2: 1 2 2 4
Potenzen von 3: 3 3 3 3
Potenzen von 5: 1 1 1 5

tabelliert man zunächst die aufsteigenden Teiler, faktorisiert sie nach den auftretenden Primzahlpotenzen und erhält so die Darstellung gemäß Hauptsatz  . Ein minimales Erzeugendensystem dieser Gruppe enthält vier Elemente.

Literatur

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Anmerkungen

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  1. In diesem Artikel wird die Operation als multiplikativ aufgefasst. Es handelt sich dabei nur um eine Schreibweise und man könnte auch ohne Weiteres von Vielfachen sprechen. Im Weiteren wird darauf nicht mehr hingewiesen.
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Wikibooks: Beweis des Satzes – Lern- und Lehrmaterialien