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Quadratfreie Zahl

natürliche Zahl wenn es außer der Eins keine Quadratzahl als Teiler gibt
(Weitergeleitet von Quadratfrei)

Eine natürliche Zahl heißt quadratfrei, wenn es außer der Eins keine Quadratzahl gibt, die diese Zahl teilt. Anders formuliert tritt in der eindeutigen Primfaktorzerlegung einer quadratfreien Zahl keine Primzahl mehr als einmal auf.

Beispielsweise ist die Zahl 6 = 2·3 quadratfrei, während 54 = 2·32·3 nicht quadratfrei ist. Die ersten 20 quadratfreien Zahlen sind

1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 26, 29, 30, 31, … (Folge A005117 in OEIS)

EigenschaftenBearbeiten

Die Möbiusfunktion   an der Stelle   ist genau dann ungleich 0, wenn   quadratfrei ist.

Aus dem Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen folgt sofort, dass eine endliche abelsche Gruppe mit quadratfreier Ordnung stets zyklisch ist.

Eine Zahl   ist genau dann quadratfrei, wenn der Restklassenring   reduziert ist, das heißt, wenn außer der Null kein nilpotentes Element enthalten ist.

Die asymptotische Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig gewählte Zahl quadratfrei ist, ist  , wobei   die Riemannsche ζ-Funktion ist. Das bedeutet: Die Wahrscheinlichkeit, dass eine gleichverteilt aus   gewählte natürliche Zahl quadratfrei ist, konvergiert für   gegen  .

Allgemeine DefinitionBearbeiten

Ein von 0 verschiedenes Element   eines faktoriellen Rings heißt quadratfrei, wenn in seiner bis auf Reihenfolge und Multiplikation mit Einheiten des Rings eindeutigen Primfaktorisierung   (wobei   eine Einheit des Rings ist) alle von Null verschiedenen Exponenten   gleich 1 sind.

Es sei   und   die formale Ableitung, dann ist   quadratfrei, wenn   ist. Somit ist für beliebiges   das Polynom   immer quadratfrei.

LiteraturBearbeiten