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Physikalische Größe
Name Trägheitstensor
Größenart Trägheitsmoment
Formelzeichen
Größen- und
Einheitensystem
Einheit Dimension
SI
Anmerkungen
Der Trägheitstensor ist ein kovarianter und positiv definiter Tensor 2. Stufe.

Der Trägheitstensor ist in der Mechanik die Eigenschaft eines starren Körpers, die seine Trägheit gegenüber Änderungen seines Drehimpulses beschreibt. Sein Formelzeichen ist oder . Er ist ein kovarianter Tensor 2. Stufe und für ausgedehnte Körper positiv definit.

Mit Hilfe des Trägheitstensors lässt sich der Zusammenhang zwischen dem Drehimpuls eines Körpers und seiner Winkelgeschwindigkeit in vektorieller Form als Matrixprodukt des Trägheitstensors mit der Winkelgeschwindigkeit darstellen:

Der Wert des Trägheitstensors hängt von der Wahl seines Bezugspunkts ab. Dieser wird zur Berechnung des Trägheitstensors meist auf den Massenmittelpunkt des Körpers festgelegt. Diese Wahl erleichtert die separate Berechnung von Eigen- und Bahndrehimpuls. Mit Hilfe des steinerschen Satzes lässt sich aus dem Trägheitstensor für einen Bezugspunkt der für einen beliebigen Bezugspunkt berechnen.

In der Koordinatendarstellung des Trägheitstensors bezüglich einer Orthonormalbasis mit dem Koordinatenursprung im Bezugspunkt enthält er die Trägheits- und Deviationsmomente für Rotationsachsen, die parallel zu den Basisvektoren sind. Durch Koordinatentransformation erhält man die Trägheits- und Deviationsmomente bezüglich anderer Achsen durch den Bezugspunkt.

Für bestimmte Drehachsen ist der Drehimpuls parallel zur Winkelgeschwindigkeit. Diese Achsen heißen Hauptträgheitsachsen. Zu jedem Körper gibt es mindestens drei aufeinander senkrecht stehende Hauptträgheitsachsen. Sie sind parallel zu den Eigenvektoren des Trägheitstensors. Die entsprechenden Eigenwerte des Trägheitstensors nennt man die Hauptträgheitsmomente des Körpers. Rotiert der Körper um eine andere Achse als eine der Hauptträgheitsachsen, sind sein Drehimpuls und seine Rotationsachse im Allgemeinen nicht parallel. Dann ist als Folge der Drehimpulserhaltung die Rotationsachse nicht fest, sondern rotiert ebenfalls: der Körper ‚eiert‘. Hält man die Rotationsachse in diesem Fall durch Zwang fest, wirken aufgrund der Unwucht Kräfte auf die Lager und der Drehimpuls ist veränderlich.

Trägheitstensoren einfacher Körper finden sich in der Liste von Trägheitstensoren.

Analogie zur Masse bei translatorischer BewegungBearbeiten

Der Trägheitstensor hat in den Bewegungsgleichungen der Mechanik eine vergleichbare Position bezüglich der Rotation, wie die Masse bezüglich der Translation.

Rotation Translation
   

Jenseits der formal gleichen Position als Ausdruck der Trägheit, die kinematische Größe (Winkel-)geschwindigkeit mit der dynamischen Größe (Dreh-)impuls zu verknüpfen, bestehen wesentliche Unterschiede, die die Rotationen gegenüber den Translationen auszeichnen:

  • die Masse ist eine skalare Größe, der Trägheitstensor ein Tensor zweiter Stufe.
  • Impuls und Geschwindigkeit sind immer parallel, Drehimpuls und Winkelgeschwindigkeit im Allgemeinen nicht.
  • Die Masse ist in allen Bezugssystemen zeitlich konstant, der Trägheitstensor hängt im Allgemeinen von der Ausrichtung des Körpers und seiner Lage zum Bezugspunkt ab. Da diese sich ändern können, sind die Komponenten zeitabhängig, während bei Translationen die Masse konstant ist. Nur in einem körperfesten Bezugssystem sind die Komponenten des Trägheitstensors konstant.

Trägheitstensor für eine PunktmasseBearbeiten

Herleitung und DefinitionBearbeiten

Für den Drehimpuls   einer Punktmasse bezüglich des Koordinatenursprungs gilt:

 .

Hier sind:

  •  : die Masse der Punktmasse
  •  : der Ortsvektor der Punktmasse
  •  : die Geschwindigkeit der Punktmasse
  •  : die Winkelgeschwindigkeit der Punktmasse relativ zum Koordinatenursprung

Dies lässt sich mit Hilfe der BAC-CAB-Formel, dem Einheitstensor   und dem Operator   für das dyadische Produkt umformen zu:

 

Mit der Definition des Trägheitstensors  :

 

ergibt sich der oben genannte Zusammenhang zwischen Drehimpuls und Winkelgeschwindigkeit  .

BerechnungBearbeiten

Die Matrixdarstellung des Trägheitstensors   bezüglich der Orthonormalbasis mit den Einheitsvektoren   erhält man aus der Bilinearform  , wobei die Indizes   die Koordinaten nummerieren:

 

Hier sind zusätzlich:

  •   die Koordinaten des Ortsvektors
  •   das Kronecker-Delta

Der Trägheitstensor ist ein symmetrischer Tensor, denn es gilt stets  .

Struktur des TrägheitstensorsBearbeiten

Die Elemente des Trägheitstensors in einer Koordinatendarstellung haben unmittelbare physikalische Bedeutung:

Trägheitsmoment bezüglich einer beliebigen AchseBearbeiten

Die drei Elemente der Hauptdiagonale sind die Trägheitsmomente des Körpers bei Rotation um die jeweilige Achse des Koordinatensystems. Das Trägheitsmoment   um eine Achse in Richtung eines beliebigen Einheitsvektors   ergibt sich durch

 .

Das sieht man einfach an der obigen Matrixdarstellung, wenn man den gewählten Einheitsvektor   durch zwei weitere Einheitsvektoren zu einer Orthogonalbasis erweitert. Denn die Diagonalelemente sind die Trägheitsmomente um die Richtungen der Basisvektoren.

DeviationsmomenteBearbeiten

Die Nichtdiagonalelemente heißen Deviationsmomente. Sie geben (nach Multiplikation mit  ) die Drehmomente an, die von den Lagern ausgeübt werden müssen, damit die Drehachse ihre Richtung beibehält.

Hauptträgheitsachsen und HauptträgheitsmomenteBearbeiten

Im Allgemeinen gilt  . Aus der positiven Definitheit des Tensors   folgt, dass es in drei Raumdimensionen auch drei positive Eigenwerte   und zugehörige Eigenvektoren   gibt, für die gilt  .

Die Eigenvektoren des Trägheitstensors heißen Hauptträgheitsachsen und seine Eigenwerte sind die Hauptträgheitsmomente.

Mit den Hauptträgheitsmomenten und ihren Hauptträgheitsachsen bekommt der Trägheitstensor eine besonders einfache Diagonalgestalt:

 

SymmetriebetrachtungenBearbeiten

Jede Symmetrieachse ist eine Hauptträgheitsachse. Es gilt:

  • Bei geraden prismatischen Körpern mit Grundfläche in Form eines Kreises oder eines regelmäßigen Vielecks sind zwei der drei Hauptträgheitsmomente untereinander gleich. Deren Hauptträgheitsachsen sind parallel zur Grundfläche, die dritte Hauptträgheitsachse ist senkrecht dazu.
  • Bei flächensymmetrischen Körpern liegt eine Hauptträgheitsachse senkrecht zur Symmetrieebene, die beiden anderen in der Symmetrieebene.
  • Besitzt der Körper zwei zueinander senkrechte Symmetrieebenen, dann sind ihre Normalen und ihre Schnittgerade Hauptträgheitsachsen.
  • Bei einem Tetraeder, einem Würfel, bei den übrigen drei regulären Körpern und bei der Kugel ist jede Raumrichtung Hauptträgheitsachse.
  • Sind  ,   und   paarweise voneinander verschieden, so liegt keine Rotationssymmetrie bezüglich einer Achse durch den Bezugspunkt vor, z. B. weil der Bezugspunkt nicht im Massenmittelpunkt liegt oder der Körper bezüglich keiner Achse rotationssymmetrisch ist.

Drehimpuls und Rotationsenergie im körperfesten HauptachsensystemBearbeiten

Im Koordinatensystem, dessen drei Basisvektoren   durch die Hauptträgheitsachsen definiert sind, wird die Winkelgeschwindigkeit so ausgedrückt:

 

Dann gilt für den Drehimpuls

 .

und für die Rotationsenergie

 .

TrägheitsellipsoidBearbeiten

Definiert man die Länge des Ortsvektors   in jeder Richtung durch die Gleichung

 ,

dann liegen die Endpunkte dieser Vektoren auf einer geschlossenen Fläche in Form eines Ellipsoids (Beweis). In jeder Richtung ist der Abstand der Fläche vom Ursprung gleich dem Kehrwert der Wurzel aus dem Trägheitsmoment für die in dieser Richtung liegende Achse:

 

Die drei Achsen des Ellipsoids sind die Hauptträgheitsachsen. Die längste hat die Richtung der Drehachse mit dem kleinstmöglichen Trägheitsmoment bei der gegebenen Anordnung der Massen, die kürzeste Halbachse die Richtung mit dem größtmöglichen Trägheitsmoment. Diese Achsen haben feste Richtungen im körpereigenen Bezugssystem, denn ihre räumliche Lage ist durch die Lage des Körpers festgelegt.

Berechnung des TrägheitstensorsBearbeiten

Für ein System von MassenpunktenBearbeiten

Der Drehimpuls eines zusammengesetzten Systems   ist die Summe der Drehimpulse der Komponenten des System  .

 

Sind die Winkelgeschwindigkeiten der Komponenten   alle identisch und gleich  , dann gilt:

 

Und somit gilt für den Trägheitstensor   des Systems:

 

Hier sind weiterhin:

  •   die Massen der Massepunkte, aus denen das System zusammengesetzt ist,
  •   die Koordinaten ihrer Ortsvektoren

Bei kontinuierlicher MasseverteilungBearbeiten

An die Stelle der Summen tritt beim Übergang zu einer kontinuierlichen Massenverteilung der Massendichte   ein Integral:

 

mit den einzelnen Trägheitsmomenten

 

Beispiel: Trägheitstensor eines homogenen WürfelsBearbeiten

Im Massenmittelpunkt eines Würfels mit Kantenlänge   wird ein kartesisches Koordinatensystem so gelegt, dass die Koordinatenachsen parallel zu den Würfelkanten sind. Wegen der Homogenität ist die Dichte konstant und kann vor das Integral gezogen werden:

 

Nun lassen sich die sechs unabhängigen Tensorkomponenten bestimmen: Das sind drei Massenträgheitsmomente und drei Deviationsmomente, da der Tensor wegen   symmetrisch ist. Beim Würfel mit Kantenlänge   wird zur Berechnung des Trägheitstensors bezüglich des Ursprungs in allen drei Raumrichtungen von   bis   integriert. Für den Würfel ergibt sich:

 

Dabei wurde

 

benutzt, Analoges gilt in  - und  -Richtung. Mit diesen Ergebnissen, der Kantenlänge   und der Masse   des Würfels bekommt der Tensor die Form

 .

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

  • Herbert Goldstein: Klassische Mechanik. 6. Auflage. Akademische Verlagsgesellschaft, Wiesbaden 1981, ISBN 3-400-00134-1.
  • R. Gammel: Der Kreisel. Seine Theorie und seine Anwendungen. 2. überarb. Aufl. Band 2. Springer, Berlin, Göttingen, Heidelberg 1950, DNB 451641280.