Der Adelering wird in der Zahlentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, definiert. Er steht im Zusammenhang mit der Klassenkörpertheorie. Der Adelering ist das restringierte Produkt aller Vervollständigungen eines globalen Körpers. Damit enthält er alle diese Vervollständigungen.

Der Adelering ist ein selbstdualer, topologischer Ring, welcher auf Grundlage eines globalen Körpers konstruiert wird. Er ermöglicht eine besonders elegante Darstellung des Artinschen Reziprozitätsgesetzes.

Die Idelklassengruppe, welche der Quotient aus den Einheiten des Adelerings und den Einheiten des Körpers ist, stellt ein zentrales Objekt in der Klassenkörpertheorie dar.

Notation: Im Folgenden ist ein globaler Körper. Das bedeutet, dass entweder ein algebraischer Zahlkörper oder ein algebraischer Funktionenkörper positiver Charakteristik vom Transzendenzgrad 1 ist. Im ersten Fall bedeutet das, dass eine endliche Körpererweiterung ist, im zweiten Fall, dass eine endliche Körpererweiterung ist.

Im Folgenden bezeichnet eine Stelle von Die triviale Bewertung und der dazu korrespondierende triviale Betrag werden im kompletten Artikel ausgeschlossen. Es wird unterschieden zwischen endlichen (nicht-archimedischen) Stellen, welche als oder notiert werden, und unendlichen (archimedischen) Stellen, welche als notiert werden.

Im Folgenden bezeichne die endliche Menge der unendlichen Stellen von Wir schreiben für eine endliche Teilmenge der Stellenmenge von welche enthält. Sei die Vervollständigung von nach einer Stelle Bei einer diskreten Bewertung bezeichne mit den zugehörigen diskreten Bewertungsring von und mit das maximale Ideal von Ist dieses ein Hauptideal, so schreibe für ein uniformisierendes Element. Der Leser sei weiterhin auf die eineindeutige Identifikation von Beträgen und Bewertungen eines Körpers hingewiesen bei Fixierung einer geeigneten Konstante Die Bewertung wird dem Betrag zugeordnet, welcher wie folgt definiert wird:

Umgekehrt wird dem Betrag die Bewertung zugeordnet, welche wie folgt definiert ist: für alle Diese Identifikation wird im Artikel laufend verwendet.

Im Artikel wird das restringierte Produkt mit notiert. Eine andere geläufige Notation dafür ist

Begriffserklärung

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In der lokalen Klassenkörpertheorie spielt die multiplikative Gruppe des lokalen Körpers eine wichtige Rolle. In der globalen Klassenkörpertheorie wird diese Rolle von der Idelklassengruppe übernommen. Der Begriff des Idels ist eine Abänderung des Idealbegriffs, wobei beide Begriffe in Beziehung zueinander stehen, siehe dazu den Satz über den Zusammenhang zwischen der Ideal- und der Idelklassengruppe. Der Idelbegriff wurde von dem französischen Mathematiker Claude Chevalley (1909–1984) unter dem Namen „ideal element“ (abgekürzt: id.el.) eingeführt. Der Begriff des Adels geht zurück auf die ursprüngliche Bezeichnung „additives Idel“. Bei der Aussprache von Adel liegt die Betonung auf der 2. Silbe.

Die Idee hinter dem Adelering ist es, dass man alle Vervollständigungen des globalen Körpers   auf einmal betrachtet. Auf den ersten Blick scheint die Definition über das kartesische Produkt sinnvoll, jedoch wird der Adelering mit dem restringierten Produkt definiert, wie im nächsten Abschnitt erläutert wird. Dies hat mehrere Gründe:

  • Wenn man den globalen Körper   in das Produkt über die   einbettet, dann gilt für jedes  : für fast alle   ist   also   (vgl. globaler Körper). Die Terminologie „fast alle“ meint im gesamten Artikel immer „alle bis auf endlich viele“. Also ist   sogar in das restringierte Produkt einbettbar.
  • Der Adelering wird dadurch zu einem lokalkompakten, topologischen Ring. Das unrestringierte Produkt hingegen ist nicht lokalkompakt. Daher ist auf dem unrestringierten Produkt keine Harmonische Analyse möglich.

Definition des Adelerings eines globalen Körpers K

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Die Menge der endlichen Adele eines globalen Körpers K

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Die Menge der endlichen Adele eines globalen Körpers   geschrieben   ist definiert als das restringierte Produkt der   mit Restriktionsbedingung   das heißt

 

Das bedeutet, dass die Menge der endlichen Adele alle Elemente der Form   enthält, so dass   für fast alle   Die Addition und Multiplikation werden komponentenweise erklärt. Dadurch wird   zu einem Ring. Wir installieren auf der Menge der endlichen Adele die restringierte Produkttopologie. Das ist diejenige Topologie, die von den sogenannten restringierten offenen Rechtecken erzeugt wird, welche folgende Form haben:

 

wobei   eine endliche Teilmenge der Stellenmenge von   ist, welche   enthält und   offen sind.

Bemerkung: In der deutschen Literatur wird auch der Name eingeschränktes direktes Produkt für das restringierte Produkt verwendet. Im Folgenden wird der Begriff restringiertes Produkt verwendet. Weiterhin wird im Folgenden endlicher Adelering von   als Synonym für   verwendet.

Der Adelering eines globalen Körpers K

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Der Adelering des globalen Körpers   geschrieben   ist definiert als das Produkt der Menge der endlichen Adele mit dem Produkt der endlich vielen Vervollständigungen nach den unendlichen Stellen. Diese sind   oder   und treten nur im algebraischen Zahlkörperfall auf. Damit erhalten wir also:

 

In Fall eines Funktionenkörpers ist die Menge der endlichen Adele gleich dem Adelering von   Auf dem Adelering von   wird eine Addition und Multiplikation jeweils komponentenweise erklärt. Dadurch wird   zu einem Ring. Die Elemente von   werden die Adele von   genannt. Wir schreiben im Folgenden den Adelering als

 

obwohl dies kein restringiertes Produkt im eigentlichen Sinne ist. Im Folgenden wird nicht extra darauf hingewiesen, dass die unendlichen Stellen unrestringiert dem Produkt hinzugefügt werden.

Die Menge der S-Adele eines globalen Körpers K

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Sei   ein globaler Körper und sei   eine Teilmenge der Stellenmenge von   Definiere die Menge der  -Adele von   als

 

Die unendlichen Stellen, sofern in   enthalten, werden dabei ohne Restriktionsbedingung hinzugefügt. Definiere weiterhin

 

Es gilt dann  

Der rationale Adelering 𝔸

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Wir betrachten den Spezialfall   Zuerst überlegen wir uns, wie die Stellenmenge von   aussieht: Der Satz von Ostrowski besagt, dass die Stellenmenge von   mit   identifiziert werden kann, wobei die Primzahl   dabei die Äquivalenzklasse des  -adischen Betrag repräsentiert und   für die folgende Äquivalenzklasse von   steht, wobei   wie folgt definiert wird:

 

Als Nächstes stellen wir fest, dass die Vervollständigung nach den Stellen von   gerade die Körper der p-adischen Zahlen   für eine Stelle   bzw. der Körper   für die Stelle   sind. Der zugehörige Ganzzahlring zum Körper   ist   Damit folgt, dass der endliche Adelering der rationalen Zahlen gleich

 

ist. Der ganze Adelering ist damit gleich

 

wofür wir auch verkürzt schreiben:

 

mit der Konvention  

Unterschied zwischen restringierter und unrestringierter Produkttopologie

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Die Folge von Adelen in  

 

konvergiert in der Produkttopologie gegen das Einsadel   jedoch nicht in der restringierten Produkttopologie.

Beweis: Die Konvergenz in der Produkttopologie entspricht der koordinatenweisen Konvergenz. Diese ist trivial, da die Koordinatenfolgen stationär werden. Die Folge konvergiert nicht in der restringierten Produkttopologie, da für jedes Adel   und für jedes restringierte offene Rechteck   gilt:   für   und daher   für alle   Es folgt, dass   für fast alle   Hierbei stehen   und   für endliche Teilmengen der Stellenmenge. Dabei ist   eine endliche Ausnahmemenge des Adels  

Der Adelering trägt nicht die Teilraumtopologie der Produkttopologie, da ansonsten der Adelering keine lokalkompakte Gruppe ist, vgl. hierzu den Satz, dass der Adelering ein topologischer Ring ist.

Diagonale Einbettung des globalen Körpers in seinen Adelering

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Sei   ein globaler Körper. Es gibt eine natürliche diagonale Einbettung von   in seinen Adelering  

 

Die Einbettung ist wohldefiniert, da für jedes   gilt, dass   für fast alle   Sie ist injektiv, denn die Einbettung von   in   ist bereits injektiv für jedes   Es folgt, dass   als Untergruppe von   aufgefasst werden kann. Man kann   sogar als Unterring seines Adelerings auffassen. Die Elemente aus   werden die Hauptadele von   genannt.

Die Idelegruppe

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Sei   ein globaler Körper. Die Einheitengruppe des Adelerings

 

mit der mittels der Inklusion   durch die Produkttopologie auf   erzeugten Teilraumtopologie, ist die sogenannte Idelegruppe von  .

Alternative Definition des Adelerings eines Zahlkörpers

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Die pro-endliche Komplettierung der ganzen Zahlen

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Definiere

 

d. h.   ist die pro-endliche Komplettierung der Ringe   mit der partiellen Ordnung   Die pro-endliche Komplettierung der ganzen Zahlen ist also der projektive Limes über die Ringe  

Mit Hilfe des chinesischen Restsatzes kann gezeigt werden, dass die pro-endliche Komplettierung der ganzen Zahlen isomorph zum Produkt der ganzen  -adischen Zahlen ist. Es gilt also

 

Alternative Definition des Adelerings eines Zahlkörpers

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Definiere nun den Ring (der ganzzahligen Adele)

 

Damit kann der Adelering über   folgendermaßen dargestellt werden:

 

Dies ist ein algebraischer Isomorphismus. Für einen beliebigen algebraischen Zahlkörper   gilt nun:

 

wobei wir die rechte Seite mit folgender Topologie versehen. Es gilt, dass   wobei die rechte Seite insgesamt   Summanden hat. Wir installieren auf der rechten Seite die Produkttopologie von   und transportieren diese mit Hilfe des Isomorphismus auf  

Beweis: Wir beweisen zunächst die Gleichung für   Es ist also zu zeigen, dass   Es gilt   wobei man das „Ausmultiplizieren“ beim Tensorprodukt durch eine Betrachtung mit Basen einsieht. Die zweite Isomorphie folgt dadurch, dass  -lineare Abbildungen bereits  -linear sind. Offensichtlich reicht es zu zeigen, dass   ist. Wir rechnen hierzu die universelle Eigenschaft des Tensorproduktes nach. Definiere eine  -bilineare Abbildung   via   Diese Abbildung ist offensichtlich wohldefiniert, da nur endlich viele Primzahlen den Nenner von   teilen. Die Abbildung   ist  -bilinear.

Sei nun   ein weiterer  -Modul mit einer  -bilinearen Abbildung   Zu zeigen ist, dass es genau eine  -lineare Abbildung   gibt, mit der Eigenschaft:   Die Abbildung   wird wie folgt definiert: Zu gegebenem   existiert ein   und ein   sodass   für alle   gilt. Definiere dann   Man mache sich klar, dass   wohldefiniert ist,  -linear und   erfüllt. Weiterhin ist   durch diese Eigenschaften bereits eindeutig festgelegt. Der allgemeine Fall kann ähnlich gezeigt werden und wird im folgenden Abschnitt noch allgemeiner bewiesen.

Der Adelering 𝔸L bei einer Körpererweiterung L/K

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Alternative Beschreibung des Adelerings 𝔸L im Fall L/K

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Sei   ein globaler Körper und sei   eine endliche Körpererweiterung. Ist   ein algebraischer Zahlkörper, dann ist die Körpererweiterung separabel. Im Funktionenkörperfall kann sie ebenfalls als separabel angenommen werden, vgl. Weil (1967), S. 48f. Damit ist   wieder ein globaler Körper und   ist definiert. Für eine Stelle   von   und eine Stelle   von   definiere

 

falls der Betrag   eingeschränkt auf   in der Äquivalenzklasse von   liegt. Man sagt, die Stelle   liegt über der Stelle   Definiere nun

 

Beachte, dass mit   die Stellen von   und mit   die Stellen von   bezeichnet werden. Beachte weiterhin, dass beide Produkte endlich sind.

Bemerkung: Man kann   in   einbetten, falls   über   liegt. Dadurch kann man   diagonal in   einbetten und   wird dadurch eine kommutative  -Algebra vom Grad  

Es gilt nun

 

Der Beweis beruht auf elementaren Eigenschaften restringierter Produkte.

Der Adelering von   kann dabei wie folgt kanonisch in den Adelering von   eingebettet werden: Dem Adel   wird das Adel   mit   für   zugeordnet. Deshalb kann   als Untergruppe von   aufgefasst werden. Ein Element   liegt also genau dann in der Untergruppe   wenn seine Komponenten   für   erfüllen und weiterhin   für   und   für die gleiche Stelle   von   gilt.

Der Adelering 𝔸L als Tensorprodukt

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Sei   ein globaler Körper und sei   eine endliche Körpererweiterung. Dann gilt:

 

Dies ist ein algebraischer und topologischer Isomorphismus, wobei wir die Topologie des Tensorproduktes analog wie in dem Lemma über die alternative Definition des Adelerings eines Zahlkörpers konstruieren. Um dies zu tun, ist es wichtig, dass   Mit der Hilfe dieses Isomorphismus, ist die Inklusion   durch die Funktion

 

Darüber hinaus können die Hauptadele von   mit einer Untergruppe der Hauptadele von   identifiziert werden via der Abbildung

 

Beweis: Sei   eine  -Basis von   Es gilt nun, dass

 

für fast alle   vgl. Cassels (1967), S. 61.

Wir haben einen kanonischen Isomorphismus:

 

wobei   die kanonische Einbettung   ist und wie üblich   gilt. Indem wir auf beiden Seiten das restringierte Produkt mit Restriktionsbedingung   bilden, folgt die Behauptung:

 

Dieser Beweis findet sich in Cassels (1967), S. 65.

Korollar: Der Adelering von   als additive Gruppe

Als additive Gruppe betrachtet gilt:

 

wobei die linke Seite insgesamt   Summanden hat. Die Hauptadele von   gehen dabei auf   wobei hier   als Teilmenge von   aufgefasst wird. Die Summe hat dabei   Summanden.

Definition des Adelerings eines K-Vektorraums E und einer K-Algebra A

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Alternative Beschreibung des Adelerings eines globalen Körpers

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Sei   ein globaler Körper. Sei   eine endliche Stellenmenge von   die   umfasst. Hierbei bezeichnet   die unendlichen Stellen des globalen Körpers. Definiere

 

Man definiert die Addition und Multiplikation komponentenweise und versieht den entstandenen Ring mit der Produkttopologie. Es entsteht ein lokalkompakter, topologischer Ring. Anders formuliert:   ist die Menge aller   wobei   für alle   also   für alle   gelten soll.

Bemerkung: Ist   eine weitere endliche Teilmenge der Stellenmenge von   mit der Eigenschaft   dann ist   ein offener Unterring von  

Wir geben nun eine alternative Definition des Adelerings. Mengentheoretisch ist   die Vereinigung über alle Mengen der Form   wobei die Vereinigung alle endlichen Teilmengen   von der gesamten Stellenmenge von   durchläuft. Es gilt also

 

In anderen Worten ist   nichts anderes als die Menge aller   für die gilt:   für fast alle   Die Topologie auf   wird so definiert, dass alle   offene Unterringe von   werden sollen. Dadurch wird   ein lokalkompakter, topologischer Ring.

Sei nun   eine Stelle von   und sei   eine endliche Teilmenge der Stellenmenge von   welche die unendlichen Stellen und   enthält. Es gilt:

 

Definiere nun

 

Dann gilt:

 

Definiere weiterhin:

 

wobei   alle endlichen Teilmengen der Stellenmenge durchläuft, welche   enthält. Dann gilt offensichtlich:

 

via der Abbildung   Dies kann mit jeder endlichen Stellenmenge   anstelle von   ebenso gemacht werden.

Mit Hilfe der obigen Definition von   gibt es eine natürliche Einbettung   und eine natürliche Projektion  

Der Adelering eines K-Vektorraums E

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Die folgenden beiden Definitionen orientieren sich an Weil (1967), S. 60ff. Sei   wie bisher ein globaler Körper und sei nun   ein  -dimensionaler  -Vektorraum,   Wir fixieren eine  -Basis   von   Für jede Stelle   von   schreiben wir   und   Definiere dann den Adelering von   als

 

Diese Definition ist angelehnt an die alternative Beschreibung des Adelerings als Tensorprodukt. Wir konstruieren wieder die Topologie auf   analog wie in dem Lemma über die alternative Definition des Adelerings eines Zahlkörpers. Um dies zu tun, ist es wichtig, dass   Wir versehen dann den Adelering von   mit der restringierten Produkttopologie.

Analog wie in dem Abschnitt über den Adelering bei einer Körpererweiterung erhalten wir   Dann kann   durch   natürlich in   eingebettet werden.

Im Folgenden wird eine alternative Definition der Topologie auf dem Adelering   gegeben. Die Topologie auf   ist gegeben als die gröbste Topologie, für welche die Linearformen auf   das sind lineare Abbildungen   die ausgedehnt werden zu linearen Abbildungen von   nach   stetig sind. Man benutzt jeweils, dass   bzw.   auf natürliche Art und Weise in   bzw.   eingebettet werden können. Mit anderen Worten: Die Wahl einer Basis   von   über   liefert einen Isomorphismus von   nach   also einen Isomorphismus von   nach   Man kann nun   mit der Produkttopologie versehen und diese mit Hilfe des Isomorphismus nach   transportieren. Die Wahl der Topologie hängt nicht von der Wahl der Basis ab, denn eine weitere Basiswahl definiert einen zweiten Isomorphismus. Die Komposition der Isomorphismen ergibt einen linearen Homöomorphismus, der die eine Topologie in die andere überführt. Man kann dies wie folgt darstellen:

 

wobei die auftretenden Summen   Summanden haben. Falls   so liefert obige Definition den bereits definierten Adelering.

Der Adelering einer K-Algebra A

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Sei   ein globaler Körper und sei nun   eine endlichdimensionale  -Algebra. Dann ist   insbesondere ein endlichdimensionaler  -Vektorraum. Folglich ist   definiert, vgl. dazu den letzten Abschnitt. Wir dehnen die Multiplikation von   auf   aus. Dies geht wie folgt:

Es gilt, dass   Da wir eine Multiplikation auf   und auf   haben, können wir eine Multiplikation auf   definieren, via

 

Alternativ, kann man eine  -Basis   von   fixieren. Um die Multiplikation auf   vollständig zu beschreiben, genügt es zu wissen, wie die Basiselemente miteinander multipliziert werden. Es existieren   so dass

 

Mit Hilfe dieser   können wir eine Multiplikation auf   definieren:

 

Und ebenso eine Multiplikation auf   und damit auf  

Es folgt, dass   eine  -Algebra mit   ist. Sei   eine endliche Teilmenge von   welche eine  -Basis von   enthält. Für jede endliche Stelle   von   nenne   das  -Modul erzeugt von   in   Für jede endliche Teilmenge   der Stellenmenge von   welche   enthält, definiere

 

Man kann zeigen, dass es dann eine endliche Menge   gibt, so dass   ein offener Unterring von   ist, falls   Es gilt dann weiterhin, dass   die Vereinigung aller dieser Unterringe ist. Man kann zeigen, dass im Falle   der oben definierte Adelering kanonisch isomorph zur „ersten“ Definition des Adelerings ist.

Spur und Norm auf dem Adelering

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Spur und Norm auf dem Adelering

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Sei   eine endliche Körpererweiterung des globalen Körpers   Dann gilt   Mit der Identifikation   folgt, dass   als abgeschlossener Unterring von   aufgefasst werden kann. Schreibe   für diese Einbettung von   in   Explizit gilt: Sei   Dann ist   wobei dies für alle   über   gilt.

Sei   ein Körperturm globaler Körper. Dann gilt

 

Schränken wir die Abbildung   auf die Menge der Hauptadele ein, so ist sie gleich der kanonischen Injektion  

Sei nun   eine Basis der Körpererweiterung   Also kann jedes   geschrieben werden als   wobei   eindeutig sind. Die Abbildung   ist stetig. Definiere nun   (hängen von   ab) via der Gleichungen

 

Norm und Spur von   werden definiert als:

 

Dies sind genau die Spur bzw. die Determinante der linearen Abbildung     Beides sind stetige Funktionen auf dem Adelering.

Eigenschaften von Norm und Spur

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Die Norm und die Spur erfüllen die üblichen Eigenschaften:

 

Weiterhin gilt, dass für   die Spur   und die Norm   der üblichen Spur und Norm der Körpererweiterung   entspricht. Für einen Körperturm   haben wir wie gewohnt

 

Weiterhin kann gezeigt werden:

 

Anmerkung: Der letzte Punkt ist nicht trivial, vgl. hierzu Weil (1967), S. 52ff bzw. S. 64 oder Cassels (1967), S. 74.

Eigenschaften des Adelerings

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Prinzipiell gilt, dass in den Beweisen die Situation oft auf den Fall   oder   zurückgeführt werden können. Die Verallgemeinerung für beliebige globale Körper oder ähnliche Objekte ist dann oft trivial.

Der Adelering ist ein lokalkompakter, topologischer Ring

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Sei   ein globaler Körper. Dann ist für jede Stellenmenge   der Ring   ein topologischer Ring. Weiterhin ist   eine lokalkompakte Gruppe. Das bedeutet, dass die Menge   mit ihrer Topologie lokalkompakt ist und die Gruppenverknüpfung stetig ist. Dies wiederum bedeutet, dass die Abbildung

 

stetig ist. Darüber hinaus soll auch die Inversionsabbildung der Gruppenverknüpfung stetig sein, d. h. die Abbildung

 

soll stetig sein.

Eine Umgebungsbasis der   in   ist auch eine Umgebungsbasis der   im Adelering. Alternativ bilden auch alle Mengen der Form   wobei   Umgebung der   in   und   für fast alle   eine Umgebungsbasis der   im Adelering.

Beweisidee: Die Lokalkompaktheit der Menge folgt aus der Definition der restringierten Produkttopologie und der Kompaktheit der   Die Stetigkeit der Gruppenoperationen lässt sich auf die Stetigkeit der Gruppenoperation in den einzelnen Komponenten zurückführen. Dort sind die entsprechenden Abbildungen stetig. Ein ausführlicherer Beweis findet sich in Deitmar (2010), S. 124, Satz 5.2.1.

Bemerkung: Dieses Ergebnis lässt sich auf den Adelering eines  -Vektorraums   und den Adelering einer  -Algebra   übertragen.

Der globale Körper ist eine diskrete, kokompakte Untergruppe in seinem Adelering

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Der Adelering enthält den globalen Körper als diskrete, kokompakte Untergruppe, d. h.   ist diskret und   ist in der Quotiententopologie kompakt. Insbesondere ist   abgeschlossen in  

Beweis: Ein Beweis findet sich in Cassels (1967), S. 64, Theorem oder in Weil (1967), S. 64, Theorem 2. Im Folgenden wird der Beweis für den Fall   wiedergegeben:

Um zu zeigen, dass   diskret in   ist, reicht es zu zeigen, dass es eine Umgebung der   gibt, welche keine weiteren Elemente von   enthält. Durch Translation dieser Umgebung kann der allgemeine Fall gezeigt werden. Sei nun

 

Dann ist   eine offene Umgebung der   in   Es bleibt zu zeigen:   Sei dazu   Da   und   für alle   ist, folgt   Da zusätzlich noch gilt, dass   ist, folgt  

Nun zur Kompaktheitsaussage: Definiere die Menge

 

Wir zeigen nun, dass jede Klasse von   einen Vertreter in   hat, das heißt wir müssen zeigen, dass für jedes Adel   ein   existiert, sodass   Sei nun also   beliebig. Sei   eine Primzahl für die gilt:   Dann existiert ein   mit     und   Nun ersetze   durch   Dies beeinflusst die anderen Stellen wie folgt:

Sei   eine weitere Primzahl. Dann gilt:   Es folgt, dass   (für die Hinrichtung ist zu beachten, dass in der scharfen Dreiecksungleichung Gleichheit gilt, falls die Beträge der beiden beteiligten Zahlen verschieden sind).

Damit haben wir die (endliche) Primstellenmenge mit der Eigenschaft, dass die Komponenten nicht in   liegen, um eins verkleinert. Iteration liefert die Existenz eines   sodass   ist. Jetzt wähle   so dass   Da   folgt:   für   Betrachte nun die stetige Projektion   Sie ist surjektiv. Also ist   das stetige Bild eines Kompaktums, also selbst kompakt. Der Fall   geht ähnlich.

Der Zusatz ist ein Lemma über topologische Gruppen.

Korollar: Sei   ein globaler Körper und sei   ein endlichdimensionaler  -Vektorraum. Dann ist   diskret in   und kokompakt in   d. h.   ist kompakt.

Eigenschaften des rationalen Adelerings

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Sei   wie zuvor. Dann gilt:

 

Weiterhin gilt, dass   uneingeschränkt divisibel ist, d. h. die Gleichung   hat für jedes   und   eine Lösung   Allerdings ist diese Lösung im Allgemeinen nicht eindeutig.

Außerdem gilt, dass   dicht in   ist. Eine allgemeinere Formulierung dieser Aussage findet sich im Satz über starke Approximation.

Beweis: Die ersten Aussagen können elementar bewiesen werden. Die nächste Aussage findet sich so in Neukirch (2007) auf Seite 383. Wir beweisen sie im Folgenden. Sei   und sei   beliebig. Zu zeigen: Es existiert ein   sodass gilt:   Wir zeigen, dass   uneingeschränkt reversibel ist, dann folgt bereits die Behauptung. Dies ist jedoch klar, da   in jeder Koordinate ein Körper mit Charakteristik ungleich Null ist. Nun zu einem Gegenbeispiel, welches zeigt, dass   nicht eindeutig reversibel ist. Sei   und   beliebig. Dann erfüllt   die Gleichung   Ebenfalls erfüllt   diese Gleichungen, denn   Da n nur endlich viele Teiler hat, ist   wohldefiniert. Aber   denn (betrachte unendliche Koordinate)  

Bemerkung: In unserem Fall ist die eindeutige Reversibilität äquivalent zur Torsionsfreiheit und die ist hier nicht gegeben, da   aber   und  

Zur letzten Aussage: Es gilt   da wir die endlich vielen Nenner in den Koordinaten der Elemente von   durch ein Element   erreichen können. Wenn wir zeigen können, dass   dicht in   ist, folgt dann bereits die Behauptung. Es ist also zu zeigen, dass sich in jeder offenen Teilmenge   von   ein Element aus   befindet. Die offene Menge   kann ohne Einschränkung als

 

angenommen werden, denn   bilden eine Umgebungsbasis der   in  

Mit Hilfe des Chinesischen Restsatzes zeigt man nun die Existenz eines   mit   da Primzahlpotenzen zu verschiedenen Primzahlen teilerfremd sind. Dies bedeutet so viel wie  

Haarmaß auf dem Adelering

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Sei   ein globaler Körper. Dann ist   eine lokalkompakte Gruppe. Folglich existiert ein Haarmaß   auf dieser Gruppe, welches folgendermaßen normalisiert werden kann: Sei   eine einfache Funktion auf   d. h.   wobei   messbar und   für fast alle   Das Haarmaß   auf   kann so normalisiert werden, dass für jede integrierbare, einfache Funktion   die Produktformel

 

gilt, wobei   für jede endliche Stelle gilt. An den unendlichen Stellen wird das Lebesgue-Maß von   bzw.   genommen. Um einzusehen, warum das Maß so normalisiert werden kann, wird es zuerst auf den sogenannten einfachen Mengen (  mit   offen und   fast immer) definiert und dann auf die ganze Borel-σ-Algebra fortgesetzt. Dies findet sich in Deitmar (2010), S. 126, Satz 5.2.2.

Es kann gezeigt werden, dass   endliches Volumen im Quotientenmaß hat. Das Quotientenmaß wird vom Haarmaß auf   induziert. Diese Aussage ist ein Korollar aus dem obigen Satz, da die Kompaktheit das endliche Maß dieser Menge impliziert.

Anwendungen

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Endlichkeit der Klassenzahl eines Zahlkörpers

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In diesem Abschnitt wollen wir die Endlichkeit der Klassenzahl für einen algebraischen Zahlkörper beweisen. Dies kann auf verschiedene Weisen erfolgen. Im Beweis des Satzes über die Charakterisierung der Idelegruppe wird dieser Endlichkeitssatz schon verwendet. Es gibt im Wesentlichen zwei Herangehensweisen: Im einen Fall zeigt man zuerst die Endlichkeit der Klassenzahl und leitet dann die Resultate über Adele und Idele ab, im anderen Fall folgert man die Endlichkeit der Klassenzahl aus diesen Resultaten.

Satz (Endlichkeit der Klassenzahl eines Zahlkörpers): Sei   ein algebraischer Zahlkörper. Dann ist  

Beweis der Endlichkeit der Klassenzahl: Die Abbildung   ist surjektiv und deswegen ist   das stetige Bild des Kompaktums   also kompakt. Gleichzeitig ist   auch diskret, also endlich.

Bemerkung: Ein ähnliches Ergebnis gilt auch für den Funktionenkörperfall. Hier wird eine sogenannte Divisorgruppe („divisor group“) von   definiert und man kann zeigen, dass die Divisoren von Grad   modulo der Menge der Hauptdivisoren eine endliche Gruppe bilden (dies sind die analogen Begriffe im Funktionenkörperfall) (vgl. Cassels (1967), S. 71).

Einheiten und Dirichletscher Einheitensatz

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Definition und Eigenschaften erster Hilfsgrößen

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Sei   ein globaler Körper. Sei   eine endliche Teilmenge der Stellenmenge, welche   enthält. Definiere

 

Dann gilt, dass   eine Untergruppe von   ist, welche alle Elemente   enthält, die   für alle   erfüllen. Da   diskret in   ist, ist   eine diskrete Untergruppe von   und ebenfalls von  

Eine alternative Definition von   ist, dass   wobei der Unterring   von   gegeben ist durch   Also enthält   alle Elemente   für die gilt, dass   für alle  

Sei   Dann ist die Menge   endlich. Um dies einzusehen, definiere

 

Dann gilt, dass   kompakt ist und die oben beschriebene Menge ist der Schnitt aus   mit der diskreten Untergruppe   von   Daraus folgt die Endlichkeit der oben beschriebenen Menge.

Definiere nun weiterhin   und